37.欲除先乘(二)
例18÷75=18×4÷3÷100=0.24
120÷375=120×8÷3÷1000=0.32
想一想,这样算的根据是什么?
按照这样方法计算:
21÷7530÷75345÷751200÷75
240375360÷37548÷0.3755400÷3750
解:21÷75=21×4÷3÷100=0.28
30÷75=30÷3×4÷100=0.4
345÷75=345÷3×4÷100=4.6
1200÷75=1200÷3×4÷100=16
240÷375=240÷3×8÷1000=0.64
360÷375=360÷3×8÷1000=0.96
48÷0.375=48÷3×8=128
5400÷3750=540÷375=540÷3×8÷1000=1.44
38.找规律(一)
先观察下列各式:
11×99=108922×99=2178
33×99=326744×99=4356
55×99=544566×99=6534
你能从各式中得到启示,直接写出77×99、88×99、99×99三式的积来吗?解:观察六道算式,可发现它们的共同规律是:
①积都是四位数。
②积的千位数字与被乘数的数字相同。
③积的百位数比千位数字小1。
④积的末两位数恰是被乘数与100间的补数。根据这个规律,我们便写出三式的积了:
77×99=7623
88×99=8712
99×99=9801
39.找规律(二)
先观察下列算式:
①75×99=7425
75×999=74925
75×9999=749925
②47×99=4653
47×999=46953
47×9999=469953
③28×99=2772
28×999=27972
28×9999=279972
你能否从上列各式得到启示,直接写出下列各式的积:
38×9929×99968×999981×99999
解:从上式发现,它们的共同规律是:
①一个两位数与99相乘,积的前两位数比被乘数少1,积的后两位数是被乘数补数。
②乘数比99位数增加几个9,则在原积中间增写几个9。
所以上列各式的积可直接写出:
38×99=3762
29×999=28971
68×9999=679932
81×99999=8099919
40.怪题之谜
美国的贝克顿市,有个古怪的石匠,叫托马斯。他生活的时代约在200年前。后来,人们发现他在一所房子的墙壁上刻了一道古怪的数学题:世上竟有这样的题,从数字和为45的一个数里,减去另一个数字和也是45的数,只有当差的数字和也是45时,这道题才算解对了。
这道题使当地的居民伤透了脑筋,许多数学爱好者也苦思不解。后来,有人发现1~9九个自然数的和恰是45,便恍然大悟,终于解开了这个谜团。
你能知道这是一个什么样的减法式子么?
解:人们经过多次反复地研究尝试,发现九个依次排列由大到小的阿拉伯数字,减去它的逆序数,恰好符合题目要求。
后来又发现,减数中的0放在不同的数位所构成的算式也都符合要求。
如:9876543210-1023456789=8853086421
9876543210-1203456789=8673086421
……
移动被减数中的0,构成的算式,仍然符合要求。
如:9087654321-1023456789=8064197532
9876504321-1203456789=8673047532
……
不仅如此,把0~9十个数字顺序打乱,分别组成被减数、减数,一些式子也符合要求。
如:4579036218-2814675039=1764361179
1954328760-1796435208=157893552
……
当然,其中有一些仅被减数、减数的数字和是45,而得出的差数字和却不是45,这样的题,就不符合要求了。
不论怎样,一个看似古怪难解的问题,经过人们的刻苦钻研,竟然一下子找到了那么多的解答方法,真是“山穷水尽疑无路,柳暗花明又一村”了!
41.二进制
二进制的长处是适用于机器。将十进制的数输入机器后被转化为二进制,最后再“翻译”成十进制显示出来。
那么十进制和二进制是怎样互相转换的?比如十进制的85,要转换为二进制是多少?
解:把十进制的整数转化成二进制就显然不同了,如,整数1,在二进制中仍是1,2在二进制中便是10,3便是11。4便是200。因此,将十进制整数转换为二进制,只要将这个整数逐次用2去除,一直除到商等于0为止,然后把每次除得的余数倒排起来,便可以了。
例如把十进制的85,转化为二进制:
(85)10=(1010101)2
其中,号“10”表示十进制,号“2”表示二进制。上式表示十进制中的85等于二进制中的1010101。
那么,怎样将二进制再转换成十进制记数呢?
我们知道,若将十进制转换为二进制,如1010101可表示为:
(1010101)2=1×26+0×25+1×24+0×23+1×22+0×21+1
=64+0+16+0+4+0+1
=85
只是十进制中的两位数,由二进制转换时便非常繁琐,倘是数千、数万甚至更大的数,其复杂程度便可想而知了。
怎么办?要是有一种机器来代替人工该多好!
是的,电子计算机就是干这种工作的,而且它的工作效率快得惊人,即便是位数繁多的数,它也能霎时之间得出结果。
42.八卦图
计算机的发明在当时震动了世界整个科学界。计算机的原理是二进制。据说,在研制计算机过程中,研制者曾碰上一个百思不解的难题,正在此时,一个中国朋友给他寄去了八卦图。
所谓八卦就是中国一部古代经典《易经》中的八种符号。研制者接到这个八卦图如获至宝,头脑豁然开朗,于是很快攻克难关,将具有划时代意义的计算机创造了出来。
你知道,这是受了什么启示?
解:八卦的基本符号只有两种,古人称之为“阴”和“阳”,利用阴和阳可以组成八卦,变化出64卦。
二进制也只有两个字码:0和1。
将这两种符号用在电器上,只要通“—”和断“——”两种状态就可以了,这样就大大简化了设备。
由于受到这样的启示,计算机便很快发明出来了。
计算机使用的是二进制,进行数的运算也很便捷。如加法和乘法口诀都只有三条:
加法:0+0=0
1+0=0+1=1
乘法:0×0=0
1×0=0×1=0
1×1=1
这与十进制中加、乘各有55个口诀相比,实在是太简捷了!
43.退瓶换水
暑假中,宁宁、尧尧等五个同学结伴到花果山旅游。他们走得又累又渴,便到商店买了一扎(10瓶)汽水。喝完后,营业员说,空瓶她们收回,要钱也行,换汽水3瓶换1瓶也可以。宁宁说:“全部换汽水!”结果,把换来的汽水喝了,空瓶又换了汽水。最后一只空瓶也没留下,你知道他们一共喝了多少瓶汽水吗?
解:这道题如果用普通的换来换去的办法也能求得结果,但是太麻烦,如果数量大,换的次数多了,很容易出错。
巧妙的思维方法是将它“分割压缩”,大题化小,寻找规律。
可以这么想:要先向营业员借1瓶,再买2瓶,喝完后,正好是3只空瓶,把空瓶都交给营业员,就正好互不欠账了。
这么一想,买2瓶汽水就可以喝到3瓶了。
因此,买一扎10瓶汽水,再加上退瓶后换来的汽水,共可以喝到:
解法1:10+10÷2
=10+5
=15(瓶)
解法2:3×(10÷2)
=3×5
=15(瓶)
44.龄乘积
芳芳、丽丽、倩倩三个同学年龄都依次相差1岁,一个比一个大。三个人年龄相乘得出的积是504。她们三人年龄各是多大?
解:从题中“年龄依次相差1,一个比一个大”。可断定:三人的年龄是三个连续的整数。
“三个连续数的积是504,求这三个数”。把题目变换成这样叙述,就便于思考了。
既然504是三个连续数的积,那么504的质因数必然包含这三个数的全部质因数。
思路只要进入这个阶段,这道看似很难的问题,便容易解决了。
只要将504分解成质因数相乘的形式,再设法把质因素的积分成三个连续数,便可以了。
经过分析,将质因数作下面的分组,便符合要求:
504=(2×2×2)×(3×3)×7
=8×9×7
=7×8×9
即:芳芳7岁、丽丽8岁、倩倩9岁。
45.长度
有一条大鲨鱼,它的身长等于头长加上尾长,它的尾长又等于身长的一半加上头长。已经知道这条鲨鱼头长3米。你能算出这条鲨鱼的全长是多少吗?
解:题中鲨鱼的头长已知是3米,身长=头长+尾长,尾长=头长+身长一半。
只要求出尾长,则身长可求,因此,求鲨鱼的尾长是解题的关键!
这道题趣在只告知鲨鱼的头长,身长尾长都不知,却要我们求出鲨鱼的全长来。初看似乎无从下手,但是画出示意图后,便暴露出了解题的关键。
尾长的求法,可作如下推导:
尾长=头长+身长÷2
=头长+(头长+尾长)÷2
2尾长=2头长+头长+尾长(等式两端都×2)
尾长=3头长
=3×3
=9(米)
全长=头长+身长+尾长
=3+(3+9)+9
=3+12+9
=24(米)46.桶重量
哥哥是个汽车驾驶员,小明经常看到他拿着油桶直接向车内加油,便问:“哥哥,每次加多少机油,有数吗?”哥哥说:“咋能没数呢!瞧,我这桶连油一共重七千克,现在油已用去一半了,连桶还有四千克。”
“桶里净油是多少,还是不知呀!”小明又问。
哥哥笑了笑说:“真是个书呆子!一算不就知道了!”
小明不再问了,他用心地思考着。一会儿,真的算出来了,连油桶的重量都知道了。
哥哥听了他的答案后,高兴得连连叫好:“不是书呆子,是洋学生。”
你知道小明是怎么算的吗?
解:连桶共重7千克,现在只剩下4千克了,那么用去多少油呢?
7-4=3(千克)这3千克就是油的一半,全部油便是:
(7-4)×2=3×2
=6(千克)
桶重便是:7-6=1(千克)
还可先求桶的重量:
4×2-7=1(千克)
再求油的重量:
7-1=6(千克)47.阶梯级数
科学家爱因斯坦做过这样的问题:
一条长长的阶梯,如果你每步跨2阶,那么最后余1阶;如果每步跨3阶,那么最后剩下2阶;如果每步跨5阶,最后剩4阶;如果每步跨6阶,最后剩5阶;只有当你每步跨7阶时,才正好走完,一阶也不剩。问这条阶梯最少有多少阶?
解:这个题目换一种说法,就是:一条长阶梯,它的阶数被2除余1,被3除余2,被5除余4,被6除余5,被7能整除,求至少有多少阶?
这样,把题目压缩简化了,可以方便思考。题中共有5个条件,可以分两步解决。
第一步,根据“阶数被2除余1,被3除余2,被5除余4,被6除余5”这四个条件,可知只要在阶数上加1,就是2、3、5、6四个数的倍数了。2、3、5、6的最小公倍是:30。
所以29=30-1是满足这四个条件的最小自然数。
第二步,第五个条件是“能够被7整除”,29显然不能满足这个条件。
怎样才能满足这个条件呢?用29作基数,连续加上2、3、5、6的最小公倍30,便可得到:29+30=5959+30=8989+30=119……得出的和,经过计算,如果能被7整除了,那么答案便找到了。这里119÷7=17已经符合目标了,便不必再加下去。119便是台阶的最小数目。
48.蜻蜓、蛛蛛、蝉
生物小组一次到野外采集生物标本,他们共捉到蜻蜓、蜘蛛、蝉三种小动物共18只。他们算了一下,共有118条腿和20对翅膀。大家知道蜘蛛是8条腿,蜻蜓有6条腿和2对翅膀,蝉有6条腿和1对翅膀。你能算出这三种小虫各是多少只吗?
解:初看这个题目很复杂,似乎无从着手。
可先把条件疏理清楚:
假定18只都是蜘蛛,那么应共有腿:
8×18=144(条)
实际只有118条腿,多了144-118=26(条)腿。为什么会多呢?因为每只蜘蛛比每只蜻蜓或蝉都多2条腿。把蜻蜓和蝉也当作蜘蛛计算了。这样,就有26÷2=13(只)都当作蜘蛛了。从而蜘蛛的只数可求:
18-13=5(只)
下一步再来算蜻蜓和蝉各是几只。
假如13只都是蜻蜓,每只蜻蜓2对翅膀,共有13×2=26(对)翅膀。实际只有20对翅膀,多了26-20=6(对)翅膀,为什么会多呢?因为蜻蜓是2对翅膀,蝉只有1对翅膀,把蝉当蜻蜓有1只就多2-1=1(对)翅膀。说明有6只蝉也当作蜻蜓了!实际蜻蜓只有13-6=7(只)。
列成综合式是:
(18×8-118)÷(8-6)
=(144-118)÷2
=26÷2
=13(只)蜻蜓和蝉的只数
18-13=5(只)蜘蛛的只数
(13×2-20)÷(2-1)=(26-20)÷1
=6÷1
=6蝉的只数
13-6=7(只)蜻蜓的只数
49.剩余问题
有一篮鸡蛋,5个5个数余1,6个6个数余3,7个7个数余5。这篮鸡蛋至少有多少个?
解:这道题实质就是“求被5除余1,被6除余3,被7除余5的最小自然数是多少?”
我们可以用“层层剥笋”的方法来解决它。
第一步先满足“被5除余1”的条件:用1连续加上5的得数都符合,6、11、16、21、26……在计算过程中,要使得数满足第二个条件“被6除余3”,即停止。21÷6=3……3便不再加下去了。
第二步,用21这个数再连续加上5和6的最小公倍数30,直到和能满足第三个条件:被7除余5。
21+30=5151+30=8181+30=111
111+30=141141+30=171171+30=201
好了,201÷7=28……5符合第三个条件了,便停止再加。所以,至少有201个鸡蛋。
验算一下:
201÷5=40……1
201÷6=33……3
201÷7=28……550.行程问题
休息日弟弟和妈妈一同去姥姥家。他们走了1小时后,哥哥发现带给姥姥的礼品忘在家里。便立刻带上礼品去追。可爱的小花狗,也跟着飞奔而去。它追上弟弟后,又立即返回到哥哥这里,再返回追弟弟,就这样,不停地在哥哥和弟弟之间跑来跑去,直到兄弟俩相遇了。如果弟弟每小时行2千米,哥哥每小时行6千米,小花狗的时速是16千米,你能算出在哥哥追上弟弟时,小花狗一共跑了多少千米?
解:表面看,这题很难:小花狗在兄弟俩之间往返不停地跑动,兄弟俩之间的距离又是逐渐地缩短,又没有告诉小花狗一共跑了多少趟,小花狗跑的路程怎么求呀?
如果思路误入这个歧途,问题便难解了。
我们应该这么想:
已经告知了小花狗的速度是16千米/小时,只要知道时间,便可求出小花狗共跑了多少路程。
哥哥追上弟弟所用的时间,就是小花狗跑的时间。因为从哥哥出发时,它就一直没停往返于哥哥和弟弟之间。
思考到这一步,便容易解决了。
哥哥与弟弟的速度差是:
6-2=4(千米)
即每经过1小时,哥哥便可追上弟弟4千米。
弟弟先出发1小时,哥哥追上他需用:
2÷4=0.5(小时)
即哥哥用半小时,便可追上弟弟。
小花狗在这半个小时中,一直不停地往返奔跑,它每小时速度是16千米,那么0.5小时它跑了多少路程呢?
16×0.5=8(千米)
成综合算式是:
16×[2÷(6-2)]=16×[2÷4]
=16×0.5
=8(公里)
一个看似难解的问题,竟是这么简单!