=1233×4321+4321(1)
1233×4322=1233×(4321+1)
=1233×4321+1233(2)
将最后算式相减:(1)式-(2)式=3088
可知(1)式的积比(2)式的积多3088。
22.速算诀窍
一次,爱因斯坦卧病在床,寂寞难耐。恰有一位朋友前来探望,便要求朋友出道算术题让他想想。朋友随口说:2976×2924=?
岂料爱因斯坦迅即回答:8701824。
朋友十分惊讶。爱因斯坦有速算诀窍吗?
解:爱因斯坦确有速算诀窍。
朋友说的两个数正符合“首同尾补”的特点。在两位数相乘时,遇到这种特殊情况,可按如下速算口诀处理:
首加1与首乘,再乘100要记心。
再加两个数尾积,所求之数便分明。
如:
43×47=(4+1)×4×100+3×7
=2021
朋友出的题目是四位数相乘,也可以类此办理,即,把前两位当作“数首”,后两位当作“数尾”:
2976×2924=(29+1)×29×10000+76×24
=8700000+76×24
其中:
76×24=(50+26)×(50-26)
=502-262
=1824
所以:
8700000+1824=8701824
23.有错没错
四个小朋友做同一道题,但结果各不相同:
①4500÷(15×125)=4500÷1875
=2……750
②4500÷(15×125)=4500÷15÷125
=300÷125=2……50
③4500÷(15×125)=4500÷125÷15
=36÷15=2……6
④4500÷(15×125)=4500÷15÷(25×5)
=300÷25÷5=2……2
后三位同学运用了乘除混合运算的性质:a÷(b×c)=a÷b÷c,检查运算过程没有失误,然而尽管商相同,余数却各有千秋,这是为什么?究竟有错没错?
解:应该说,计算的结果都是正确的。
各题的余数不同,并不表明运算结果不同,因为余数与除数有关。
根据“商不变性质”:“在除法里,被除数和除数都扩大或者都缩小相同的倍数(0除外),商不变”,若在有余数的除法里,当被除数和除数都扩大或缩小相同倍数时,尽管不完全商不变,余数却也相应地扩大或缩小了相同的倍数。
其实,余数是针对除数而言的,各题的除数不一样,因而余数各异。若以分数来表示它们的结果,则四道题的商都是相等的。
24.欲加先减
人们习惯于看到“+”号,就用加法算,看到“-”号,就用减法算。但是遇到适宜的题目用反向思维,即欲加先减,欲减先加,却更简便快捷。
下列各题你能直接写出结果吗?
A.45+79546+274874+6975222+3778
B.63-37416-287769-3078564-5476
解:如果加数或减数中有一个接近整百、整千……,可以用先减去或先加上这个数,再加上整百、整千……。
A.45+79=45-21+100=124
546+274=546-26+300=820
874+697=874-3+700=1571
5222+3778=5222-222+4000=9000
B.63-37=63-40+3=26
416-287=416-300+13=129
769-307=769-300-7=462
8564-5476=8564-5500+24=3088
25.续数的和
下列各式中,加数有什么特点?你能很快地算出结果吗?
①1+2+3+4+……+199=?
②1+3+5+7+……+37=?
③2+4+6+8+……+28=?
④211+212+213+……+248=?
解:这些算式中,加数的特点是:
第一,各式中的加数都是连续数。
第二,有的算式只是奇数连续数,如②;有的算式只是偶数连续数,如③;有的是从头开始的连续数,如①;有的不是从头开始的连续数,如④。
我们知道:
连续数的和=(首项+尾项)×(项数÷2)
奇数项连续数和=中间项×项数。
其中①是求奇数项连续数的和,共有199项,怎样求它的中间项呢?
中间项=(尾项+1)÷2
因此,这题的和是:
1+2+3+4+……+199=(1+199)÷2×199
=19900
其中②只有奇数连续数相加,总项数减少了一半。所以它的总和也减少一半。尾项是奇数,算式的实有项数是:(尾项+1)÷2。
②1+3+5+……+37
=[(1+37)×(37+1)÷2]÷2
=[38×38÷2]÷2
=722÷2
=361
③2+4+6+8+……+28
=[(2+28)×28÷2]÷2
=[30×28÷2]÷2
=420÷2
=210
其中④,可当作从1开始的连续数相加,得出结果后,再去掉首项前的连续数的和。
④211+212+213+……+248
=(1+248)×(248÷2)-(1+210)×(210÷2)
=249×124-211×105
=30876-22155
=8721
这样的题,也可以先求项数。
项数=[尾项-(首项-1)]÷2
211+212+213+……+248
=(211+248)×[248-(211-1)]÷2
=459×38÷2
=8721
26.逆序数和
一个数的各位数字的倒序所组成的数,叫做这个数的逆序数。
先观察下式:
①13+31=(1+3)×11=44
②26+62=88=(2+6)×11
③57+75=132=(5+7)×11
④82+28=110=(8+2)×11
再看加数是三位数:
⑤234+432=666=(2+4)×111
⑥357+753=1110=(3+7)×111
⑦741+147=888=(7+1)×111
⑧369+963=1332=(3+9)×111
想想看,逆序数求和有什么规律?
解:从①~④可知:任何一个个位数不为0的两位数与它的逆序数的和,是这个数数字和的11倍。
从⑤~⑧组成算式的各数看,它们都不是任意数字,而是相邻数字间差是相等的。具备这种特点的数,与它的逆序数的和,等于它百位数字与个位数字和的111倍。
自己编几道题做做看,说不定你还能有新的发现呢!
27.100多几
两个因数,如果都比100多几,通过运算,可以推导出简便运算方法。
如:
115×102=(100+15)×(100+2)
=(100+15)×100+(100+15)×2
=100×100+15×100+100×2+15×2
=(100+15+2)×100+15×2
=(115+2)×100+15×2
=11730
根据推导你能找到简便运算的方法吗?
为了便于总结法则,可以给两个因数规定名称:
而后,请计算:112×104107×103114×105106×107
解:根据115×102=(115+2)×100+15×2,可知:积的百位以前数是“首数加上尾数尾”,积的十位、个位上的数是两个因数的尾数积。即:首数加上尾数尾,紧挨再写两尾积。
所以:
112×104=(112+4)×100+12×4=11648
107×103=(107+3)×100+7×3=11021
114×105=(114+5)×100+14×5=11970
106×107=(106+7)×100+6×7=11342
28.100少几
求比100少几的两个数相乘的简便方法是:
首数减去尾数补,紧挨再写补数积。
便如:
请你运用这个简便方法计算下列各题:
98×9489×9896×92996×998990×996
解:98×94=(98-6)×100+2×6=9212
89×98=(89-2)×100+11×2=8722
96×92=(96-8)×100+4×8=8832
996×998=(996-2)×1000+4×2=994008
990×996=(990-4)×1000+10×4=986040
29.一多一少
两数相乘,其中一个因数大于100,另一个因数小于100,但与100都比较接近。这样的两个数相乘,有没有简便方法呢?
举个例子,通过运算,推导一下再看吧:
104×98=(100+4)×(100-2)
=(100+4)×100-(100+4)×2
=100×100+4×100-100×2-4×2
=(100+4-2)×100-4×2
=(104-2)×100-4×2
=10200-8
=10192
观察:
即:首数减去尾数补,紧挨再写首数的尾数与尾数的补数积。
据此,请快速求出下式各题的结果:
112×89116×94107×93
994×10081002×998
解:112×89=(112-11)×100-12×11
=10100-132
=9968
116×94=(116-6)×100-16×6
=11000-96
=10904
107×93=(107-7)×100-7×7
=10000-49
=9951
994×1008=1008×994
=(1008-6)×1000-8×6
=1002000-48
=1001952
1002×998=(1002-2)×1000-2×2
=1000000-4
=999996
30.50多几
两个因数都比50多几,有三种情况。计算它们的积,也有简便方法。
两个因数都是奇数或都是偶数:
用这两个数与50的差的乘积,作积的右段数。积若是一位数,要在数前补个0;用较大的一个因数加上较小的一个因数与50的差的一半,作积的左段数,而后两段相接,即得。
如:54×52=2808
积的右段数:(54-50)×(52-50)=4×2=8补0为:08
积的左段数:(54+2)÷2=56÷2=28
两段相接,得积:2808
两个因数一奇一偶,算法稍有不同:
如:57×52=2964
积的右段:(57-50)×(52-50)=7×2=14
14+50=64
积的左段:(57+2)÷2=59÷2=29(只取整数)
两段相接,得积:2964
按照上面介绍的方法,下列各题,你能迅速写出结果吗?
56×5254×5558×5456×5359×59
解:56×52=(56+2)÷2×100+(56-50)×(52-50)=291254×55=297058×54=313256×53=296859×59=3481
31.500多几
两个因数都比500多几,它们的类型和算法与因数是50多几的很相似。
如:521×511=266231
积的右段:(521-500)×(511-500)=21×11=231
积的左段:(521+11)÷2=532÷2=266
两段相接:266231
如果因数是一奇一偶两个数,如:
512×507=259584
积的右段:(512-500)×(507-500)=12×7=84用0补足为三位=084,再加500,500+084=584
积的左段:(512+7)÷2=519÷2=259(只取整数)
两段相接:259584
按照上述方法,直接写出下式结果:
515×517512×510514×513
518×516514×511503×504
解:515×517=(515+17)÷2×1000+(515-500)×(517-500)=266255512×510=261120514×513=263682518×516=267288514×511=262654503×504=253512
32.500少几
两个因数都比500稍小,快算方法略有变化。
例如:496×492=244032
积的右段:(500-496)×(500-492)=4×8=32
不足三位在数前补0,即:032。式中的500作被减数了!
两段相接得积:244032
如果是一奇一偶两个因数,例如:
493×496=244528
积的右段:(500-493)×(500-496)=4×7=28
需再加500,即:
28+50=528
积的左段:(493-4)÷2=489÷2=244(只取整数)
或(496-7)÷2=244(只取整数)
两段相接得积:244528
按照上面的方法,你能直接写出下式结果吗?
496×498497×495493×498497×499
解:496×498=(496-2)÷2×1000+(500-496)×(500-498)=247008
497×495=246015493×498=245514
497×499=248003
33.与667乘
先观察下列各式:
667×3=2001
667×6=4002=2001×2
667×9=6003=2001×3
667×12=8004=2001×4
你能不用计算,直接写出下式结果吗?
667×24667×36667×4
667×7667×81667×132
解:根据667×3=2001这个乘式,只要因数667不变,则乘数3扩大几倍,它们的积也扩大相同的倍数。因此,只要看乘数是3的多少倍,直接将2001也扩大相同的倍数,便是乘积了。
乘数不是3的倍数,可以把它转化为3的倍数加上零头数。
667×24=2001×8=16008
667×36=2001×12=24012
667×4=667×(3+1)=2001+667=2668
667×7=667×(6+1)=4002+667=4669
667×81=2001×27=54027
667×132=2001×44=88044
34.欲乘先除(一)
遇到因数是5、25、125、375、625……根据积的变化规律,先除再乘较为简。
如:乘数是5:
38×5=38×(10÷2)=38÷2×10=190
48×5=48÷2×10=240
乘数是25:
77×25=77÷4×100=1925
乘数是125:
56×125=56÷8×1000=7000
乘数是625:
4.8×625=4.8÷16×10000=3000
按照这种方法,请你直接写出下式结果:
76×584×5442×537.6×5
36×258.4×2516×2672×125
40.88×125
解:76×5=380(76÷2×100)
84×5=420(84÷2×10)
442×5=2210(442÷2×10)
37.6×5=188(37.6÷2×10)
36×25=900(36÷4×100)
8.4×25=210(8.4÷4×100)
16×26=41616×[(25+1)=16×25+16]
72×125=9000(72÷8×1000)
40.88×125=5110(40.88÷8×1000)
35.欲乘先除(二)
例:56×75=56÷4×3×100
=4200
想一想,算式的根据是什么?
下面各题,你能一眼看出结果吗?
24×7536×756.4×754.8×7.5
64×37540×3750.88×37502.48×375
16×8754.8×875
解:24×75=1800=(24÷4×3×100)
36×75=2700=(36÷4×3×100)
6.4×75=480=(6.4÷4×3×100)
4.8×7.5=36=(4.8×7.5=48×75÷100)
64×375=24000=(64÷8×3×1000)
40×375=15000=(40÷8×3×1000)
0.88×3750=3300=(0.88×3750=8.8×375)
2.48×375=930=(2.48×375=248×375÷100)
16×875=14000=(16÷8×7×1000)
4.8×875=4200=(4.8×875=48×875÷10)
36.欲除先乘(一)
遇到有些除法,根据商不变性质,先乘后除倒显得简便、快捷。
如:除数为5:
230÷5=230×2÷10=46
除数为25:
23400÷25=23400×4÷100=936
除数为125:
1270÷125=1270×8÷1000=10.16
除数为625:
50÷625=50×16÷10000=0.08
按照这样的方法,快速计算:
13052.6÷542÷0.052100÷25
12÷258÷0.2530000÷625500÷625
1100÷625
解:130÷5=130×2÷10=26
2.6÷5=0.26×2=0.52
42÷0.05=420÷0.5=420×2=840
2100÷25=2100×4÷100=84
12÷25=12×4÷100=0.48
8÷0.25=8×4=32
30000÷625=30000×16÷10000=48
500÷625=500×16÷10000=0.8
1100÷625=1100×16÷10000=1.76