在学习生活中,每天都少不了计算。计算就是与阿拉伯字码打交道。1、2、3……,+、-、×、÷……有人感到厌烦,有人觉得有趣。
觉得有趣的是因为“十个数字颠来倒,千变万化藏奥妙。”有些计算看起来繁难,无从下手,然而一旦发现隐藏的技巧,却又是十分简单便捷。正如“山重水复疑无路”时,突然“柳暗花明又一村”,眼前的景况,令人一阵惊喜。
嫌数学枯燥的人,总仿佛走在不见阳光的胡同里,一个个数字都是灰蒙蒙,死气沉沉的。觉得数学有意思的却如同漫步在春光烂漫的百花园,竟然发现了新奇的花草。
这就是“机遇”。这种机遇,只会拜访那些肯钻研,爱动脑子的人,思想懒惰的人是永远也碰不到的。
其实,1、2、3、4……十个数字,表面上看是枯燥乏味,无生命的,但当你喜欢它了,一个个都变得活蹦乱跳,有生命了。它们组合起来,更是奇妙无穷。
德国历史上有位数学家叫做商克斯,他花了20年的光阴,把π的值推算到707位,创造了“手算”π的最高记录。要是数字真的枯燥乏味,他能忍受那么长时间的煎熬吗?
数字有趣,计算更有趣。单纯的数字计算有趣,由数字组合的各类绚丽多彩的应用问题,就更加趣味无穷。
这里只从茫茫数海中舀取一勺,你将在实际运算中,深刻地体会到:计算确是很有意思的。
1.“1”字聚会
37+37+37=111
瞧,37连加三次,和便是111。全是1。
你知道,连加后所得的和形成“1”字大聚会,还有哪些数?
将8547、15873、12345679分别连加,看看它们的和各是多少?
解:8547+8547+……+8547=111111,需要连加13个,便出现六个“1”聚会。
15873+15873+……+15873=111111,连加7个,便有六个“1”聚会。
12345679+12345679+……+12345679=111111111,连加九个,便有九次“1”出现在面前。
2.“8”字不来
自然数的序列是1、2、3、4、5、6、7、8、9……它们像列队报到一样,整齐排列。站在后面的数都比它前面的数多1。
会算下面的算式吗?
111111111÷9=?
千万别粗心,如果商里出现了“8”,那一定错了!因为“8”字藏起来了。
解:111111111÷9=12345679
上面各式,都是这个算式变化的。因此,它们的结果都是12345679。只是“8”字不见了。
你觉得有趣么?
3.想要就来
1、2、3、4、5、6、7、8、9……每一个数字都能引起人的丰富想像。有人说:“1字像粉笔,2字像小鸭,3字像耳朵,4字像小旗,5字像秤钩,6字像豆芽,7字像镰刀,8字像花生,9字像老爷爷的大烟袋。”
真有意思!
12345679,这几个数字中,只不见了“8”。而“8”字多么像香喷喷的花生,你想见到它吗?
可以!只要用8的9倍数去乘12345679,便可出现一长串8:
哇,全是8!
其实,只要你用一个合适的数去乘12345679,任何一个你喜欢的数字“想要就来”。
你知道这些乘数吗?
解:因为12345679×9=111111111
所以,想要几,就用9的几倍作乘便可以了。如,想要5,便用45(=9×5)作乘数即可。
4.成群结队
看看下面的算式,又一种奇妙的现象出现了!
12345679×12=148148148
12345679×15=185185185
12345679×21=259259259
12345679×24=296296296
12345679×27=333333333
12345679×30=370370370
12345679×33=407407407
12345679×36=444444444
12345679×39=481481481
……
瞧,结果总是三个数字重复出现,真像结伴而行的几个好朋友。它们总是互相联手,不肯分离。
你知道,要想得到这样的结果,有什么规律?
解:被乘数12345679没有变化,乘数分别是12、15、18、21、24……。
后一个乘数依次比前一个乘数都多3,得出的结果才能是三个数字循环出现,纷至沓来。
直到12345679×78=962962962仍然符合“成群结队”规律,可是,令人奇怪的是:当乘数超过“78”时,这种奇妙的现象便销声匿迹,不再出现了。
5.只问8数
观察下列各式:
1×9=9
11×99=1089
111×999=110889
1111×9999=11108889
请问:这样的被乘数和乘数各是十位数,积中应含有多少个8?
解:观察已知的算式:一位数相乘时,积没有8。两位数相乘时,积含有一个8。三位数相乘时,积含有两个8。四位数相乘时,积含有三个8……这表明积含有8的个数总比因数的位数少1。所以,因数若是十位数,积含有8的个数是10-1=9个。
6.高峰数字
我们知道2×5=10。
现在把2和5的位数同时增多,看它们的积将出现怎样的现象:
22×55=1210
222×555=123210
2222×5555=12343210
22222×55555=1234543210
现在问你:如果九个2与九个5相乘,它们的积中“高峰”数字(即最大的数字)是多少?
解:从已知的算式中,可以看到由2和5组成的两个因数,它们的积是有规律地出现的,积的数字由小而大,到达一定的高峰时,又由大而小,逐渐地降落下来。恰似一个坡度对称的小山一般。也像登山,从一侧上去,又从另一侧下来。
再看积中的高峰数字:因数是两位数时,高峰数是2,因数是三位数时,高峰数是3,因数是四位数时,高峰数便是4……。
明白了,因数是几位数,积中的最大数字便是几。因此,我们不仅可以知道九个2与九个5相乘时积中的最大数字,还可以直接写出积的全部数字。
奇怪的是,当2和5的位数超过九位时,这种现象便不存在了!
7.数字塔群
看看下面这些有趣的计算吧!
1×9+2=11
12×9+3=111
123×9+4=1111
1234×9+5=11111
12345×9+6=111111
123456×9+7=1111111
1234567×9+8=11111111
12345678×9+9=111111111
81+9=90
882+9=891
8883+9=8892
88884+9=88893
888885+9=888894
81-9=72
882-9=873
8883-9=8874
88884-9=88875
81÷9=9
882÷9=98
8883÷9=987
88884÷9=9876
888885÷9=98765
你能找到这些数字的变化规律吗?
请你再算算下面各个数字塔的结果,说说它们有什么规律?
A.6×9=616×9=61716×9=6172716×9=
B.7×9=
707×9=
70707×9=
7070707×9=
解:这些数字塔,它们的数字都呈现一定的规律性,只要解出前面的几道,后面的就可以依据规律,直接地写出结果了。
A题的数字出现规律是:54、5544、555444。
B题的数字出现规律是:63、6363、636363、63636363。
8.难中见易
有这样一道题:
221221221221÷136136136136=?
唉!除数多到十二位数。多位数除法中从没见到过。太难了!
其实,数学中有好多题目,看起来令人望而却步。对类似的问题,先要冷静分析,看看有没有独特的规律。这样做之后,说不定就可以难中见易了。
解:这道题的被除数和除数,数字都是三个数字重复出现组成的。因此,可以把它们变化后再解。
221221221221÷136136136136
=(221000000000+221000000+221000+221)
÷(136000000000+136000000+136000+136)
=221×(1000000000+1000000+1000+1)÷136
×(1000000000+1000000+1000+1)
=(221×1001001001)÷(136×1001001001)
=221÷136
=(13×17)÷(8×17)
=13÷8
=1.625
想不到竟是这么容易!
9.异中求同
计算:5436×5438-5435×5439=?
解:式中几个数的特点是:四位数的前三位数字相同,只有个位数字不同,就从个位数上想想办法,使它转化为方便运算的数字。
减号前可变为:
5436×5438=(5435+1)×5438
减号后可变为:
5435×5439=5435×(5438+1)
这样将算式展开便找到了捷径。
5436×5438-5435×5439
=(5435+1)×5438-5435×(5438+1)
=5435×5438+5438-5435×5438-5435
=5438-5435
=3复杂算竟变得如此简单!
10.许多个9
计算:999×999+1999=?
解:999可以变化为1000-1,1999可变化为:1000+999,这样:
999×999+1999
=999×(1000-1)+(1000+999)
=999000-999+1000+999
=1000000
11.加1凑整
计算:19999+1999+199+19=?
解:把每一加数都先增加1,使它们变成整千、整百……,再根据“多加要减去”的原则处理,就得:
19999+1999+199+19
=(19999+1)+(1999+1)+(199+1)
+(19+1)-4
=20000+2000+200+20-4
=22220-4
=22216
12.何年出生
董尧问张华是哪年出生的,张华拿起笔在纸上写了一道算式:
1988+1989-1990+1991-1992+……-2000=?
“算式的得数就是我出生的年份。”张华笑着说。
董尧很快就算出来了。
你知道董尧是怎么计算的吗?
解:这类题是连续数加减混合,如果逐个加减便太麻烦了。
董尧运用简便方法很快就算了出来。他把式中凡是加数写一行,凡是减数另写一行,而后凑整,加减抵消。只运算余下不能抵消的数。即:
加数:
减数:
张华的出生年份是:
(1988+1989+……+1995)-(1990+……+2000)
=(6000-12-11-5)-3990
=5972-3990
=1982
13.日取其半
公元前300年左右,中国有位杰出的学者庄子,在他的文章《天下篇》中写道:
一尺之棰,日取其半,万世不竭。
意思是,一尺长的木棍,每天截掉一半,千年万载也截不完!
根据这句话,列成算式,可以求出截了若干天后,还剩余多少?
通过计算,你从中发现什么规律?
这些式子的特点,都是被减数是1,没有变化。减数都是分子是1,分母后一个前一个的2倍。
14.巧妙转化
计算:
1×2÷3×4÷5×……×1996÷1997×1998×1997÷1996×……×5÷4×3÷2×1=?
解:这种问题,初看纷繁复杂,求解很难。
整个算式是连续自然数乘除相间,从1开始至1998之后,再由高而低降至1,项目多到近四千个。按常规运算显然不妥。
如果将“除以一个数”转化为“乘以这个数的倒数”,便一眼看出通过约分,原来十分简单!
15.预知乘积
先观察下列各式:
7×9=63
77×99=7623
777×999=776223
7777×9999=77762223
解:分析上述被乘数、乘数和积,它们的共同特点是:
①积的末位数总是3,而且只有一个3。积的组成数字只有7、6、2、3。不论积是多大,6也只有一个,而且紧挨在7的后面。
②积中含7的个数与含2的个数同样多。
③积中含7的个数总比被乘数少1。
由此可知:八个7与八个9相乘,积中应含有七个7,一个6,七个2,一个3。16.判断末位
有两道乘法算式,它们是:
78925×63825,74576×82376
你能说出它们积的末两位数是多少吗?
也许你会说:“将它们的积求出来就知道了。”可是这不算本事,能否不计算就知道呢?
解:不必计算,因为任何两个数的积的末两位数,仅与这两个数的末两位有关,而他们的末两位数积是:
25×25=625,所以38925×63825积的末两位数也是“25”。
76×76=5776,所以74576×82376积的末两位数是76。
正巧都是它们本身。
17.积中奇数
仔细观察下列算式:
1×9=9……积中有一个奇数
11×99=1089……积中有两个奇数
111×999=110889……积中有三个奇数
1111×9999=11108889……积中有四个奇数
你能不用计算就判断:111111111×999999999的积中有多少个奇数吗?
解:分析上述的算式特点是:
①被乘数和乘数位数相同。分别是1与9位数逐渐增多。
②积的数字总是1、0、8、9几个数字组成。其中奇数个数与被乘数位数相等。
由此可断定:111111111×999999999被乘数共有九位数,它们的积也应该有9个奇数。
计算也很容易:
111111111×999999999
=111111111×(1000000000-1)
=111111111000000000-111111111
=111111110888888889
18.选择代表
计算:19995+19996+19997+19998+20014=?
解:因为五个加数都接近20000,就以20000“作代表”,先把它们都当作20000计算,而后根据“多加要减去”、“少加要补上”的原则,求得结果。
19995+19996+19997+19998+20014
=20000×5-(5+4+3+2-14)
=100000
19.积的个位
8×8×8×8……×8,总共四十个8相乘,你能判断积的个位数字是几吗?
解:解答这类问题可不能死拼硬算,必须寻找乘积个位数字的变化规律。
可以先计算一部分再观察:
8×8=64
8×8×8=512
8×8×8×8=4096
8×8×8×8×8=32768
8×8×8×8×8×8=262144
8×8×8×8×8×8×8=2097152
8×8×8×8×8×8×8×8=1677216
到这里发现积的个位数重复出现了,它的周期是每四个数便循环出现8-4-2-6。
四十个8相乘,共有40÷4=10个周期,个位必是6。若不是整周期,便依余数向后数。
20.0的个数
不进行实际计算,你能说出1×2×3×4……×98×99×100算式的积中,末尾有多少个连续的0?
解:认真的分析一下算式的特点,便可知道:
①式中含有整十相乘的是:10、20、30、40、50、60、70、80、90、100,这些数相乘积的末尾都带0,合计11个0。
②5和5的倍数与偶数相乘,末尾也都带0,这些数是:5、15、35、45、55、65、85、95,共有8个0。
③25和75乘以4的倍数末尾都至少有两个0,这样便有4个0。
所以上式积的末尾有(11+8+4)共23个0。
21.哪个积大
下面的两道算式,能不能不必计算就断定它们的积谁大?谁小?
①1234×4321=?
②1233×4322=?
解:两道乘式都含有1233×4321。如果把这个乘式从两道题中去掉,那么第1题还剩下1个4321,第二题里还剩下1个1233,4321>1233,所以第1题的积比较大。
用乘法分配律也能比较出来:
1234×4321=(1233+1)×4321