1754年拉格朗日（Lagrange）对等时降线做出了重要的发现，这将大大推动变分法这个新学科。
1757年以拉格朗日为首的一批科学家，在意大利成立了一个数学协会，这是都灵皇家科学院的前身。
1770年拉格朗日证明了任意正整数可表为四个平方数之和。
1770年拉格朗日出版了《关于方程代数解的思考》（Réflexions sur la résolution algébrique des équations），这是一个对于最高次数为四次的方程存在根式解的原因的基础研究。该论文首先将方程的根视为抽象量而不是数字。他研究了根的置换，这项工作导致了群论。
1771年拉格朗日证明了威尔逊定理（首先由华林（Waring）提出但未给出证明），即n是素数当且仅当(n - 1)!+ 1被n整除。
1780年拉格朗日因为研究行星对彗星轨道的扰动的工作获得了法国科学院的最高奖。
1785年拉格朗日开始了关于椭圆函数和椭圆积分的工作。
1788年拉格朗日出版了《分析力学》（Mécanique analytique）。它总结了自牛顿时期以来在力学领域完成的所有工作，值得注意的是它使用微分方程理论。通过这项工作，拉格朗日将力学转化为数学分析的一个分支。
1797年拉格朗日出版了《解析函数论》。它是第一本研究单变量实变函数理论的论文。它使用现代记号，例如dy/dx表示导数。
拉格朗日乘数法解决约束优化问题。有n个变量和k个约束优化为含有（n+k）个变量无约束化问题。
引入拉格朗日乘子建立极值条件，对n个变量分别求偏导对应n个方程，然后加k个约束条件（对应k个拉格朗日乘子）一起构成包含了（n+k）变量的（n+k）个方程的方程组问题，再用方程组求解。