拉格朗日对对方程感兴趣的鲁菲尼说：“我突然有个发现，不知道对不对。”
鲁菲尼说：“我知道，你这两天在研究解方程的问题，没有弄力学。”
拉格朗日说：“力学是一辈子的事儿，也不在乎这几天。更何况，方程就是为了解决力学的。”
鲁菲尼说：“方程的问题，无非就是解高次方程。”
拉格朗日说：“肯定的，只是我发现了一种奇特的东西，五次方程恐怕没有解法。”
鲁菲尼说：“可以理解，但是我不能肯定你说的话。毕竟，三次方程的解就有了足够的难度，四次方程以及难的上青天了。五次方程就算有解，恐怕能长的写一本书了。”
拉格朗日说：“我决定貌似不能用代数方法表达出来。”
鲁菲尼说：“胡说！哪里会有这种事情？”
拉格朗日说：“关键是，我还发现了一种奇怪的特征，我想跟你讨论。”
鲁菲尼说：“还有奇怪的？”
拉格朗日说：“我发现2、3、4次方程的解与2、3、4元素的置换有关系。”
说着拉格朗日画出了2、3、4的置换，对鲁菲尼讲解了置换的概念。
鲁菲尼说：“貌似确实有关系，我以前有这样的感觉，但是没有认真注意过，你认为5次置换……”
拉格朗日说：“没错，五次的置换有问题！”
鲁菲尼说：“现在面临着两个问题，第一，五次置换有什么问题，你能说清这个问题吗？第二，五次置换的问题跟5次方程有关系吗？第三，你能用现有的代数学证明出来吗？”
拉格朗日说：“第一，我用第六感能感觉出来，肯定有关系。只是这第二个，有点麻烦。恐怕不能用现有的代数知识来证明。需要引入新的数学工具。”
鲁菲尼说：“如果引入新工具，你的这个新工具就要有严谨性和准确性，不能有让人怀疑的地方。”
拉格朗日说：“姑且叫这个理论为置换理论吧，对于3、4次的置换，他们都要自己的整个的子交换，5次没有这种正规的子交换。”
鲁菲尼说：“什么是子交换？”
拉格朗日说：“像合数有自己的因子一样，交换也有自己的因此，可以做乘除法运算。如果H是有限交换G的子交换，那H的阶整除G的阶。阶就是可以交换数。我试过2、3、4次这些置换的乘除，和对应的置换的乘除，都是成功的。而5次根本就没有2、3、4次这样成功的结构。”
鲁菲尼说：“因为你看到五次方程没有这种正常的子交换，所以，你认定五次方程不会有代数的解法。我认为这个说法还是有些突兀。”
拉格朗日说：“这个问题有复杂，只能交给聪明的后代去做了。”