“高斯提出的问题我已经考虑好久了。其中的习题有的我已经做了好几遍了。”当伽罗华讲述他理解此题的经过和思路时，讲到精采处，理查情不自禁地鼓起掌来。他对其他教师说：“伽罗华最适宜在数学的尖端领域中做研究工作。”之后，他帮助伽罗华撰写了第一篇数学论文《循环连分数定理》，并推荐在《纯粹与应用数学年鉴》上发表。
16岁时，伽罗华考入巴黎师范大学。入学半年，他向法国科学院提交了有关群论的第一篇论文。不久，他又以超人的才气完成了几篇数学研究文章，以应征巴黎科学院的数学特别奖。谁知命运对他极不公正，使他连遭厄运。
当科学院第一次审查会开始时，法国数学家柯西是一位心胸狭隘的人。当他打开公文包时，耸耸肩，却说：“非常遗憾，伽罗华的论文不知怎么丢失了。”于是审查会不得不草草收场。伽逻华还曾向法国科学院寄过几篇数学论文，经手的人是常务秘书傅立叶。傅立叶也是一位大数学家。岂知事不凑巧，傅立叶接到手稿后不久去世了，人们在他的遗物中也没有找到伽罗华的手稿。
1831年1月17日，科学院第三次审查伽罗华的论文。
主持人是大数学家泊松。泊松出于傲慢与偏见，认为伽罗华只是一个普通高校的普通大学生，难有什么创见，因此没有认真听伽罗华的论文宣读，便草率地下了一个结论：“完全不能理喻。”
尽管命运如此不公，但伽罗华仍继续他的数学研究。他涉足了方程论、群论、可积函数等众多领域，创立了“伽罗华理论”，为群论打下了坚实的基础。除此之外，他还在数学中建立了许多概念，他的研究成果在大量的、各种各样的数学研究中得到广泛应用。在他的著作基础上，产生了许多全新的数学分支……伽罗华还是一个倾向民主共和的积极分子。为了纪念法国人民攻占巴士底狱，他参加了反对复辟王朝的群众游行示威，并因此被逮捕，在狱中被关押8个月。
就在他出狱不久，为了一桩至今仍是谜团的恋爱纠纷，被迫接受决斗，因而惨死枪下。
也许他知道此次决斗凶多吉少，于是他留下了遗言给他的同伴。信中写道：“我请求大家不要责备我不是为自己的祖国而献出生命……苍天作证，我曾经用尽办法试图拒绝决斗，只是出于迫不得已才接受了挑战。”
他还在自己留下的60页数学手稿中留下了字条：“这个论据需要补充，现在没有时间。”
伽罗华英年早逝，无疑是数学界的一大损失。一些大学者们认为，他的死，“至少使数学发展推迟了几十年。”
玻洛汉姆桥上的数学发现
爱尔兰的都柏林市有一座名叫玻洛汉姆的桥。至今，桥头仍立着一块石碑，碑文刻的是：“1843年10月16日，当威廉·哈密顿经过此桥时，他天才地发现了四元数的乘法基本公式。”人们经过这里，都要驻足观看碑文，缅怀哈密顿对科学的伟大贡献。
哈密顿，1805年生于爱尔兰首府都柏林。他的父亲是一位律师兼商人，母亲是名门小姐，父母都很有才华。但是，到他14岁时，双亲都不幸相继去世。从此，他的叔叔詹姆士·哈密顿成了他的监护人。詹姆士是一位精通多种语言的专家，哈密顿从小就受其影响，在语言上得到了早期发展。正是早期的语言发展，提高了他的逻辑思维能力，为他在数学的成就奠定了基础。
12岁时，哈密顿读完了《几何原本》，接着，又读完了法国数学家克莱罗的《代数基础》。13岁时，从美国来了一位数学神童。于是，两位神童互相切磋，取长补短，使他在数学上的兴趣大增。17岁时，哈密顿就掌握了微积分，并学会了计算日食和月食的数理天文学。18岁时，他参加了都柏林三一学院的入学考试，在100多名考生中，他以第一名的成绩被录取。
1827年，22岁的哈密顿大学还没有毕业，就写成了《光线系统理论》的论文。这篇论文为几何光学的建立奠定了素材基础，并且引入了所谓光学的物征函数。后来，哈密顿又对该论文作了三个补充，从数学理论推演出，在双轴晶体中按某一特殊方向传播的光线，将产生折射光线的一个圆锥。这个论点后来被光学实验证实了。
当时学院里有一位很有影响的天文学教授叫布瑞克莱，他十分欣赏哈密顿的才华。1827年，布瑞克莱宣布辞去都柏林三一学院天文学教授的职位。他极力推荐，并说服校方，年仅22岁的哈密顿大学还没毕业，就成了布瑞克莱的继承人，成为天文学教授。与此同时，哈密顿又荣获了爱尔兰皇家天文学家的称号。
但是，哈密顿的志向不在天文学上，他全力以赴地钻研数学。1828年开始，他就着手研究四元数。四元数是实数、复数这个数系的发展，是超复数的一种，即属于四维矢量。用现代术语来说，它是一个线性代数的组成部分。
然而，经过十几年的苦心钻研，哈密顿仍然没有成功。
1843年，已经是他研究四元数的15个年头了。这年的10月16日黄昏，哈密顿的妻子见丈夫整日埋头书堆，劳累不堪，于是费了好大劲才把他劝动，拉他外出散步。
当时秋高气爽，景色宜人。哈密顿在妻子的陪同下，漫步在皇家护城河畔的林荫道上。一阵阵秋风吹来，带着成熟的果香。哈密顿贪婪地呼吸着河畔清新的空气，不禁心旷神怡。他暂时忘了他醉心的数学题目，陶醉在大自然之中。
他们夫妻俩走上了玻洛汉姆桥，驻足桥上，望着暮色中的街景桥影，哈密顿的大脑思维突然再度活跃起来，闪光、跳荡、寻觅、联想……突然，他的思维大门一下子打开了，智慧的冲击波冲破了以往的障碍束缚，他一下子悟出了四元数运算的奥秘。他立刻掏出随身携带的笔记本，把他头脑中闪光的要点迅速记录下来。追求15年之久的四元数研究目标，终于在玻洛汉姆桥上找到了它的解法。哈密顿唯恐思路中断，急忙拉起他的夫人往家里跑去，这时，其他散步的男女老少都用奇异的目光看着这一对怪人。
回到家里，哈密顿把自己关进书房，一连几天不肯出来，甚至连饭都得让人送进去。最后，他终于从数百页演算纸里，抄清出了一篇极有价值的论文。
1843年11月，哈密顿在爱尔兰科学院宣布发现“四元数”，从而轰动了当时的数学界。四元数的发现，有力地推动了向量代数的发展。过去，复数理论只可用于平面向量，而空间向量问题则要用四元数向量部分来解决。哈密顿还把四元数引入微积分，定义了描述函数的数量或方向两个方面的变化的一系列概念。例如“梯度”、“旋量”等，成为研究物理学、工程学的重要计算工具。
10年之后，哈密顿写成了《四元数讲义》，并于1857年发表。当时著名的物理学家麦克斯韦正在研究电和磁，他苦于无法描述电磁运动及其变化规律。电和磁都是带有方向性的量。要弄清电磁运动的规律，必须首先从数学方法上找到解决的途径。麦克斯韦曾长期用复数向量处理，却一直得不到正确结果。当哈密顿四元数问世后，终于使麦克斯韦走出困境，使他的电磁研究获得了成功，并得出了“麦克斯韦方程组”，预言了电磁波的存在。
哈密顿深知四元数在科学上的重大意义。于是，在他生命的最后20多年中，一直倾注全力进行研究。他预感到，四元数的应用将在物理界引起巨大的变革。可惜的是，在这种变革没有到来之际的1865年9月2日，他因为慢性酒精中毒而离开了人间，终年60岁。
领一代风骚的“数学王子”
1777年4月30日，德国的布伦瑞克城一个引水站站长家里新生了一个男孩，他就是卡尔·弗里德里希·高斯，一位天才的数学家。
高斯从小聪明好学，对数学有着得天独厚的天赋。3岁时，每当父亲和其他大人们计算水的帐目时，他都在一旁聚精会神地听着看着，对枯燥的数字有无限的兴趣。有一次，当他的父亲哥布哈德刚刚算完一笔支出帐，就听小高斯说：
“爸爸，这笔帐您算的不对！”
爸爸吃惊地看着3岁的小儿子，似信不信地把帐重算一遍。令他吃惊的是，自己算的帐真的错了！但他心里想：
“这也许是一次巧合吧。”
后来，这种“巧合”越来越多，哥布哈德才知道他的儿子是个天才。由于生意场上的失意，老高斯渐渐地颓废下去，时常用酒打发时光，他就把算帐的工作全部推给了不足10岁的小高斯。而小高斯不管帐目多么繁琐复杂，都能运算自如，表现出超常的计算能力。
读小学时，小高斯特别迷恋算术课。一天，数学老师伯特纳夹着手杖来上算术课，他对同学们说道：“现在给你们出一道题，请计算出从1到40所有数字的总和。谁做好了，就把答案送到我的讲桌上来。”
于是，孩子们都埋头书桌，教室里鸦雀无声。伯特纳老师悠然自得地放下手杖，坐在讲桌前看着这些孩子们。
谁知他刚刚坐稳，就见小高斯拿着练习本向他走来，轻松愉快地说：“老师，我做好了。”
伯特纳心想，他做得这么快，错误一定不少。便说：
“放下吧！”心里在想，等都交全了，我再教训这个毛草而神气十足的孩子。
过了许久，孩子们才把练习本全交上来，伯特纳特意拿起最先交的高斯的练习本。他看了一会儿便惊呆了！只见小高斯的练习本上整齐地排着20组加法：1＋40，2＋39，3＋38，4＋37，……，然后用一组乘法：41×20。得出了正确答案：820。无疑，这答案是正确的。老师望了一眼他想批评又批评不了的高斯，内心却受了很大震动。事实上，小高斯是在没有一点儿概念的情况下，发现了等差数列的规律及计算方法。
从此，伯特纳老师对小高斯刮目相看，并尽力地培养他。每当去汉堡时，都要买回各种数学课本给高斯看。这一切，使小高斯的数学才能大增。不久，小学还没毕业的高斯，其计算才能就引起了当地各界人士的注意。14岁时，高斯被引荐给当地最有名望的人物，布伦瑞克城的大公卡尔·费尔南多，费尔南多成了高斯的长期保护人。
在费尔南多大公在世的那些年里，高斯每年都可以领到薪俸。由于有了这笔钱，生活有了保障，高斯就全身心地投入到研究工作中去。
1801年，24岁的高斯出版了《算术研究》这一科学巨著，开创了近代数论，得到数学界的一致好评，奠定了他作为18世纪最伟大数学家的地位。
在这之前，高斯成果累累。11岁时，他发现二项式定理；17岁时提出最小二乘法；22岁时证明了代数方程根定理……人们一致赞誉他是当之无愧的“数学王子”。
1807年，高斯应哥廷根大学的邀请，担任了该校的数学教授和天文台台长。从此他在哥廷根大学从事研究直至生命的终结。在以后的岁月里，他对非欧几何、复变函数、概率论、椭圆函数论、数学统计等都有重大贡献。他以治学态度认真严谨著称。虽然，早在1800年他就发现了椭圆函数，1816年发现了非欧几何。但他一直在做这些重大发现的完善工作，一直没将这些发现公布于世。直到他死后，人们才从他日记的遗稿中发现了这一切。
高斯的著作非常丰富，但在他生前并未全部发表出来。
直到第二次世界大战前夕，才由哥廷根大学的学者们对其遗著进行整理研究，出版了长达11卷的《高斯全集》。
高斯还在天文学和物理学上有很高的成就。他创立了一种可以计算星球椭圆轨道的方法，可以极准确地预测出行星的位置。由他计算出了一颗即逝的谷神星轨道，曾轰动了天文学界。高斯对电磁学的贡献也是巨大的，他提出了磁场的“高斯定律”。
高斯逝世于1855年，终年78岁。和他同时代的科学家，几乎都从他那里得到过教益。一位科学家曾高度评价他说：“如果我们把19世纪的科学家想象成为一系列的高山峻岭，那么使人肃然起敬的峰颠就是高斯。”人们还常常把高斯比作一座桥，认为一个数学家不论来自哪里走向何方，他都必须经过高斯这座桥。
高斯逝世之后，哥廷根大学为他在校园内建了一座塑像，底座是一个正17边形的台基。原来，高斯临终时留有遗嘱，希望在他的墓碑上刻上正十七边的图形。因为他是在用直尺和圆规作出了正十七边图形后才献身数学事业的。
“假结婚”走出国门的女数学家
1850年，莫斯科一位数学教师家里诞生了一位女婴，她就是俄国伟大的女数学家苏菲·柯瓦列夫斯卡娅。
幸运的是，苏菲从一降生，就生活在数学的天地里。原来，她住的房子，墙壁上四处裱糊着她父亲的数学讲义。苏菲从小就看着，读着这些半懂不懂的讲义长大。那些奇奇怪怪的数学符号给她留下了深刻的印象。伴随年龄的增长，在家庭女教师的解答下，她渐渐弄懂了这些符号和数学公式。
14岁的时候，苏菲不经别人帮助，就能看懂父亲的朋友带给她的数学教科书中三角公式的意义，15岁时，父亲同意她利用冬季居住彼得堡期间，学习高等数学。
长成大姑娘的苏菲十分想往完全的高等教育，可是当时俄国的大学对女子是紧闭大门的。当时，只有西欧一些大学肯收女学生，苏菲于是立志要到外国去。可是，专横的父亲不同意，他不希望女儿从自己的身边飞走。
当时，一些俄国姑娘为了离开专制的家庭，常常采用与外国人“假结婚”的办法出国，苏菲也如法炮制，与莫斯科大学一位外国学生协商，帮她实行“假结婚计划”。1868年，苏菲不顾父母的反对“结婚”了，第二年春天，她冲出国门，为了她喜爱的数学，来到了德国的海德堡。
又几经周折，苏菲进了德国最古老、最有名望的海德堡大学。三年期间，她修完了数学、物理、化学和生理学等大学课程。在大学里，她最喜欢的课程是“椭圆积分论”。当她得知这一理论是著名数学家魏尔斯特拉斯建立的，就热切地想去柏林向这位著名的教授学习。
1870年，苏菲来到柏林，尽管她带来了海德堡大学教授的推荐信，但柏林大学仍拒收她，唯一的理由就是“柏林大学不收女学生”。无奈，苏菲只好直接去找年已55岁，声名显赫的魏尔斯特拉斯教授。这位数学大师与苏菲一谈，深被她的求知欲所感动，便亲自与学校当局疏通，但学校当局及同事们都认为，数学不是女人的事，拒绝了他的极力推荐。
善良的魏尔斯特拉斯为了不让苏菲失望，决定自己教她，但他要先试试苏菲的水平，刚好他手里有一些准备给高年级学生演算的试题，他就叫苏菲做一做。令他吃惊的是，苏菲不仅演算迅速、答案清晰，而且很有独创性。从此，苏菲便在这位名师的指导下从事数学学习和研究。
1874年，德国的数学中心哥廷根大学，根据魏尔斯特拉斯教授的推荐和苏菲三篇高水平论文，未经口试，便授予苏菲博士学位。她成为哥廷根大学第二个女博士。之后，魏尔斯特拉斯教授极力推荐她去大学教书，但顽固的守旧势力始终不肯接纳她，苏菲只好回俄国去了。