什么是极限？极限难懂吗？其实，我们在小学学算术的时候就认识极限，和它打过交道，只不过那时没有用极限来称呼它罢了。
从分数谈起
我们很熟悉分数。在分数化小数的时候，我们常常会碰到一类没完没了的小数。
你看，化13为小数，它等于0.333…，是一个无限循环小数。
你再看13＋13＋13＝0.333…＋0.333…＋0.333…左端相加等于1，右端相加等于0.999…所以1＝0.999…这个等式对吗？你是否觉得0.999…应该比1小一点点才对呢？可是这里划的是等号，表示0.999…＝1这就是极限问题。
要是把13＝0.333…两边同乘以6，就得到2＝1.999…看起来，1.999…好像也应该比2小一点点才对，可是这里划的也是等号，表示两边一星半点也不差。
这到底是怎么回事呢？
在小学里，我们还学过无限循环小数化分数：0.7？=0.777…＝790.14？？＝0.141414…＝14990.132？？？＝0.132132132…＝1329990.21547？？＝0.215474747…＝0.215＋4799000为什么在循环节下面写上几个9，就可以把循环小数化成为分数呢？这也是极限问题。
极限并不难懂，只要动脑筋多想想，是完全可以领会的。
惠施的名言
古希腊有一位诡辩家叫芝诺，我国古代战国时期，也有过一位精于辩论的有名人物叫惠施。
惠施很有学问，据说他写的书要装好几大车。
惠施说：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”意思是说一根一尺长的棍，每天都把它断为两半，取走其中一半，千秋万代也取不完。
你看，第一天取走12尺，剩下12尺；第二天取走12尺的12，剩下14尺。这样继续分下去，剩下来的棍是18尺，116尺，132尺……，虽然越分越短，可就是分不完，也取不完。
由分棍问题中，我们得到了一串有顺序的数：1，12，14，18，…我们把这一串有顺序的数叫做“数列”，把其中每个数叫做数列的“项”。比如这个数列的第一项是1，第二项是12，第五项是116。
数列的种类
数列的种类很多。
数列1，12，14，18，…有无穷多项，是一个无穷数列。它的特点是越变数值越小，越变越靠近零，近到要多近有多近。
数列0.9，0.99，0.999，…也是一个无穷数列。它的特点是数值越变越大，越变越靠近1，近到要多近有多近。
数列1.9，2.01，1.999，2.0001，…也是一个无穷数列。它的特点是数值一会儿大，一会儿小，总的变化趋势是越变越靠近2，近到要多近有多近。
数列1，1，1，1，…是个无穷数列，各项都等于1，是一个常数列。
数列4，7，－1，53，－29，－0.05是一个有穷数列，一共有六项。它的变化杂乱无章，看不出什么规律来。
我们应该把注意力集中在前面三种无穷数列上。它们的共同特点是越变越靠近某个固定的数。认真研究一下它们的变化规律，我们会发现用“靠近”这个词，来形容它们与某一个固定数的关系还不够确切。比如数列0.9，0.99，0.999，…与1的关系，已经靠近到了这样一种程度，这个数列充分靠后的项，与1近到了“你要多近有多近”，“你说多近，可以近到比你说的还近”。
杂技钻圈
你看过杂技钻圈吗？舞台上立着几个直径很小的圈，演员们个个轻巧灵活，像猫一样在几个圈之间钻来钻去。
下面，我们来看一个数学杂技钻圈，“演员”是无穷数列0.9，0.99，0.999，…在数轴上以1为圆心，画几个同心圆，这就是一个套一个的小圈。
从图可以看到，数列的第一项0.9，还在所有圈的外面；第二项0.99，就钻进到第三个圈里面去了；第三项0.999，钻到第四个圈里面去了……
数列的这个“演员”，比杂技演员的技术还要高超。杂技演员钻的圈不能无限制的小，比如直径比头还小的圈，就说什么也钻不进去了。但是，数列的这个“演员”可不论那一套，不管圈的直径有多小，它都能照样钻得进去。
半径为0.000000001的小圈，可够小的了，数列从第十项0.9999999999起，都能钻进到小圈里去。因为1－0.9999999999＝0.0000000001＜0.000000001，所以，0.9999999999应该在小圈里。你随便往小说好了，只要你能说出具体的数来，数列从某一项起就准能钻得进去。
但是，数列“演员”也有不如杂技演员的地方。杂技演员在表演钻圈时，既可以探身钻进去，也可以缩身退出来。数列“演员”0.9，0.99，0.999，…就不行了，它从某一项起，只要钻进以1为中心的小圈里，就再也不能退出来了。
对杂技演员来说，不管你把圈放在什么地方，放在北京还是上海，放在中国还是外国，他们都可以同样表演。数列“演员”0.9，0.99，0.999，…就不成了，它只会钻以1为中心的各种小圈。要是你把圈挪动一下，比如把中心挪到2，那它只能看着放在近旁的小圈，望圈叹息，钻不进去。因为数列0.9，0.99，0.999，…只能越来越靠近1，不能超过1，所以就钻不进以2为中心、半径小于1的圈了。
根据同样的道理，数列1，12，14，18，…可以钻进以0为中心的同心小圆里；
数列1.9，2.01，1.999，2.0001，…可以钻进以2为中心的同心小圆里。
这三位数列“演员”，虽然钻圈的本领一样高强，但是它们的钻法各异，自成一派。
你看，数列0.9，0.99，0.999，…总是从左往右钻圈；数列1，12，14，18，…总是从右往左钻圈；数列1.9，2.01，1.999，2.0001，…总是一左一右跳跃着钻圈。
一个无穷数列，要是从某一项开始，以后所有的项都是越来越靠近一个固定的数，靠近到“你要多近有多近”，“你说多近，可以近到比你说的还近”，我们就把这个固定的数，叫做这个无穷数列的极限！反过来看，要是一个无穷数列有极限的话，它一定是一位钻以极限为中心的小圈的能手。
0.9，0.99，0.999，…的极限是1；
1，12，14，18，…的极限是0；
1.9，2.01，1.999，2.0001，…的极限是2。
谨防冒牌货
无穷数列0.9，0，0.99，0，0.999，0，…有没有极限？1是它的极限吗？
我们说，这个数列没有极限，1不是它的极限。因为这个数列不是一心一意地、而是三心二意地靠近1。你看它往1靠近一步，下一项就跳回到零；再往1靠近一步，下一项又跳回到零。它有“猴脾气”，在里面呆不住，这不符合极限的要求，所以没有极服。
数列0.1，0.01，0.001，0.0001，0.00001，0.000001的极限是0吗？
这个数列变化的趋势，确实是越来越靠近0，但是它只有六项就完了，做不到“要多近有多近”，所以没有极限。因此，项数有限的数列，不管有多少项，根本谈不上有极限。
下面的几个数列有极限吗？如果有极限，极限是什么？
12，23，34，…
1，2，3，…
11，12，13，…
4，4，4，…
12，－14，18，－116，…
0.9，0.99，0.999，0.9999，0.99999
1，－1，1，－1，…
请你动脑筋想一想，不要判断错了。
取胜的绝招
有些人，虽说不知道什么是无穷数列和极限，可是却会用它们去争论问题，运用灵活，你相信吗？
你听，这是甲、乙两个小同学看了电影《孙悟空大闹天空》后，正在兴高采烈、津津有味地争论。
甲：我有孙悟空的本领，说声“变”，我就可以变成一个一尺高的小人。
乙：我的本领比孙猴子高，我说声“变”，可以变成一个半尺高的小人。嘿，比你矮半截。
甲：半尺高算得了什么，我再说声“变”，就为成一个一寸高的小人啦。
乙：我再说声“变”哪，就半寸高了，还是比你矮一半。
甲不说话了，他在心里想，照这样说下去，没完没了，而他总比我矮。他终于想出了一个好主意，对乙说道：咱俩别抬杠了。这样吧，你比我年龄小，我让你先说。你可以随便往矮里变，只是不许变没了。你说了以后，就不许再改了，然后我再说，怎么样？
乙：行。他憋足了劲说：我可以变成一个一万万万万分之一寸高的小人。
甲胸有成竹地说：我可以变成两万万万万分之一寸高的小人，比你矮吧。
甲后发制人，取得了胜利。
要是有人不相信无穷数列12，14，18，…的极限是0；12，23，34，…的极限是1，你就可以采用这种后发制人的取胜绝招，使他点头称是，口服心服。
做一次游戏
知道了什么是极限，就可以来研究为什么0.999…＝1了。
我们可以把无限循环小数0.999…看成无穷数列0.9，0.99，0.999，…因为1是这个无穷数列的极限，所以有0.999……＝1啊，原来这个等式的含意是：无穷数列0.9，0.99，0.999，…的极限等于1。
我们还可以把0.999…写成无穷多项的和：
0.999…＝0.9＋0.09＋0.009＋…
因为0.999…＝1所以0.9＋0.09＋0.009＋……＝1这个等式很重要。现在，我们用这个等式来做一次取糖游戏；
假设在一个口袋里装有十块糖，你六秒钟取出一块，一分钟就把十块糖取出来了。要是口袋里的糖增加到一百块，让你一分钟全取出来，只要你动作快一些，能保证0.6秒取出一块，一分钟也就把糖全取出来了。
现在，假设口袋里装有无穷多块糖，让你一块一块地往外取，并且限你一分钟全取出来，你办得到吗？这一回，你恐怕要皱眉头了。