怎样求圆面积？我们现在有公式可用，很快就算出来了。但是在漫长的年代里，人们为了研究和解决这个问题，不知遇到了多少艰难和困苦，花费了多少精力和时间。
割补求面积在平面图形中，以长方形的面积最容易求了。用大小一样的正方形砖铺垫长方形地面，如果横向用八块，纵向用六块，那一共就用了8×6=48块砖。所以求长方形面积的公式是：长×宽。
求平行四边形的面积，可以用割补的方法，把它变成一个与它面积相等的长方形。长方形的长和宽，就是平行四边形的底和高。所以求平行四边形面积的公式是：底×高。
求三角形的面积，可以对接上一个和它全等的三角形，成为一个平行四边形。这样，三角形的面积，就等于和它同底同高的平行四边形面积的一半。所以求三角形面积的公式是：12×底×高。
任何一个多边形，因为可以分割成若干个三角形，所以它的面积，就等于这些三角形面积的和。
四千多年前修建的埃及胡夫金字塔，底座是一个正方形，占地五万二千九百平方米。它的底座边长和角度计算十分准确，误差很小，可见当时测算大面积的技术水平很高。
古老的难题圆是最重要的曲边形。古埃及人把它看成是神赐予人的神圣图形。怎样求圆的面积，是数学对人类智慧的一次考验。
也许你会想，既然正方形的面积那么容易求，我们只要想办法做出一个正方形，使它的面积恰好等于圆面积就行了。你的想法很好，可是要做出这样的正方形很难啊。
你知道古代三大几何难题吗？其中的一个，就是你刚才想到的化圆为方。这个起源于古希腊的几何作图题，在两千多年间，不知难倒了多少能人，直到19世纪，人们才证明了这个几何题，是根本不可能用圆规和无刻度的直尺作出来的。
化圆为方这条路走不通，人们不得不开动脑筋，另找出路。
我国古代的数学家，从圆内接正六边形入手，让边数成倍增加，用圆内接正多边形的面积去逼近圆面积。
古希腊的数学家，从圆内接正多边形和外切正多边形同时入手，不断增加它们的边数，从里外两个方面去逼近圆面积。
古印度的数学家，采用类似切西瓜的办法，把圆切成许多小瓣，再把这些小瓣对接成一个长方形，用长方形的面积去代替圆面积。
他们煞费苦心，巧妙构思，不怕困难，为求圆面积作出了十分宝贵的贡献。
酒桶的学问
16世纪的德国天文学家开普勒，是一个重视观察、肯动脑筋的人。他曾把丹麦天文学家第谷遗留下来的大量天文观测资料，认真地进行整理分析，提出了著名的“开普勒三定律”。开普勒第一次告诉人们，地球围绕太阳运行的轨道是一个椭圆，太阳位于其中的一个焦点上。
开普勒当过数学教师，他对求面积的问题非常感兴趣，曾进行过深入的研究。他想，古代数学家用分割的方法去求圆面积，所得到的结果都是近似值。为了提高近似的程度，他们不断增加分割的次数。但是，不管分割多少次，几千几万，只要是有限次，所求出来的总是圆面积的近似值。要想求出圆面积的精确值，必须分割无穷多次，把圆分成无穷多等分才行。
开普勒也模仿切西瓜的方法，把圆分割成许多小扇形；不同的是，他一上来就把圆分成无穷多个小扇形。
因为这些小扇形太小了，小弧AB也太短了，所以开普勒就把小弧AB和小弦AB看成是相等的，即AB=AB。
这样一来，小扇形AOB就变成为小三角形AOB了；而小三角形AOB的高就是圆的半径R。于是，开普勒就得到：
小扇形AOB的面积=小三角形AOB的面积=12R×AB。
圆面积等于无穷多个小扇形面积的和，所以圆面积S=12R×AB+12R×BC+12R×CD+…=12R×（AB+BC+CD+…）=12R×（AB+BC+CD+…）在最后一个式子中，各段小弧相加就是圆的周长2πR，所以有S=12R×2πR=πR2这就是我们熟悉的圆面积公式。
开普勒运用无穷分割法，求出了许多图形的面积。1615年，他把自己创造的这种求面积的新方法，发表在《葡萄酒桶的立体几何》一书中。
这个奇怪的书名是有来由的。有一天，开普勒到酒店去喝酒，发现奥地利的葡萄酒桶，和他家乡莱茵的葡萄酒桶不一样。他想，奥地利葡萄酒桶为什么偏要做成这个样子呢？高一点好不好？扁一点行不行？这里面会不会有什么学问？经过研究，开普勒发现，当圆柱形酒桶的截面ABCD的对角线长度固定时，比如等于m，以底圆直径和高的比为2时体积最大，装酒最多。奥地利的葡萄酒桶，恰好是按这个比例做成的。这一意外发现，使开普勒非常高兴，决定给这本关于求面积和体积的书，起名为《葡萄酒桶的立体几何》。
在这本书中，开普勒除介绍了他求面积的新方法外，还介绍了他求出的近百个旋转体的体积。比如，他计算了圆弧绕着弦旋转一周，所产生的各种旋转体的体积。这些旋转体的形状，有的像苹果，有的像柠檬，有的像葫芦。
开普勒大胆地把圆分割成无穷多个小扇形，又果敢地断言：无穷小的扇形面积，和它对应的无穷小的三角形面积相等。他在前人求面积的基础上，向前迈出了重要的一步。
《葡萄酒桶的立体几何》一书，很快在欧洲流传开了。数学家高度评价开普勒的工作，称赞这本书是人们创造求面积和体积新方法的灵感源泉。
一种新的理论，在开始的时候很难十全十美。开普勒创造的求面积的新方法，引起了一些人的怀疑。他们问道：开普勒分割出来的无穷多个小扇形，它的面积究竟等于不等于零？如果等于零，半径OA和半径OB就必然重合，小扇形OAB就不存在了；如果它的面积不等于零，小扇形OAB与小三角形OAB的面积就不会相等。开普勒把两者看作相等就不对了。
面对别人提出的问题，开普勒自己也说不清楚。
卡瓦利里的方法
卡瓦利里是意大利物理学家伽利略的学生，他研究了开普勒求面积方法中的问题。
卡瓦利里想，开普勒把圆分成无穷多个小扇形，这每个小扇形的面积到底等于不等于零，就不好确定了。但是，只要小扇形还是图形，它是可以再分的呀。开普勒为什么不再继续分下去了呢？要是真的再细分下去，那分到什么程度为止呢？这些问题，使卡瓦利里陷入了沉思之中。
有一天，当卡瓦利里的目光落到自己的衣服上时，他忽然灵机一动：唉，布不是可以看成为面积嘛！布是由棉线织成的，要是把布拆开的话，拆到棉线就为止了。我们要是把面积也像布一样拆开，拆到哪儿为止呢？应该拆到直线为止。几何学规定直线没有宽度，把面积分到直线就应该不能再分了。于是，他把不能再细分的东西叫做“不可分量”。棉线是布的不可分量，直线是平面面积的不可分量。
卡瓦利里还进一步研究了体积的分割问题。他想，可以把长方体看成为一本书，组成书的每一页纸，应该是书的不可分量。这样，平面就应该是长方体体积的不可分量。几何学规定平面是没有薄厚的，这样想也是有道理的。
卡瓦利里紧紧抓住自己的想法，反复琢磨，提出了求面积和体积的新方法。
1635年，当《葡萄酒桶的立体几何》一书问世20周年的时候，意大利出版了卡瓦利里的《不可分量几何学》。在这本书中，卡瓦利里把点、线、面，分别看成是直线、平面、立体的不可分量；把直线看成是点的总和，把平面看成是直线的总和，把立体看成是平面的总和。
卡瓦利里怎样用不可分量求面积的呢？现在以椭圆为例，介绍如下：椭圆有一条长轴和一条短轴，如图相交于O，把椭圆分成了四等份。
卡瓦利里设a和b是长轴和短轴的一半；以椭圆中心O为圆心，以b为半径，在椭圆内作一个圆。
他根据不可分量的想法，把椭圆面积的四分之一，看成是由无穷多条平行于a的线段组成，每一条线段与圆交于一点。
卡瓦利里根据椭圆的性质推出，任一条和a平行的线段MN，与圆交于P，一定有MPMN＝ba他把这样引出的无穷多条平行线段，由小到大编上M1N1，M2N2，M3N3，…就可以得到一大串比例式M1P1M1N1＝M2P2M2N2＝M3P3M3N3＝…＝ba比例有这样一个性质：如果ab＝cd成立，那么a＋cb＋d＝cd也成立。他利用比例的这个性质，就得到M1P1＋M2N2＋M3P3＋…M1N1＋M2N2＋M3N3＋…＝ba在卡瓦利里看来，分子的和就是圆面积的四分之一，分母的和就是椭圆面积的四分之一。
因为14圆面积14椭圆面积＝圆面积椭圆面积＝ba即πb2椭圆面积＝ba所以，椭圆面积＝πab这就是我们现在求椭圆面积的公式。
卡瓦利里使用不可分量的方法，求出了许多前人不会求的面积，受到了人们的拥护和尊敬。
卡瓦利里还根据不可分量的方法指出，两本书的外形虽然不一样，但是，只要页数相同，薄厚相同，而且每一页的面积也相等，那么，这两本书的体积就应该相等。他认为这个道理，适用于所有的立体，并且用这个道理求出了很多立体的体积。这就是有名的“卡瓦利里原理”。
事实上，最先提出这个原理的，是我国数学家祖日恒。
祖日恒是祖冲之的儿子，生于公元5到6世纪，比卡瓦利里早一千多年，所以我们叫它“祖日恒原理”或者“祖日恒定理”。
荒谬的结果卡瓦利里的《不可分量几何学》一书，也受到了一些人的责难。原因是使用不可分量的方法，可以推出任意两个三角形的面积相等。
他们说，任意作一个两腰不相等的三角形ABC，由顶点A向对边BC引高线AD，AD把△ABC分成大小不等的△ABD和△ADC。显然，△ABD的面积大于△ADC的面积。
用不可分量的方法，把△ABD看成是由无穷多条平行于高AD的线段M1N1，M2N2，M3N3，…组成的，写成式子就是△ABD的面积＝M1N1＋M2N2＋M3N3＋…边AB边上的N1，N2，N3，…点，分别引平行于底边CB的直线，交AC边于N1，N2，N3，…再过N1′，N2′，N3′…点，引垂直于BC边的线段N1′M1′，N2′M2′，N3′M3′…由上面的作法得到M1N1＝M1′N1′，M2N2＝M2′N2′，M3N3＝M3′N3′…根据不可分量的方法，△ADC的面积又可以看作是由无穷多条平行线段M1′N1′，M2′N2′，M3′N3′，…组成的，所以有等式△ADC的面积＝M1′N1′＋M2′N2′＋M3′N3′＋…＝M1N1＋M2N2＋M3N3＋…＝△ABD的面积看来不可分量的方法，一定存在着什么漏洞。不然的话，怎么会推出这样荒谬的结果呢？
问题出在哪儿呢？