数学家的模式，像画家或诗人的一样，必须是美的；各种思想，像色彩或辞藻一样，必须以和谐的方式组合在一起。美是首要的标准，丑陋的数学不可能永世长存。
——G.H.哈代
1954年1月，191东京大学的一位极具才智的年轻数学家像往常一样走进系图书馆，志村五郎（GoroShimura）是为了找一本《数学年刊》（MathematischeAnnalen）第24卷而来的。他特地要找多伊林（Deuring）的关于复数乘法的代数理论的一篇论文，他需要这篇论文帮助他处理一个特别复杂和难以对付的计算。
使他惊愕和失望的是，这一卷已经被人借走了。借书者是谷山丰（YutakaTaniyama），志村的一个不太熟悉的校友，住在校园的另一头。志村写信给谷山解释说他迫切地需要这本杂志以完成那个难处理的计算，并客气地问他什么时候可以归还这本杂志。
几天以后，一张明信片出现在志村的桌子上。谷山回信说他正在进行同一个计算，并且在逻辑上也在同一处卡住了。193他建议他们互相交流一下想法，或许还可以在这个问题上合作。一本图书馆的书带来的这个机会引发了他们的合作关系，这个合作将会改变数学历史发展的进程。
谷山于1927年11月12日生于离东京北面几里地的一个小镇上。他的名字的日本字原本读音为“Toyo”，但是他的家族以外的大多数人都把它误读成“Yutaka”，当谷山长大后也就接受并采用了这个名字。孩童时，谷山的教育经常被中断。他好几次受到疾病的折磨。在十多岁时他患了结核病，不得不在高中期间休学两年。战争的爆发更严重地搅乱了他的学校生活。
志村比谷山大一岁，在战争期间他的教育完全中断。他的学校被关闭，非但不能去上学，还必须在一个工厂里装配飞机部件为战争效劳。每天晚上，他都要设法补上失去的读书时间，他发觉自己被数学深深吸引住了。他说：“当然，有许多学科要学，但数学是最方便的，因为我只要看看数学课本就可以学习了。我靠读书学会了微积分。如果我想去钻研化学或者物理的话，那就还需要科学仪器，这些东西我根本没有办法搞到。我从不认为自己是有天分的，我只是对数学特别好奇。”
战争结束后几年，志村和谷山都进了大学。到他们为那本图书馆的书交换明信片的时候，东京的生活已恢复正常，这两个年轻的学者也有能力略为奢侈地享受一两次。他们在酒吧里消磨下午的时光，傍晚在一家以鲸肉为特色的小饭馆里吃饭，194周末他们会在植物园或城市公园里散步。这一切都成了他们讨论最新数学思想的理想所在。
虽然志村天性有点古怪——甚至到现在他还保持着对禅宗偈语的钟爱——他比他那位学问上的伙伴远为保守和传统。志村每天黎明时分就起身并立即投入工作，而这个时候他的同事在彻夜工作之后往往还没入睡。到他房间来的客人常常会发现谷山中午还在呼呼大睡。
志村有点过分讲究，而谷山则是随便到了有点懒惰的程度。出人意料的是这竟成了志村羡慕的一种品质：“他天生就有一种犯许多错误，尤其是朝正确的方向犯错误的特殊本领。我对此真有点妒忌，徒劳地想模仿他，结果发现要犯好的错误也是十分不容易的。”
谷山是那种心不在焉的天才人物的缩影，这在他的外表上就有所反映。他无法系好鞋带结，于是他决定与其每天要十余次系鞋带还不如干脆不要系它们。他会老是穿着同一套绿得怪异并带有刺眼的金属光泽的衣服，这套衣服的面料很令人厌憎，他家里的其他人都反对他穿。
当他们在1954年相遇时，谷山和志村都刚开始从事数学事业。当时的习惯做法（现在仍然是这样）是把年轻的研究人员置于一位教授的领导之下，这位教授负责对初出茅庐的年轻人予以指导，但是谷山和志村拒绝这种带徒弟的方式。在战争期间，真正的研究工作处于停顿状态，甚至到50年代时数学还尚未恢复。按照志村的说法，教授们已经“精疲力竭，不再具有理想”。比较起来，经过战争磨炼的学生对学习显得更为着迷和迫切，195他们很快就意识到对他们来说前进的唯一方法是自己教自己。学生们组织起定期的研讨班，参加研讨班使他们能彼此了解、交流最新的技术和突破。尽管谷山在其他方面常常显得没精打采，但他一参加研讨班就成了巨大的推动力。他会激励高年级学生探索未知的领域，而对更年轻的学生他又充当起父辈的角色。
由于他们与外界隔离，研讨班有时会讨论一些在欧洲和美国一般被认为已经“过时”的内容。用学生们的朴实的话来说就是他们在研究西方世界已经抛弃了的方程。其中一个特别陈旧但志村和谷山却非常着迷的论题是模形式的研究。
模形式（modularforms）是数学中最古怪和神奇的一部分。它们是数学中最深奥的内容之一，但是20世纪的数论家艾希勒（Eichler）把它们列为五种基本运算之一：加法、减法、乘法、除法和模形式。大多数数学家会认为自己是前四种运算的大师，但对第五种运算他们仍觉得有点难以把握。
模形式的关键特点是，它们具有非同寻常的对称性。虽然大多数人对日常意义上的对称性的概念是熟悉的，但它在数学中则有特殊的意义：如果某个对象可以按特定方式作变换且经变换后它看上去没有改变，那么这个对象就具有对称性。为了理解模形式具有的丰富的对称性，首先探讨一下较为普通的对象（例如简单的正方形）的对称性可能会有所帮助。
在正方形的情况中，一种形式的对称性是旋转对称。196这就是说，想象在x轴和y轴的交点处有一根枢轴，于是图18中的正方形可以旋转四分之一圈，并且旋转后它看上去没有改变。类似地，旋转半圈、四分之三圈和一圈都保持正方形外表上没有改变。
除了旋转对称性外，正方形还具有反射对称性。如果我们想象沿x轴放置一面镜子，于是正方形的上半部将恰好反射到下半部上，反过来也是如此，所以经过这个变换后正方形看上去保持不变。类似地，我们可以（沿y轴和沿两条对角线）放上另外的3面镜子，经它们反射后的正方形看上去与原来的完全相同。
简单的正方形是相当对称的，既具有旋转对称性又具有反射对称性，但是它不具有任何平移对称性。这指的是，如果按任何一个方向移动正方形，观察者就会立即测出这个移动，197因为它的相对于坐标轴的位置已经改变。然而，如果整个平面用正方形铺设起来，如图19所示，那么这个正方形组成的无限集合将具有平移对称性。如果这个铺设好的无限平面上下移动一个或一个以上的铺设砖位置，那么移动后的铺设结构看上去和原来的一个是一模一样的。
铺设好的平面具有的对称性相对来说是可直接想得到的，但是许多看来似乎是简单的概念之中却隐藏着许多微妙的性质。198例如，在20世纪70年代，英国物理学家（也是有时把数学作为娱乐消遣的数学家）罗杰·彭罗斯（RogerPenrose）开始有兴趣尝试在同一张平面上用不同的铺设砖来铺设。最后他确定了两种特别有趣的形状，叫做风筝形砖和镖形砖，如图20中所示。单用这两种中的一种形状无法铺设好一张平面使得它既不留下空隙也没有重叠的地方，但是可以把它们合起来使用，做出很多种类的铺设式样。风筝形砖和镖形砖可以有无限多种方式组合在一起，并且尽管每一种式样表面上是类似的，但在细微处它们却是不相同的。图20展示了风筝形砖和镖形砖组成的一种式样。
彭罗斯的铺设结构（由例如风筝形砖和镖形砖这样的铺设材料铺成的式样）的另一个引人注目的特点是，它们表现出非常有限程度的对称性。初看之下，199似乎图20中展出的铺设结构会有平移对称性，但是，任何将这个式样移动一下并使得它实际上保持不变的企图都将以失败告终。彭罗斯的铺设结构其实是非对称的，但容易使人上当。这正是它们使数学家着迷并且已经成为一个全新的数学领域的起点的原因。
使人奇怪的是彭罗斯的铺设结构在材料科学中也产生了反响。
结晶学家总是认为结晶体必须是按照正方形铺设结构所依据的原则来构成的，即具有高度的对称性。理论上，构成结晶体要依靠高度规则和重复的结构。然而，在1984年科学家发现了一种按照彭罗斯原理构成的由铝和锰组成的金属结晶体，其中铝和锰镶嵌的式样与风筝形和镖形相像，形成一个几乎是规则的、却不完全是规则的结晶体。
一家法国公司最近研制了一种彭罗斯结晶体用于长柄平底锅的涂层。
彭罗斯的铺设结构使人着迷的是它们有限的对称性，而模形式使人感兴趣的性质则是它们呈现出无限的对称性。志村和谷山研究的模形式可以按无限多种方式作平移、交换、反射和旋转而仍然保持不变，这使它们成为最对称的数学对象。当博学多才的法国人亨利·庞加莱（HenriPoincaré）在19世纪研究模形式时，他曾利用它们丰富的对称性克服了重大的困难。在完成一种特殊类型的模形式后，他向他的同事们描述说，他在两个星期中天天都非常警觉，试图找出他演算中的错误。在第15天他终于认识到并承认模形式确实是极端对称的。
不幸的是，200要画出甚至想象出一个模形式都是不可能的。在正方形铺设结构的情况中，我们碰到的是二维的对象，它的范围是由x轴和y轴决定的。模形式也是用两根轴来决定的，但这两根轴都是复合的，201即每根轴有一个实的部分和一个虚的部分，因而实际上变成两根轴。于是，第一根复轴必须用两根轴，即xr轴（实的）和xi轴（虚的）来表示；而第二根复轴用两根轴，即yr轴（实的）和yi轴（虚的）来表示。更精确地说，模形式处于这个复空间的上半平面中，但是最需要懂得的是这是一个四维空间（xr，xi，yr，yi）。
这个四维空间被称为“双曲空间”。对于局限于生活在传统的三维世界中的人来说，要理解双曲空间是相当微妙的，但是四维空间在数学上是一个有效的概念，正是这多出来的一维使得模形式具有如此众多的极好的对称性。画家莫里兹·埃歇（MauritzEscher）为这些数学概念所吸引，尝试在他的一些蚀刻画和油画中表达双曲空间的概念。
图21展示了埃歇的《圆极限Ⅳ》，它把双曲空间嵌入到二维的图中。在真实的双曲空间中，这些蝙蝠和天使应该都是同样大小的，不断的重复则是表明高度的对称性。虽然某些对称性在二维的图上也能看出，但当趋近于图的边缘时，这种对称性越来越发生扭曲。
双曲空间中的模形式在外形和规模上是各种各样的，但是每一个都是由相同的一些基本要素构造出来的，各个模形式之间的差别在于它包含各种要素的量不同。模形式的要素可以从1开始编号到无穷（M1，M2，M3，M4，…），因此一个特定的模形式可能包含1个1号要素（M1=1），3个2号要素（M2=3），2个3号要素（M3=2），等等。这些刻画了模形式是如何构造的信息可以概括成为所谓的模序列，或称M序列，202即要素及每一要素所需的数量组成的表：
M序列：M1=1，M2=3，M3=2，正像E序列是椭圆方程的DNA一样，M序列是模形式的DNA。
在M序列中列出的每个要素的数量起着关键的作用。根据你如何改变（比方说）第一个要素的数量，你可能产生一个完全不同的，但同样是对称的模形式；你也可能完全破坏对称性而产生一种新的不再是模形式的对象。如果每个要素的数量是任意选定的，那么其结果将可能是一个对称性很少或根本没有对称性的对象。
模形式在很大程度上是由于其自身的价值而立足于数学之中的。
特别是，它们似乎与怀尔斯在剑桥研究的椭圆方程完全无关。模形式是一种异乎寻常地复杂的怪物。之所以要研究它主要是由于它的对称性以及由于它只是在19世纪刚被发现，而椭圆方程可追溯至古希腊时代并且与对称性毫无关系。模形式与椭圆方程属于数学世界中完全不同的区域，没有人曾料想到这两者之间会有丝毫的联系。
然而，志村和谷山却使数学界震惊地想到椭圆方程和模形式实质上是完全相同的东西。按照这两位有独特见解的数学家的说法，他们能够将模世界与椭圆世界统一起来。
异想天开
2031955年9月，一个国际学术讨论会在东京举办。对许多年轻的日本研究人员来说，这是一次难得的向国外同行炫耀他们胸中才学的机会。他们联手提供了一份报告，收集了与他们的工作有关的36个问题，并附有谦恭的介绍：
某些未解决的数学问题：准备尚不充分，因而其中可能有些是平凡的或已经解决的。敬请诸位对这些问题赐教。
其中有4个问题是谷山提出的，204这些问题提示了模形式与椭圆方程之间的某种奇怪的关系。这些有益的问题最终将导致数论的一场革命。谷山看到过一个具体的模形式的M序列中开头几项，他认出了这种结构方式，并意识到它与一个熟知的椭圆方程的E序列中列出的数是完全相同的。他计算了这两个序列中更多的项，结果模形式的M序列依然与椭圆方程的E序列完全一致。
这是一个惊人的发现，因为尽管没有任何明显的理由，这个模形式居然能与一个椭圆方程通过它们各自的M序列和E序列发生联系——这两个序列是完全相同的。形成这两个对象的数学DNA是完全相同的。这是有双重意义的深刻的发现。首先，它提示人们在深层次上模形式与椭圆方程这两个来自数学中不同方向的研究对象之间有一种基本的联系。第二，它意味着如果数学家已经知道模形式的M序列，那么他就不必再计算对应的椭圆方程的E序列，因为它与M序列是相同的。