不知道该怎样向你描述当我明白我尊敬的通信者勒布朗先生把自己一变而为做出了如此辉煌的使我难以相信的范例的卓越人物时我的钦佩和震惊。一般而言，对抽象的科学，尤其是对神秘的数论的爱好是非常罕见的。这门高尚的科学只对那些有勇气深入其中的人展现其迷人的魅力。而当一位在世俗和偏见的眼光看来一定会遭遇比男子多得多的困难才能通晓这些艰难的研究的女性终于成功地越过种种障碍洞察其中最令人费解的部分时，那么毫无疑问她一定具有最崇高的勇气、超常的才智和卓越的创造力。事实上，还没有任何东西能以如此令人喜欢和毫不含糊的方式向我证明，这门为我的生活增添了无比欢乐的科学所具有的吸引力绝不是虚构的，如同你的偏爱使它更为荣光一样。
索菲·热尔曼与高斯的通信对热尔曼的许多工作起了很大的促进作用，但在1808年这种关系突然结束了。高斯被聘为格丁根大学的天文学教授，他的兴趣从数论转移到应用数学方面，他不再费神给热尔曼回信。失去了导师，她的信心开始减弱，一年以后她放弃了纯粹数学。
虽然此后她对证明费马大定理没有再做出贡献，119但她又开始了作为物理学家的重要生涯，在这门学科中她又一次出类拔萃，不料却遭到权势集团的反感。她对这门学科最重要的贡献是《弹性振动研究》（Memoironthevibrationsofelasticplates），这是一篇杰出的、见解深刻的论文，它奠定了现代弹性理论的基础。由于这篇论文以及她关于费马大定理所做的工作，她荣获法国科学院的金质奖章，成了第一位不是以某个成员的夫人的身份出席科学院讲座的女性。后来，在将近她生命的尽头时，她恢复了与高斯的关系。高斯说服格丁根大学授予她名誉博士学位。可悲的是，在格丁根大学可以授予她这个荣誉之前，索菲·热尔曼已死于乳腺癌。
考虑到所有这一切，她或许是法国迄今出现过的造诣最深的潜心于学术研究的女性。但令人感到奇怪的是，当国家官员为这位法国科学院一些最杰出的成员的卓越的同行和合作者出具死亡证明书时，竟将她的身份记为rentièreannüitant（无职业未婚妇女）——而不是mathématicienne（女数学家）。事情还不止于此。在建造埃菲尔斜塔的过程中工程师们必须特别注意所用材料的弹性。当埃菲尔斜塔落成之时，在这座高耸的建筑物上镌刻着72位专家的名字。但是人们在这个名单中却找不到这位以其研究工作为金属弹性理论的建立做出过巨大贡献的天才女性的名字——索菲·热尔曼。难道她被排除在这个名单之外也是出于与阿涅西不能入选法国科学院院士同样的理由——因为她是一个女人吗？事情似乎就是如此。如果真的是这样，120那么对一位如此有功于科学并且由于她的成就而在名誉的殿堂中已经获得值得羡慕的地位的人做出这种忘恩负义的事来，那些对此负有责任的人该是多么地羞耻。
H.J.莫赞斯（H.J.Mozans）于1913年
盖章密封的信封
在索菲·热尔曼的突破性工作之后，法国科学院设立了一系列的奖，包括金质奖章和3000法郎的奖金，以奖励能最终揭开费马大定理的神秘面纱的数学家。现在，除了享有证明费马大定理的声望外，这个挑战还附加了巨额的奖金。巴黎的沙龙里充斥着关于某某正采用某种策略以及他们离宣布结果还有多远等的传闻。然后，在1847年3月1日，科学院举行了富有戏剧性的会议。
科学院的通报描述了加布里尔·拉梅（他早些年曾证明了n=7的情形）怎样登上讲台，面对那个时代最卓越的数学家们宣布他差不多已证明费马大定理了。他承认自己的证明还不完整，但是他概略地叙述了他的方法并自信地预言几星期后他会在科学院杂志上发表一个完整的证明。
全体听众都愣住了。但是拉梅一离开讲台，另一位巴黎最优秀的数学家奥古斯汀·路易斯·柯西（AugustinLouisCauchy）就请求允许他发言。柯西向科学院宣布他一直在用与拉梅类似的方法进行研究，并且他也即将发表一个完整的证明。
柯西和拉梅都意识到时间是至关重要的。谁能首先交出一个完整的证明，123谁就会获得数学中最权威的而且奖金丰厚的奖项。
虽然他们之中谁也没有完整的证明，但这两位竞争对手都急于立桩标明所有权，所以只过了3个星期他们就各自声明自己在科学院存放了盖章密封的信封。这是当时常有的做法，这能使数学家们的思想被记录下来，而又不泄露他们的研究工作的确切细节。如果后来关于想法的出处发生争议，那么密封的信封会对判断谁先拥有这种想法提供必需的证据。
在整个4月份，柯西和拉梅在科学院通报上发表了他们的撩人但又含糊的证明细节后，人们的期望越来越迫切。虽然整个数学界都极想看到完成的证明，但他们之中许多人暗地里却希望是拉梅而不是柯西赢得这场竞赛。根据各种流传的说法，柯西是一个自以为正直的人，一个狂热的教徒，特别不受他的同事的欢迎。只是因为他的杰出才华，他才能待在科学院中。
接着，在5月24日，有人宣读了一份声明，结束了种种推测。
既不是柯西也不是拉梅，而是约瑟夫·刘维尔（JosephLiouville）在科学院发表谈话。刘维尔宣读了德国数学家恩斯特·库默尔（ErnstKummer）的一封信的内容，震惊了全体听众。
库默尔是一位最高级的数论家，但在他生命的许多年中，出于对拿破仑的憎恨而产生的强烈的爱国主义使他偏离了他真正的事业。
当库默尔还是一个孩童的时候，法国军队入侵他的家乡索拉乌镇（Sorau）今波兰的扎雷。——译者，给他们带来了斑疹伤寒的流行。库默尔的父亲是镇里的医生，几星期后他也死于这个疾病。这段经历使库默尔心灵上受到很大创伤，他发誓要尽最大努力使他的祖国免遭再次打击，一读完大学他就立即用他的知识去研究炮弹的弹道曲线问题。125最终，他在柏林军事学院教弹道学。
在从事他的军事职业的同时，库默尔积极地进行纯粹数学的研究。他对发生在法国科学院中的一系列事件一清二楚。他从头到尾地读了科学院的通报，分析了柯西和拉梅敢于透露出来的少数细节。
对于库默尔来说，十分清楚这两个法国人正在走向同一条逻辑的死胡同，他在给刘维尔的这封信中概要地叙述了他的理由。
根据库默尔的说法，基本的问题是柯西和拉梅的证明都要借助于使用数的一种称为“唯一因子分解”的性质。唯一因子分解是说，对于给定的一个数，只有一种可能的质数组合，它们乘起来等于该数。例如，对于数18来说，唯一的质数组合是18=2×3×3。
类似地，下面的这些数按下列方式被唯一地分解：
35=5×7，180=2×2×3×3×5，106260=2×2×3×5×7×11×23。
唯一因子分解性质是公元4世纪时欧几里得发现的。他证明了这个性质对于一切自然数是正确的，并在他的《几何原本》的第9卷中叙述了证明。唯一因子分解对一切自然数成立这个事实，在许多别的证明中是一个要点，现在把它称为“算术基本定理”。
初看起来，126似乎没有理由说明为什么柯西和拉梅不可以像他们之前的成百个数学家那样借助唯一因子分解性质。不幸的是，他俩的证明都用到了虚数。虽然唯一因子分解对实数是正确的，但库默尔指出，当引进虚数后它就不一定成立了。按照他的说法，这是一个致命的缺陷。
例如，如果我们限于实数的情形，那么数12只能分解成2×2×3。然而，如果我们允许在证明中运用虚数，那么12也可以分解成下列形式：
12=（1+-11）×（1——11）。
这里，（1+-11）是一个复数，即实数和虚数的结合。虽然复数的乘法过程比普通数的乘法要繁复得多，但是复数的存在确实导致另外的分解12的方法出现。另一种分解12的方法是（2+-8）×（2——8）。
唯一因子分解不再成立，而是有各种可选择的因子分解方法。
唯一因子分解性质不成立严重地破坏了柯西和拉梅的证明，但是它并不一定使它们彻底无效。这些证明的目的是证明方程xn+yn=zn无解，这里n表示任何大于2的自然数。像本章前面讨论过的那样，这种证明只要对n的质数值行得通就可以了。例如对所有小于（包括等于）31的质数，唯一因子分解的问题可以设法规避。然而，质数n=37就不可能这么容易地处理了。在小于100的其他质数中，还有两个（n=59和n=67）也是很难对付的情形。这些所谓的非规则质数，它们散落在其余的质数之中，127现在成了一个完整证明的绊脚石。
库默尔指出，现有的数学还不能够一下子攻克所有的这种非规则质数。然而，他确实相信，通过对每一个特定的非规则质数有针对性的仔细修改方法，它们可以一个个地被解决。找出这些按具体目标设计的方法将会是一项旷日持久的艰辛任务，更糟的是非规则质数的个数仍然是无限的，一个个地处理它们将使这个世界的数学界人士忙到世界末日来临。
库默尔的信使拉梅一下子泄了气。事后想来，唯一因子分解的假设从最好的方面来看也是过于乐观的，而从最坏的方面来看则显得十分鲁莽。拉梅意识到，如果他将他的工作更为公开一些，也许他早就会发现错误了。他写信给他在柏林的同事狄利克雷：“要是当初你在巴黎或者我在柏林，那么所有这一切就不会发生了。”
在拉梅感到羞耻的同时，柯西则拒绝承认失败。他认为与拉梅的证明相比，他自己的方法对唯一因子分解的依赖程度较轻，而且库默尔的分析在被完全核对之前仍存在有缺陷的可能性。在几个星期中他继续发表有关这个题材的文章，但是到夏季结束的时候他也变得安静了。
库默尔已经论证了费马大定理的完整证明是当时的数学方法不可能实现的。这是数学逻辑的光辉一页，但也是对希望能解决这个世界上最棘手的数学问题的整整一代数学家的巨大打击。
柯西将情况作了总结，他在1857年写了科学院关于费马大定理奖的最终报告：
关于竞争数学科学大奖的报告。128竞争开始于1853年，终止于1856年。
曾经有11份专题学术论文提交给秘书，但是没有一份解决了所提议的问题。因此，经过多次推荐获奖之后，这个问题仍停留在库默尔先生指出的那种情形。然而，数学科学应该为几何学家们，尤其是库默尔先生，出于他们解决该问题的愿望所做的工作而庆幸。委员们认为，如果撤销对这个问题的竞赛而将奖授予库默尔先生，以表彰他关于由单位根和整数组成的复数所做的美妙工作，那将是科学院做出的一项公正而有益的决定。
两个多世纪中，每一次试图重新发现费马大定理的证明都以失败告终。在整个青少年时代，安德鲁·怀尔斯研究了欧拉、热尔曼、柯西和拉梅的工作，最后研究了库默尔的工作。他希望自己能从他们的错误中学到一些有用的东西，可是到他成为牛津大学的学生时，也遭到了库默尔曾面临的同一堵砖墙的阻挡。
一些怀尔斯的同代人开始怀疑这个问题是不可能解决的。或许费马是自己骗自己，因而，没有人重新发现费马的证明就是因为根本不存在这样的证明。怀尔斯不顾这种怀疑论调继续寻求证明。鼓舞着他的是这样的认识：过去有几种情形的证明是经过100多年的努力才最终被发现的，而且其中有一些情形，解决问题的那种洞察力的闪现并未依靠新的数学。相反它是很久以前就能够被完成的那种证明。
一个几十年未能解决的问题的例子是“点猜想”。129这个挑战涉及一系列的点，它们彼此之间都有直线相连接，如图13中所显示的点那样。这个猜测断言，不可能画出一个点图使得每条直线上至少有3个点（所有的点都在同一条直线上的图形除外）。确实，试一下几个图形，似乎这是对的。例如，图13（a）有5个点被6条直线相连接。其中4条直线上面没有3个点，因此这种布局不满足所有直线都要有3个点的要求。通过加上1个点和附加的直线，如图13（b）所示，那么图上没有3个点的直线数减少到3条。然而，试图进一步修改这图形使得所有直线都有3个点似乎是不可能的。当然，这并不能证明没有这种图形存在。
几代的数学家试图对这个看上去简单的点猜测找出一个证明，但都失败了。130更令人生气的是，当最终找到这个猜测的证明时，它居然只涉及极少的数学再加上几分计谋。这个证明概述于附录6中。
存在一种可能性，就是证明费马大定理所需的全部技术是现成的，唯一缺少的是足够的智谋。怀尔斯不准备放弃：寻求费马大定理的证明已经从一个孩子的幻想转变成了完全成熟的追求。在精通19世纪数学中所有需要掌握的东西后，怀尔斯决定用20世纪的技术来武装自己。