我们已经知道FLT对于一些指数n成立。但是，对于任意的n还没有被证明。
德国数学家库麦继续了这项工作，他花了二十年的时间，获得了巨大的成功。他从神学转向数学，并做了高斯和狄利克雷的学生，后来在布勒斯劳和柏林做了教授。虽然库麦的主要工作是在数论方面，但他在几何学方面还做出了漂亮的发现；在大气对光的反射研究中也做出贡献。
库麦把xp＋yp（p为素数）分解成：（x＋y）（x＋ay）…（x＋ap-1y），这里a是一个p次单位根，又是Q上p-1次不可约多项式xp-1＋xp-2＋…＋x＋1的根。
他引进形如f（a）＝a0＋a1a＋…＋ap-2ap-2的数，其中ai（i＝0，1，2，…），p-2是整数。库麦把数f（a）叫做复整数。我们把f（a）称为分圆整数。
1843年，库麦对复整数进行了研究，给出素整数、可除性以及类似的东西的适当定义，并假定在分圆整数中唯一因子分解成立，由此出发，他给出了FLT的一个“证明”。同年他把手稿寄给狄利克雷，狄利克雷看过后，指出他的假设对证明费马定理是必需的，但假设没有一般性，即唯一因子分解仅对某些素数p成立。1844年库麦认识到狄利克雷批评的正确性，他证明分圆整数唯一因子分解定理不是普遍成立。
还有两位著名数学家也犯了与库麦同样的错误。一位是柯西，另一位是拉梅。后者在此问题上处境十分尴尬。
事情经过是这样的：在法国科学院的一次会议上，拉梅宣布他利用分圆整数理论证明了FLT。可是，当他宣讲证明概要后，刘维尔马上站起来反对，指出拉梅把通常整数的性质用到分圆整数上是不妥的。然而，这篇错误的论文已经发表在法国科学院的报告上，传遍整个数学界。拉梅十分懊悔，他写给柏林的狄利克雷的信中说：“只要是你在巴黎或者我在柏林，这一切都不会发生。”
为了使唯一分解成立，库麦从1844年开始一系列的研究，创立理想数的理论。他利用理想数，成功地证明对于许多素数FLT是正确的。在前一百个自然数中，只有37，59，67不为库麦的证明所包括。为了摈除这三个例外，库麦在1857年的一篇论文中将他的结果扩展到这些例外素数。可惜还是有缺点。直到1892年，p＝37的情形才被米里曼诺夫证明。
由于库麦这项开创性贡献，1857年法国科学院给他颁发价值三千法郎的金质奖章。
高斯的学生戴德金以全新而有启发性的方式探讨唯一分解问题。1871年戴德金在他所编辑的狄利克雷的《数论》一书附录中。推广了高斯的复整数和库麦的代数数理论，创立现代代数数理论。
克罗内克是库麦的得意门生，他接替库麦在柏林大学任教授，继续研究代数数问题，沿着类似于戴德金的路线发展了它。
代数数论的工作，在十九世纪以希尔伯特的论代数数的著名报告为顶峰。在这个报告里，希尔伯特重新理论了这个世纪里的早期理论，并且给出获得这些结果的新颖、漂亮和强有力的方法。
代数数论本来是研究FLT解的一种方案，而现在，自身却变成了一个目的。它的创立被认为十九世纪代数学上最大成就。