费马发现了无穷递降法,他为此感到非常自豪。在他晚年的一封长信中,概括了他在数论中的发现,他明确地阐明,他的全部证明使用了这个方法。简单地说,方法是证明对于被证明的整数若干性质或关系是不可能的:如果它们对某些数成立,它们将对一些较小的数也成立;然后,用同样的论证,它们对一些更小的数也成立,无限地进行下去,这是不可能的,因为正整数序列不能无限地减小。
这个方法是非常巧妙的,在研究不定方程问题上,是十分有用的。特别,在FLT的早期研究中,不止一次地用过它。下面用例子说明它的原理。
如果uv=w2,(u,v)=1,u>0,v>0,那么u,v都是平方数。
我们使用反证法,即证明:对于正整数u和v,使(1)u和v互素;(2)uv是平方数;(3)u和v都不是平方数,是不可能的。
假设这样的u和v可以找到。如果需要的话,用交换u和v,可以假设u不是平方数。当然u不是1。因而u至少被一个素数整除。令P是整除u的素数,即u=Pk,那么P|w2,得P|w,即w=Pm。因此uv=w2可以改写为kv=(Pm)2=P2m2,或kv=Pm2。因为P整除右端,则P整除左端。又(P,v)=1,则P|k,即k=Pu′。故有u′v=m2。因为u=Pk=P2u′,u′的任何因数是u的因数,所以(u′,v)=1。如果u′是平方数,那么u=P2u′是平方数,与假设矛盾,故u′不是平方数。于是u′,v也有以上列举的性质(1)~(3),且u′<u。然后,同样论证,有另外的正整数u″<u,使u′,v有同样的三条性质。无限地重复论证,将得到无限递减的正整数序列u>u′>u″>…>0。这是不可能的,所以对于u和v具有三条性质是不可能的。这就证明了命题是真的。