书城童书学生最想知道的未解之谜:走不出的数字迷宫
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第7章 奇妙丰富的数(3)

纳皮尔没有完成的宏伟事业,由56岁的布里格斯继承下来。他对纳皮尔的对数表作了很大的改进。第一,他把纳皮尔只限于三角函数的对数值改为一般数的值的对数,扩大了应用范围;第二,以10为底,方便计算。1624年,布里格斯出版了《对数算术》一书,载有1~20000以及90000~100000的14位常用对数表,这是世界上第一个常用对数表。在布里格斯去世后,荷兰数学家弗拉克补齐了从20000~90000部分的对数,弗拉克的对数是10位对数表,到1794年又出现7位对数表。

有趣的数字——7

在人们的日常生活中,频频遇到“7”,但没有人注意,“7”是个有趣的数字。

柴米油盐酱醋茶囊括了人们的生活必需品,喜怒哀乐悲惊恐表达了人们七情。佛教中的“七级浮屠”,变化莫测的“七巧板”,音乐中的“七音阶”,人体中的“七窍”,地球上的“七大洲”,每周的“七天”,颜色中的“赤橙黄绿青蓝紫”,天文中的二十八宿的东西南北四方的“七宿”。

我国古代文学作品的“七”更多。西汉权乘的《七发》诗,之后桓麟的《七说》、桓彬的《七设》、傅毅的《七激》、刘广的《七兴》、崔骃的《七依》、崔琦的《七蠲》、张衡的《七辩》、马融的《七广》、刘梁的《七举》、五粲的《七驿》、徐干的《七喻》、刘勰的《七略》。传说中的“七仙女”、“七夕相会”、“七擒孟获”等数不胜数。

为什么都喜欢用“七”呢?美国心理学家米勒教授认为,每个人一次记忆的最大限度是七,超过这个限度,记忆效率开始下降。因此,米勒把“七”称为“不可思议的数字”。

“2”的妙用

(1)从前农村中遇到红白喜事,要用很多碗和盘子,而一家又没有那么多。大家集资买了很多碗和盘子,由一人保管,谁家有红白喜事可以借用,用后立即归还,很是方便,时间长了,保管的人感觉到,每次借还数数很麻烦,他想了一个方法,不用数即可付给你要借的盘子数,例如有1000个盘子,他分装在10个箱子中,并把箱子从1~10编上号,这10个箱子装的盘子数依次为1,2,4,8,16,32,64,128,256,498。这样不论你借多少,只要按号搬箱子即可。例如借50个盘子,2+16+32=50,搬2,5,6号箱子即可;要借80个盘子,64+16=80,搬5,7号箱子就行了。你可以试一试能否如愿以偿。

(2)一只猫捉到一只老鼠并不立即吃掉,而要等到捉到一批老鼠时再吃。这只猫吃老鼠还有一个习惯,将老鼠排成一行,只吃单数的老鼠,剩下的再排成行吃单数的,剩下一只老鼠就不吃了,重新捉老鼠,等到捉了一批后,再开始吃,这样反复了许多次之后,这只猫突然发现总有一只小白老鼠每次都吃不上,最后剩下的老鼠总是这只小白老鼠。那么这只小白老鼠究竟站什么位置上,最后才不被吃掉呢?

要想搞清楚这个问题,首先看一下猫吃老鼠的方法。这只猫总是吃一行中的单数,即每次除以2,小白老鼠只要站在除以2尽量多的位置上,即2n上,最后2÷2=1,剩下1就不会被猫吃掉。例如猫捉的老鼠少于8只,小白老鼠站在22上;等于8只,站在23上;超过8只少于16只,还站在23上;16只以上不到32只,站在24上;……这样小白老鼠永远不会被猫吃掉。

(3)有一个牧童放了一群羊,在回家的路上,每过一个关卡,守关卡的人总要留下牧童一半的羊,牧童不答应,守关卡的人再给牧童一只羊就让牧童过关卡走了,这样,牧童连续过了10个关卡,都是留下一半再给一只羊,让牧童过关卡去。最后牧童还剩下两只羊,问牧童一共有多少只羊?

设牧童有x只羊,依题意,有

第一关还剩12x+1=x+22

第二关还剩12·x+22+1=x+2+422

第十关还剩

x+2+22+…+210210

∴x+2+22+…+210210=2

解之,得x=2

所以,这个牧童共有2只羊。

西方人忌讳的数字——13

外国人非常厌恶13这个数字。旅馆里没有13号房间,学生在考场上拒绝坐13号座位,海员们拒绝在13号这天起航出海,餐桌上不愿意13个人同时就餐。

这到底是什么原因呢?据考证,主要有三种根源:

(1)原始人只会以10个手指和2只脚来计数,最多是12,于是13成了不可知的可怕数字。

(2)希腊神话中,“英灵之宴”传说原来有12个半人半神聚宴,后来破坏与灾难之神洛基不邀自来,成为13个人。结果在宴会中,令敬爱的包尔达神不幸被杀死,13从此成了不吉利的标志。

(3)耶稣基督和他的12个门徒聚餐,其中第13个人便是犹大。吃完最后的晚餐后,耶稣被犹大出卖。13成了一个不祥的数字。

“T”形数

在我们科学技术如此发达的今天,大数已经不足为奇了。比如,假设美利坚合众国的预算大约是每年一万亿元。一旦我们在脑海中建立了一万亿是多大的数目,那么我们只要略加想象就能知道一万亿个一万亿是怎样一个数目。为了使我们在说这些数的时候不致结结巴巴,让我们设一万亿为T-1,一万亿个一万亿为T-2,用这个办法构成一些大数——T形数。

这样一来,根本用不到T-2就早已把美国财政方面的应用全部包括进去了。再看看它在其他方面的应用。在物理学中,质子和中子统称为核子。T-1个核子所构成了质量是极小的,即使用最好的光学显微镜也远远看不到。而T-2个核子也只能构成1克重的物质。由于T-3是T-2的一万亿倍,故T-3个核子就能构成1.67万亿克的物质,或者略少于两百万吨。事实上,T形数的增加速度让我们吃惊。T-4个核子相当于地球上所有海洋的质量,T-5个核子相当于一千个太阳系的质量。如果继续增加上去,T-6个核子就相当于一万个银河系大小的质量,T-7个核子的质量要远远地、远远地超过整个宇宙的质量。

罗马数字,忘掉它吧

阿拉伯数字在中世纪全盛时期传入了欧洲,这使罗马数字几乎失去了一切可能的用途。阿拉伯数字不知要比它们胜过多少倍。为了表达用罗马数字来计算的方法,不知用去多少纸张。而从此之后只需1%的纸,就可完成同样的计算。

的确,在西方的许多国家曾一度使用罗马数字表达换算的东西。在“布的度量”上,2英寸是1奈尔,12奈尔等于1个佛兰芝埃尔,1个英国埃尔等于29奈尔(45英寸),1个法国奈尔等于24奈尔(54英寸);如果测量距离,712/100英寸等于1令克,25令克等于1杆,4杆等于1测链,10测链等于1佛浪,8佛浪等于1英里;计量啤酒时,最常用2品脱等于1奈脱,而4奈脱等于1加仑,8加仑等于1小桶,2小桶等于1琵琶桶,11/2琵琶桶等于1中桶,2琵琶桶等于1大桶。

你能弄清楚以上那些换算关系吗?我们的数制既然已经很牢固地以十为基数,那么,当今世界上的单位比率也没必要搞得这样变化多端。忘掉旧的和无用的知识,无疑就跟学习新的有益的知识一样重要。所以,让我们忘掉这些罗马数字。

我们历年的日

我们最早的计时单位无疑是日,甚至最原始的人也不得不意识到它。

原始的人类是用月相周期来计时的。一个月相周期为“太阳月”。太阳月大约等于29.5日。季节的循环称为“年”,12个太阳月组成一个“太阳年”,一个太阳年大约354.37日,这就是所谓的“太阳历”。

但是,经天文学家的研究表明,太阳历与季节的循环不相匹配。巴比伦的天文学家在有史时期之初就已知道:太阳沿黄道带运转一圈大约要365日,因此,太阳年季节循环或“太阳年”要短大约11日。三个太阳年就落在季节循环后面整整一个月还多一点。

我们现在的历法是从埃及继承过来的,采用了长度固定的365日为一年的“太阳历”。太阳历还保持了12个月的传统。365日的年恰为52个星期1日。这就是说,如果这一年的2月6日是星期日,则在次年是星期一,再过一年是星期二,以此类推。

如果只有365日的年,则任一给定的日子都将按部就班地经历一星期的每一天。然而,当一年有366日时,那么,这一年的长就是52个星期零2日;如果这一年2月6日是星期二,则下一年是星期四,跳过了星期三。由于这个原因,366日的年称为闰年,2月29日称为闰日。

在寻找质数公式的崎岖道路上

普耶尔·费尔马是个法律学家,也是他的故乡——法国土鲁兹城的著名社会活动家。尽管他是在业余时间里研究数学,可是他的法学才能远远不如他的数学才能驰名。他在世时没出版过什么著作。他死后,他的儿子才将他的数学遗稿整理出版。

费尔马几乎与他同时代的所有著名数学家都有联系和交往。他和笛卡儿共同奠定了“解析几何学”的基础,和巴斯嘉奠定了“概率论”的基础。他最出色的成就,还是在“数论”方面的研究结果。他常常故意把一些难题交给熟人去做,即使是非常著名的数学家也往往不能完成他交给的任务。

历代著名的数学家们为了寻找一个公式来表示所有的质数,不知花费了多少精力,走过了多少艰难曲折的道路,费尔马在这方面也不例外。他曾给出一个表达式:

Fn=22n+1

并且断言当n=1+2+3+…时,Fn表示一切质数。经过验证:

F0=220+1=3;F2=221+1=5;

F2=222+1=17;F3=223+1=257;

F4=224+1=65537;…

当n=0,1,2,3,4时,Fn确实都是质数。费尔马也算出了F5=4294967297,但是,由于这个数很大,分解较难,他没加以分解,便认为F5也是质数,于是他就断言:“当n是任何正整数时,Fn总表示质数。”通常人们称Fn为费尔马数。正是由于这位大数学家一时的疏忽,而得到一个错误的结论。1732年,也是在这个崎岖道路上行走的数学家欧拉指出了费尔马的错误。欧拉得到:

F5=225+1=4294967297

=641×6700417

而641是质数,从而费尔马的断言被否定了。

在数学的许多方面建树功勋的欧拉,在寻求质数公式时,也曾设想用一个二次三项式:

φ(n)=n2+n+41

来表示质数,然而也失败了。不难验证,当n等于从1到39所有整数时,这个三项式的值都是质数,可是当n=40时:

φ(40)=402+40+41=1681=412

显然,φ(40)就是合数了。和费尔马一样,欧拉也没能给出一个以正整数为自变量,而因数值都是质数的解析表达式。

通过这两位著名数学家的教训,我们看到不完全归纳法常常是不可靠的。绝不能根据对一些特殊情形的判断,就过渡到一般情形的结论,并作为规律或法则,这样做太冒险了。必须经过周密的研究,大量的判断,并且给予严格的数学论证,然后,或者成为规律、法则;或者因为错误而被否定。所以,欧拉说的对:“简单归纳法会得出错误的结论。”还有一个说服力更强的例子:

φ(n)=991·n2+1(n=1,2,3,…)

我们分别将1,2,3,4,…等自然数代入上式,所得的数值都不是完全平方数,甚至你花上毕生的精力去一个一个地计算,也不会发现例外。但是,数学上却决不允许因此而得出φ(n)对一切自然数M都不是完全平方数。事实上当不为φ(n)完全平方数这一结论遭到破坏呢,谁能有那么大的耐性一个数一个数的从1,2,…一直让n取到29位的大数去验算φ(n)是不是完全平方数呢?

质数问题纠缠了人们2000多年,至今不少数学家仍在这漫长而曲折的道路上,刻苦研究质数公式的问题。

“数论”到底讲的是什么

我们在前面章节里讲述了有关“数论”中的一些历史著名难题。那么,“数论”到底是一种什么样的科学呢?它的研究方法和研究的对象又是什么呢?在这里扼要地说明一下。

“数论”就是研究数的科学,而且所说的数都是整数,在广泛的意义上说来,是研究利用整数按一定形式构成的数系的科学。

“数论”的基本问题之一,是研究一个数被另一个数整除的问题,这就是所谓可除性理论。“数论”中的许多新概念、新理论、新方法,不仅在数论中有意义,而且在别队的数学分支以及其他科学领域中也有着重要的应用,如“自然数列是无穷的”这一概念对数学的全部发展,有着巨大的影响,它反映出物质世界在空间和时间上是无限的客观规律。

“数论”从研究方法上考虑可分为四个部分,即初等数论、解析数论、代数数论和几何数论。

初等数论不求助于其他数学分支而研究整数的性质,例如已知的欧拉恒等式:

(a21+a22+a23+a24)(b21+b22+b23+b24)

=(a1b1+a2b2+a3b3+a4b4)2+(a1b2-a2b1+a3b4-a4b3)2+

(a1b3-a3b1+a4b2-a2b4)2+(a1b4-a4b1+a2b3-a3b2)2

可以顺利地证明,对每一个整数Q>0都可分解为四个整数平方的和,即

Q=x2+y2+z2+u2

其中x,y,z,u均为整数,当然这个问题要理解为找不定方程的整数解。

所谓解析数论是用微积分的工具来解决“数论”问题。代数数论是研究代数的概念。所谓代数数论就是方程

a0xn+a1xn-1+a2xn-2+…+

an-1x+an=0

的根,其中a0、a1、a2、…an是整数。

几何数论研究的基本对象是“空间格网”,主要在于透过几何观点研究整数的分布情形。这个问题对几何学和结晶学有着重大的意义。