一些奇妙的数学关系
大家都知道（8+1）2＝81。如果你留心这些数字的构成关系，自然会再想一想，还有没有类似的情况。比如：（5+1+2）3＝512；（4+9+1+3）3＝4913；（5+8+3+2）3＝5832；（1+7+5+7+6）3＝17576；（1+9+6+8+3）3＝19683；（2+4+0+1）4＝2401；（2+3+4+2+5+6）4＝234256；（6+1+4+6+5+6）4＝614656。此外，某些整数的乘积有一些奇妙性质。如86×8＝688，其乘积恰好是把86中的6和8分别放在乘数的前面和后面，只不过是把86的先后顺序颠倒一下。83×41096＝3410968，很容易看出是把3和8分别处在41096的前面和后面。类似83这样的数，除去86外，还有71。这些数位带有神奇特点。
哪些数字能被3、9、11整除
一个整数，判断它能否被3和9整除，一个简单的办法是：把它的各位数字相加，其和是3或9的倍数，那么这个数便可以被3或9整除。如4782各位数字之和是4+7+8+2＝21，21能被3整除，但不能被9整除。如762813各位数字之和是7+6+2+8+1+3＝27，可以被9整除，这表明它是9的倍数。
而判断一个整数能否被11整除，就相对难一些了。如果一个整数，它的奇位数字之和与偶位数字之和的差是11的倍数，便能被11整除，否则便不能被11整除。如198、2573、364925，由（1+8）-9＝0；（5+3）-（2+7）＝-1；（6+9+5）-（3+4+2）＝11，这说明198和364925能被11整除；而2573则不能被11整除。如若不信，你不妨试一试，看是否如此。
0.618——具有无限美感的数字
0.618这个数值，数学史上称为黄金分割数或黄金比。下面是与0.618有关的一些事物，可见其美感色彩之一斑。
建筑物的门、窗通常均设计为长方形，其短边占长边的比值均为0.618，给人以一种稳定、和谐的感觉；著名的埃菲尔铁塔第二层平台的下面与上面的比，雄伟的多伦多电视塔阁覆楼的上部与下部长度的比也均为0.618；埃及基沙的第一座金字塔，高146米，底部边长230米，比值也与0.618相近，从而给人以雄伟壮丽、气势磅礴之感；意大利人菲坡斯发现，一般人肚脐以上与肚脐以下的长度比约为0.618，此外，头脑至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度比，以及膝盖至脚底的长与膝盖的长的比也是0.618。并不是所有的人都完全符合这个比值，但凡符合者都能给人以体态轻盈匀称之感。还有人发现，二胡的千斤放在琴弦长度的0.618处音色优美；冬季室温在23℃左右，居住者感觉舒适，其与人体体温的比值也恰恰接近0.618。真是神奇的0.618。
在没有“0”之前
符号“0”起源于古印度，早在公元前2000年，印度一些古文献便有使用“0”的记载。在古印度，“0”读作“苏涅亚”，表示“空的位置”的意思。可见，古印度人把一个数中缺位的数学称为“苏涅亚”。之后“0”这个数从印度传入阿拉伯，阿拉伯人把它翻译成“契弗尔”，仍然表示“空位”的意思。后来，又从阿拉伯传入欧洲。直到现在，英文的“cipher”仍为“0”的含义。
我国古代没有“0”这个数码。当遇到要表示“0”的意思时，也遵照很多国家和民族的通用办法，采用“不写”或“空位”的办法来解决。如把118098记作“十一万八千□九十八”，把104976记作“十□万四千九百七十六”。可见，当时是用“□”表示空位的。后来，为了书写方便，便将“□”形顺笔改作“0”形，进而成为表示“0”的数码。根据史料记载，到南宋时期，当时的一些数学家已开始使用“0”来表示数字的空位了。
零就是无吗
数学上的“零”是对任何定量的否定，表示没有。但从辩论观点来看，它又具有丰富的内容：
1.在十进制记数中，把它放在一个自然数的右边，就使该数成10倍、100倍、1000倍的增大；在一个近似数（小数）的最右边放上0，表示这个近似数的精确度。如0.650表示精确到千分位，而0.65则表示精确到百分位。
2.零是正数与负数之间的界限，既不是正数，又不是负数，是惟一真正的中性数。
3.在代数运算中，一个方程的实质，只有当方程所有项都移到一边，而另一边为零时，才能清楚地显现出来。
4.在解析几何中，零是一个特定的坐标原点，它决定着其他点的选取和性质。
5.在现实生活中，零还有开始的意思，比如我们常说的“一切从零开始”，又比如过年时，除夕的晚上12点钟又称为零点，这便是一年开始的意思。我们常听的天气预报，总是说零下几度、零上几度，零在这里表示一定的临界。总之，零的用处有许多。随着知识的越来越多，你还会发现零的许多其他妙用呢！
十进制与人的10个手指头
人的手指头有时候是最好的计算个数的工具。当你数完8、9、10就该数11了，11就是10加上1，这叫做十进位制的记数方法。但你可曾知道，十进位制的来历是因为人长有10个手指头。
古时候，人类还没有发明文字，也没有算盘，计算物品的数目都是靠人的10个手指头。但是，用手指头记数的时候，最多能记到10。大于10的数就需要做个记号，用绳子打上结，打几个结表示几个，大结表示大的，小结表示小的；或者在石头、木头上画道，画几道表示几个。然后再扳着手指头从头数起，数到10时，再做个记号。然后还是扳着手指头从头数起……这样也就逐渐形成了记数的十进位制。
所以，人的手指的数目在人类数学文化的发展起了相当重要的作用。
电话号码中的学问
电话号码是一种代码，它是由数字组成的。每一部电话机都要有一个代号，不能和别的电话一样，这样打电话才不会打错。不同的国家和地区，电话号码的位数也不尽相同，这其中还有一些学问在里边。
如果用一位数字做代号，从0到9只能有10个不同的号码，再多就会重复。要是用两位数字做代号，把两位数颠来倒去地排，比如12、21、13、31……这样只可以安装100部电话。要是用三位数字，就可以排出1000个代号，那就能安装1000部电话。要是用六位数字就可以排出100万个代号。在大的城市或地区，需要安装很多很多电话，现在连六位数都不够用，已经有七位、八位数字的电话号码。而且，在很多单位里，一个电话号码的总机下面又带有很多分机。
其实，随着数字位数的升高，可以排出的电码增加是利用了数学中的排列组合原理。
为什么篮球队里没有1、2、3号队员
熟悉篮球运动的人都知道，在篮球队里，是没有1、2、3号这三个号码的队员的。这是为什么呢？
原来，篮球队里没有1、2、3号队员的原因主要是与比赛中裁判员的手势有关。在球类比赛中，罚球的情况比较多，篮球比赛也不例外。在篮球赛中，一次最多要罚三次球。当需要罚一次球时，裁判员要举起右手并伸出一个手指；罚两次球时伸出两个手指；罚三次球时出三个手指。但是，当一方球队的队员在比赛中犯规时，裁判员也要伸手指来表示犯规队员的号码。所以，为了避免引起误会，篮球队员的号码便从4号开始了。
在我们人类的一切活动中，包括体育运动，用手指示数是一种最简单明了的方法。但有时这种表示方法所表达的含义是很有限的。所以，当容易产生误会时，只好更换表达方式或是舍去不用，就像篮球队里舍去1、2、3这三个号码一样。
篮球比赛
数的家族
1、2、3、…；1/2、4/5、11/3、…；-3、-8、-11、…；2、π、e、…这些各种各样的数，都有自己的“身份”，它们共同组成数的家族。
第一组成员是正整数。小时候扳手指头学会的1、2、3、…就是正整数。这也是我们祖先最早认识的数。
第二组成员是分数。5个人分3个苹果，古人最初是这样做的：把一个苹果分成相同的五份，每人取一份，即1/5；对另两个苹果做同样的分配，最后每个人得到3个1/5，即3/5。分数的记载最先出现在4000多年前的古埃及纸草书中。
零的出现比较晚。在公元前200年，希腊人已有零号的记载。
负数在中国的西汉时期已经萌芽，并最先作为数学的研究对象出现在公元1世纪的《九章算术》中。
正整数、零和负整数就构成了全体整数。正分数和负分数构成了全体分数。整数和分数又统称为有理数。每个有理数都可以表示成两个整数的比。不能表示成两个整数的比的数称为无理数。无理数要比有理数多得多。有理数和无理数又统称为实数。这就是整个数的家族。
奇特的自然数
0、1、2、3、…这些人人熟悉而又简单的自然数，有着许多奇妙有趣的性质。
1930年，意大利的杜西教授作了如下的观察：在一个圆周上放上任意两个数，例如8、43、17、29，让两个相邻的数相减，并且总是大的减小的，如此下去，在有限步之内，必然会出现四个相等的数。
三位数也有奇妙的性质。任取一个三位数，将各位数字倒着排出来成为一个新的数，加到原数上，反复这样做，对于大多数自然数，很快就会得到一个从左到右读与从右到左读完全一样的数。比如从195开始：195+591＝786786+687＝14731473+3741＝52145214+4125＝9339。
只用四步就得到了上述结果。这种结果称为回文数或对称数。但是，也有通过这个办法似乎永远也变不成回文数的数。其中最小的数是196，它是被试验到5万步，达到21000位时，仍然没有得到回文数。在前10万个自然数中，有5996个数像196这样似乎永远不能产生回文数，但至今没有人能证实或否定这一猜测。在研究数的各种性质中，有许多既有趣又困难的问题，科学家们正努力加以解决。
小数的历史
有了小数之后，记数就更方便了。如圆周率近似值3.1416，若用分数表示，就得写成3927/1250，很麻烦。有位著名的美国数学史家说：“近代计算的奇迹般的动力来自三项发明：印度记数、十进分数（小数）和对数。”
在西方，一般认为小数是比利时数学家斯蒂文发明的。但最早使用现代意义的小数点的是德国数学家克拉维斯。
实际上，早在斯蒂文发明小数点之前很久，中国、印度和中亚就已经使用十进分数了。
公元3世纪，我国魏晋时期刘徽的《九章算术》中，有三处运用了十进分数的思想：十一万八千二百九十六二十五（118296.25），八十九三（89.3），一百一十九十二（119.12）。这种写法和西方直到19世纪仍在流行的小数记法，几乎完全相同。到了宋元时期，更有下列论法：中亚的阿尔卡西是世界上除中国人之外第一个应用十进分数的。他的用法体现在他1427年的《算术之钥》一书中。
不论是东方还是在西方，对小数的认识都经过了几百年甚至上千年的演变。
负数的产生
今天人们都能用正负数来表示相反方向的两种量。例如以海平面为0点，世界上最高的珠穆朗玛峰的高度为+8844.43米，最深的马里亚纳海沟深为－10911米。在日常生活中，则用“＋”表示收入，“－”表示支出。在历史上，负数的引入经历了漫长而曲折的历程。
古代人在实践活动中遇到了一些问题，如相互间借用东西，对借入和借出双方来说，同一样东西具有不同的意义。分配物品时，有时暂时不够，就要欠一定的数量。再如从一个地方，两个人同时向两个方向行走，离开出发点的距离即使相同，但两者又有不同的意义。久而久之，古代人意识仅用数量表示一事物是不全面的，似乎还应加上表示方向的符号。为了表示具有相反方向的量和解决被减数大于减数等问题，逐渐产生了负数。
中国是世界上最早认识和应用负数的国家。早在2000年前的《九章算术》中，就有了以卖出粮食的数目为正（可收钱），买入粮食的数目为负（要付钱），以入仓为正，出仓为负的思想。这些思想，西方要迟于中国八九百年才出现。
虚数不虚
“虚数”这个名词，听起来好像“虚”，实际上却非常“实”。
虚数是在解方程时产生的。求解方程时，常常需要将数开平方。如果被开方数不是负数，可以算出要求的根；如果是负数怎么办呢？譬如，方程x2＋1＝0，x2＝－1，x＝±-1。那么-1有没有意义呢？1637年，法国数学家笛卡尔开始用“实数”、“虚数”两个名词。1777年，瑞士数学家欧拉开始用符号i＝-1表示虚数的单位。而后人将实数和虚数结合起来，写成a＋bi形式（a、b为实数），称为复数。