李善兰是近代著名的数学家、天文学家、力学家和植物学家。他为了使先进的西方近代科学能在我国早日传播，不遗余力，克服了重重困难，学贯中西，作出了很大贡献。其多部译作弥补了我国数学在某方面的空白。
李善兰创立了二次平方根的幂级数展开式，各种三角函数、反三角函数和对数函数的幂级数展开式。
这是李善兰也是我国19世纪数学界取得的最重大的成就。李善兰是继梅文鼎之后清代数学史上的又一杰出代表。
李善兰从小就喜欢数学，而且勤于思考，常把身边的事物和数学联系起来。
有一天，李善兰随父亲到海宁城里一位大绅士家做客，看到墙上挂着一幅《百鸟归巢》图，画家是当时很有名的花鸟画高手，在他生花妙笔的点染下，使看画的人仿佛闻到了花香、听到了鸟的叫声。
画的右上角还有一首题画诗，上面写道：“一只过了又一只，3、4、5、6、7、8只。凤凰何少雀何多，啄尽人间千万石。”
李善兰看到这幅画后，心中也顿然一动。题目是《百鸟归巢》，可全诗却没有百字，只有这几个数字，好像是题诗人的有意安排，但究竟有什么深藏的机密呢？他看着这些数字想了又想，当时他也没有想明白。
回到家中，他还在心里琢磨，当他看到书架上的数学书箱时，他恍然大悟，原来这是一道数学题。他在纸上写下了这样几个数：1、1、3、4、5、6、7、8，怎样能使它们和百鸟联系在一起呢？就在他拿来书架上的数学书翻开的时候，在脑子里突然涌现出了几个算式：1×2=2；3×4=12；5×6=30；7×8=56；2+12+30+56=100。这不正对应着《百鸟归巢》的“百”吗？而最后的两句诗是讽刺官员欺压百姓，就像鸦雀一样，把老百姓成千上万的粮食侵占了。这真是一幅绝妙的画！看来，画家也有很深的数学造诣。李善兰自幼就读于私塾，受到了良好的家庭教育。他资禀颖异，勤奋好学，于所读之诗书，过目即能成诵。有一次，他发现父亲的书架上有一本我国古代数学名著《九章算术》，感到十分新奇有趣，从此迷上了数学。
14岁时，李善兰又靠自学读懂了欧几里得《几何原本》前6卷，这是明末徐光启与利玛窦合译的古希腊数学名著。欧氏几何严密的逻辑体系，清晰的数学推理，与偏重实用解法和计算技巧的我国古代传统数学思路迥异，自有它的特色和长处。
李善兰在《九章算术》的基础上，又吸取了《几何原本》的新思想，这使他的数学造诣日趋精深。后来，又研读了金元时期的数学家李冶的《测圆海镜》，清代末期数学家戴煦的《勾股割圆记》等书，所学渐深。
1852年，李善兰离家来到上海的墨海书馆。
墨海书馆是1843年为翻译西方书籍由英国传教士麦都思开设的，它也是西方传教士与我国知识分子联系的一条渠道。李善兰在那里结识了英国传教士伟烈亚力和艾约瑟。
当时墨海书馆正在物色能与传教士协作翻译的外语人才。
李善兰的到来使他们十分高兴，但又不甚放心，于是，他们拿出西方最艰深的算题来考李善兰，结果都被李善兰一一作了解答，得到传教士们的赞赏。从此以后，李善兰开始了译著西方科学著作的生涯。
李善兰翻译的第一部著作是《几何原本》后9卷，由于他不通外文，因此不得不依靠传教士们的帮助。《几何原本》的整个翻译工作都是由伟烈亚力口述，由李善兰笔录的。其实这并非容易，因为西方的数学思想与我国传统的数学思想很不一致，表达方式也大相径庭。
虽然说是笔录，但在实际上却是对伟烈亚力口述的再翻译。就如伟烈亚力所说，正是由于李善兰“精于数学”，才能对书中的意思表达得明白无误，恰到好处。
这本书的翻译前后历经4年才告成功。在译《几何原本》的同时，李善兰又与艾约瑟一起译出了《重学》20卷。这是我国近代科学史上第一部力学专著，在当时产生了很大的影响。
1859年，李善兰又译出两部很有影响的数学著作《代数学》13卷和《代微积拾级》18卷。前者是我国第一部以代数命名的符号代数学，后者则是我国第一部解析几何和微积分著作。
这两部书的译出，不仅向我国数学界介绍了西方符号代数、解析几何和微积分的基本内容，而且在我国的数学领域中创立起许多新的概念、新的名词、新的符号。
这些新东西虽然引自于西方原本，但以中文名词的形式出现却离不开李善兰的创造，其中的代数学、系数、根、多项式、方程式、函数、微分、积分、级数、切线、法线、渐近线等，都沿用至今。
这些汉译数学名词可以做到顾名思义。李善兰在解释“函数”一词时说，“凡此变数中函彼变数，则此为彼之函数。”这里，“函”是含有的意思，它与函数概念着重变量之间的关系的意思是十分相近的。许多译名后来也为日本所采用，并沿用至今。
在《代微积拾级》中附有第一张英汉数学名词对照表，其中收词330个，有相当一部分名词已为现代数学所接受，有些则略有改变，也有些已被淘汰。
除了译名外，在算式和符号方面李善兰也做了许多创造和转引工作。比如从西文书中引用了×、÷、=等符号。
李善兰除了与伟烈亚力合译了《几何原本》、《代数学》和《代微积拾级》外，还与艾约瑟合译了《圆锥曲线论》3卷。这4部译著虽说与当时欧洲数学已有很大差距，但作为高等数学在我国引入还是第一次，它标志着近代数学已经在我国出现。
就具体数学内容来说，它们包括了虚数概念、多项式理论、方程论、解析几何、圆锥曲线论、微分学、积分学、级数论等，所有的内容都是基本的和初步的，然而，它对我国数学来说却是崭新的。有了这个起点，我国数学也就可以逐步走向世界数学之林。
1858年，李善兰又向墨海书馆提议翻译英国天文学家约翰·赫舍尔的《天文学纲要》和牛顿的《自然哲学数学原理》。此外又与英国人韦廉臣合译了林耐的《植物学》8卷。
在1852年至1859年的七八年间，李善兰译成著作七八种，共约七八十万字。其中不仅有他擅长的数学和天文学，还有他所生疏的力学和植物学。
在介绍西学方面，这里值得一提的是，在李善兰之后，清代末期数学家、翻译家和教育家华蘅芳做了积极的翻译工作。
华蘅芳先与美国玛高温合译了《金石识别》、《地学浅释》、《防海新论》和《御风要术》等矿物学、地学、气象学方面的书共5种；又与英国人傅兰雅合译了《代数术》、《微积溯源》、《决疑数学》、《三角数理》、《三角难题解法》、《算式解法》6种，另有未刊行的译著4种，进一步介绍近代西方的代数学、三角学、微积分学和概率论。
这些译著都成为我国学者了解和学习西方数学的主要来源。其中的《决疑数学》具有突出地位，是第一部在我国编译的概率论专著。
李善兰在数学研究方面的成就，主要有尖锥术、垛积术和素数论3项。尖锥术理论主要见于《方圆阐幽》、《弧矢启秘》、《对数探源》3部著作，成书年代约1845年，当时解析几何与微积分学尚未传入我国。
李善兰的著作将近代数学思想运用于解决我国传统课题之中，取得了出色的成就。
李善兰创立的“尖锥”概念，是一种处理代数问题的几何模型，他对“尖锥曲线”的描述实质上相当于给出了直线、抛物线、立方抛物线等方程。
他创造的“尖锥求积术”，相当于幂函数的定积分公式和逐项积分法则。他用“分离元数法”独立地得出了二项式平方根的幂级数展开式结合“尖锥求积术”，得到了圆周率的无穷级数表达式。
垛积术理论主要见于《垛积比类》，这是有关高阶等差级数的著作，是早期组合论的杰作。李善兰从研究我国传统的垛积问题入手，获得了一些相当于现代组合数学中的成果，创立了驰名中外的“李善兰恒等式”。
素数论主要见于《考数根法》，这是我国素数论方面最早的著作。在判别一个自然数是否为素数时，李善兰证明了著名的费马素数定理，并指出了它的逆定理不真。
李善兰是继梅文鼎之后清代数学史上的又一杰出代表。李善兰还是一位翻译家，他一生翻译西方科技书籍甚多，将近代科学最主要的几门知识从天文学到植物细胞学的最新成果介绍传入我国，对促进近代科学的发展作出了卓越的贡献。