“阿贝尔写的这些太难了，看不明白。”
伽罗瓦认为，证明五次方程不可解，不能像阿贝尔那样使用繁杂的公式直接推导去寻找矛盾。
而是需要寻找一个真正的本质，一种内在的精确的简单的数学结构来说明这一点。
“二、三、四次方程可以解出来，那是有一个内在的性质的。”
“是对称性，这种对称性在五次方程中没有。”
“而这种对称性，跟交换群的对称性，在数学上是一回事，两者是等价的。只是长的不一样罢了。只要我能够证明这两者是等价的，同时在五次的交换群里找到异常的地方，就可以了。”
“可什么是异常呢？”
伽罗瓦吧3、4次的交换群都画出来了。
然后画出了第5次，发现第5交换群有问题。
这个问题就是5次交换群没有正规子群。
“如果没有正规子群的话，就能说明五次方程是没有四则运算解的吗？”
伽罗瓦开始从域论和扩张域上来寻找答案。
第一：域的正规可分扩张定义为伽罗瓦扩张。
第二：若K/F为伽罗瓦扩张，K上的F-自同构的集合构成一个群，定义为伽罗瓦群，记为Gal(K/F)。
第三：对于H是Gal(K/F)的子群，称K中在H中任意元素作用下不动元的集合为H的不动域，这是一个中间域。
第四：对于伽罗瓦扩张，扩张的中间域和伽罗瓦群的子群有一一对应的关系。
第五：F?E?K形式的伽罗瓦扩张，E/F是正规扩张当且仅当Gal(K/E)是Gal(K/F)的正规子群。
第六：在特征为0的域上，多项式的根可用根式解当且仅当其分裂域扩张的伽罗瓦群是可解群。
广义上的伽罗瓦理论还包括尺规作图，诺特方程，循环扩张，库默尔理论等内容。