斯泰因豪斯打断了二人对话，对巴拿赫说：“什么是巴拿赫空间？”
巴拿赫说：“是一种有长度和向量的空间。”
斯泰因豪斯说：“听起来好像可以研究空气动力学，挺有趣的。”
巴拿赫说：“按照标准来说是完备赋范向量空间。”
斯泰因豪斯说：“明白，可以近下来他的作用是什么呢？”
巴拿赫说：“我和汉斯哈恩找到了一种有界线性算子，作为研究泛函数的工具。让对偶空间变的有了一定的趣味，而且价值性很高。”
一脸懵逼的斯泰因豪斯说：“什么是对偶空间？”
巴拿赫说：“是行向量（1×n）与列向量（n×1）的关系的抽象化。这个结构能够在无限维度空间进行并为测度，分布及希尔伯特空间提供重要的观点。对偶空间的应用是泛函分析理论的特征。傅立叶变换亦内蕴对偶空间的概念。”
斯泰因豪斯说：“你的巴拿赫空间对研究这个很有帮助吗？”
巴拿赫说：“还对我和斯坦豪斯研究的共鸣定理有帮助。”
斯泰因豪斯说：“解释一下……”
巴拿赫说：“是论述有关一族有界线性算子为一致有界的定理。是泛函分析中的一条重要定理，由我与施坦豪斯于1927年在勒贝格关于奇异积分、特普利茨关于正则求和法以及哈恩关于插值理论等前人研究成果的基础上提出的。”
斯泰因豪斯还在反应共鸣定理的事情，巴拿赫继续说：“还对闭图像定理有帮助。”，
巴拿赫说：“也是泛函数里的一种重要定理，闭图像定理可以从开映射定理推导出来。”
斯泰因豪斯说：“开映射是指，连续线性算子是满射的，那么它就是一个开映射。”
巴拿赫说：“没错还会用到贝尔纲定理和弗雷歇空间的知识。以后详谈。”
巴拿赫空间证明了作为泛函分析基础的三个定理，哈恩--巴拿赫延拓定理，巴拿赫--斯坦豪斯定理即共鸣之定理、闭图像定理。