索末菲教授带着他的两个得意门生：亲如兄弟的海森堡和泡利，从慕尼黑赶到哥廷根来听玻尔演讲。海森堡在这里第一次遇到了玻尔。一次，他在玻尔结束演讲后提了一个颇为尖锐的问题，引起了玻尔对这个年轻人的注意，当天便邀他一块儿去郊外散步。
海森堡正在折腾玻尔和索末菲的原子模型时，花粉过敏症却来折腾他，使他的脸肿得像烤出来的大圆面包，以至于偶然撞见他的房东吓了一大跳，还以为是他和人打架而致。因此，海森堡不得不去到北海的赫尔格兰岛，休养一段时间。那个远离喧哗的小地方，倒是激发了海森堡非凡的科学灵感，他构想出了他对量子力学的最大突破——后来被称作“矩阵力学”的理论。
海森堡当时正在研究氢的光谱线实验结果与原子模型的关系。实验得到的是宏观物理世界中的可观测量，量子化之后的原子模型却是科学家脑袋中构想出来的东西。“可观测”还是“不可观测”，这在经典物理中可以说是个伪命题。人们对经典理论的认知是：物理量不都是可观测的吗？但在量子论适用的微观世界，这个问题从来就亦步亦趋地伴随着物理理论前行。微观现象难以直接观测，那么，如何来判断理论正确与否呢？
这实际上是玻尔的“对应原理”企图解决的问题。“对应原理”由玻尔正式提出，并在哲学的意义上推广到其它领域。但事实上，从普朗克开始，量子物理学家们就一直在潜意识中使用对应原理。对应原理的实质就是：在一定的极限条件下，量子物理应该趋近于经典物理。微观的不可观测量，与宏观的可观测量之间，应该有一个互相对应的关系。
海森堡认为，原子模型中电子的轨道（包括位置x(t)、动量p(t)等）是不可测量的量，而电子辐射形成的光谱（包括频率和强度）则是宏观可测的。是否可以从光谱得到的频率和强度这些可测量，倒推回去得到电子位置x(t)及动量p(t)的信息呢？也就是说，是否可以将轨道概念与光谱对应起来？
这儿就产生了一点问题。
首先，在轨道概念中，电子绕核作圆周运动，玻尔认为有多种可能的轨道，例如图1左图中的（1n、2n、3n……）。那么，没问题，可以将位置x(t)及动量p(t)表示成这些轨道的线性叠加，或者说，将它们作傅立叶变换。
第二步，我们再来考察右图中宏观可以测量的光谱频率和强度。光谱产生的原因是原子中电子在两个能级之间的跃迁，能级差决定了光谱的频率，跃迁的概率决定了谱线的强度。因此，频率和强度是由两个能级（n和m）决定的。每两个任意能级间都有可能产生跃迁，因此，n和m是两个独立的变量。
如何将轨道中的量（例如x(t)）用n和m两个独立变量表示出来呢？这第三步难倒了海森堡：x(t)是一个变量n的函数，却要用两个变量n和m表示！海森堡也顾不了花粉热的纠缠，没日没夜地思考这个问题。
终于在一个夜晚，海森堡脑海中灵光一闪，想通了这个问题。有什么不好表示的？把它们两者之间的关系画成一个“表格”呀！海森堡大概规定了一下用这种表格进行计算的几条“原则”，然后，剩下就是一些繁杂的运算了。后来，海森堡在回忆这段心路历程时写道：
大约在晚上三点钟，计算的最终结果摆在我面前。起初我被深深震撼。我非常激动，无法入睡，所以我离开了屋子，等待在岩石顶上的日出。
计算结果非常好地解释了光谱实验结果（光谱线的强度和谱线分布），使得电子运动学与发射辐射特征之间具有了关联。但海森堡仍然希望对玻尔模型的轨道有个说法。
海森堡想，玻尔模型基于电子的不同轨道，但是，谁看过电子的轨道呢？也许轨道根本不存在，存在的只是对应于电子各种能量值的状态。对，没有轨道，只有量子态！量子态之间的跃迁，可以精确地描述实验观察到的光谱，还要轨道干什么？如果你一定要知道电子的位置x(t)及动量p(t)，对不起，我只能对你说：它们是一些表格，无穷多个方格子组成的表格。
6月9日，海森堡返回哥廷根后，立即将结果寄给他的哥们儿泡利，并加上几句激动的评论：“一切对我来说仍然模糊不清，但似乎电子不再在轨道上运动了”。
1925年7月25日，《海德堡物理学报》收到了海森堡的论文。这天算是量子力学（新量子论）真正发明之日，距离普朗克旧量子论的诞生，已经过去了25年。