勒让德教授贝塞尔二阶微分方程相关知识。
贝塞尔说：“你这个多项式是从哪里来的？”
勒让德说：“从勒让德方程推导出来的。”
贝塞尔说：“勒让德方程是从哪里来的？”
勒让德说：“从连带勒让德方程得到的，这个方程在m值为0，也就是在轴对称情况下得到的。在球函数方程分离变量时，可出现连带勒让德方程。”
贝塞尔说：“连带勒让德方程又是什么东西？”
勒让德说：“连带勒让德方程是一个二阶常微分方程。”
贝塞尔说：“二阶常微分方程是这个样子吗？”
贝塞尔说着，写出了方程：y''+py'+qy=0。
勒让德说：“这是齐次的的二阶常系数线性微分方程。”
勒让德写了方程y''+py'+qy=f(x)，这个是二阶常系数线性微分方程，对贝塞尔说：“还必须是其中 y1和y2的比值为常数才可以，如果不是常数，就是非齐次的。”
贝塞尔说：“你是研究这些方程解法的吧？一般有哪些方法？”
勒让德说：“有待定系数法、多项式法、常数变易法和微分算子法等。”
贝塞尔说：“二阶常系数线性微分方程如何解呢？”
勒让德说：“先写出特征方程。”
勒让德写出了y''+py'+qy=0的特征方程r^2+pr+q=0。
然后写出特征方程的解后，然后写出三种条件下的通解：
1.两个不相等的实根：y=C1e^(r1x)+C2e^(r2x)
2.两根相等的实根：y=(C1+C2x)e^(r1x)
3.一对共轭复根：r1=α+iβ，r2=α-iβ：y=e^(αx)*(C1cosβx+C2sinβx)
贝塞尔说：“那如何得到非齐次的解？”
勒让德说：“通解等于非齐次方程特解加齐次方程通解。”
贝塞尔说：“这个有什么用吗？”
勒让德说：“在工程技术及力学和物理学中都有十分广泛的应用。”