第五章博弈中的最佳策略——纳什均衡 (2)
受这样的距离，也还没有到楚国那只斗鸡不能忍受的距离。理所当然齐国会选择斗鸡定律中的继续前进了，这虽然有两败俱伤的可能，但如果不前进，也就不能完全使楚国屈服，所以要获得最理想的未来收益值也就只有冒风险了。正是基于这样的原则和策略，在使者走后齐国和诸侯联军又拔营前进，一直到达召陵。
二虎相争，必有一伤，如果双方都明白这一点，那么谁都不愿意成为牺牲者。可是更多的时候人们都过于自负，觉得自己会取得胜利，所以，只要把形势说明，让他觉得自己没有稳操胜券的能力，僵持不下的斗鸡博弈就会被化解了。
混合策略中的纳什均衡
警察部门负责一城市中某一区的治安。警察要对该区的A、B两地进行巡逻。假定该区有一群小偷，要实施偷盗。警察要防止小偷的偷盗，但因为设备有限，只有一部警车，因此，警察只能一次在一个地方巡逻。而对于小偷而言，他们也只能去一个地方。假定A地需要保护的财产价值为2万元，B地的财产价值为1万元。若警察在某地进行巡逻，而小偷也选择了去该地，因警察在场，小偷无法偷盗该地的财物；若警察没有去某地|巡逻而小偷选择了去该地，则小偷偷盗成功。警察怎么巡逻才能使效果最好呢？
一个明显的做法是，警察对A地进行巡逻，小偷去B地，这样警察可以保证2万元的财产不被偷窃，小偷的收益为一万元，但是这种做法是警察的最好做法吗？此时警察的得益为3(保住3万元)。
这个博弈是混合策略博弈，它没有纯策略纳什均衡点，而有混合策略均衡点。这个混合策略均衡点下的策略选择是每个参与者的最优(混合)策略选择。
对于这个例子，警察的一个最好的做法是，警察用掷骰子的方法决定去A地还是B地。假定警察规定掷到1—4点去A地，掷到5、6两点去B地，这样警察有2／3的机会去A地进行巡逻，1／3的机会去B地。
而小偷的最优选择是：以同样掷骰子的办法决定去A地还是去B地偷盗，只是掷到1—4点去B地，掷到5、6两点去A地，那么，小偷有1／3的机会去A地，2／3的机会去B地。
此时警察与小偷所采取的便是混合策略。
假如按这种办法，警察此时的期望得益是：7／3万大于2。警察按此办法比只巡逻A地收益得到改进。
而小偷的收益是：一旦警察采取混合策略，小偷也采取混合策略，其最优混合策略下的收益为2／3万元。
因为：当警察去A地巡逻时，小偷有1／3的机会去A地，2／3的机会去B地，此时，警察A地的得益为：（6+1／3）×3+2／3×2=7／3万元；当警察去B地时，同样小偷有1／3的机会去A地，2／3的机会去B地，此时警察A地的得益为：1／3×l十2／3×3=7／3万。警察总的得益为：2／3×7／3十1／3×7／3=7／3万。
同理，我们可得小偷的总的得益为2／3万元警察与小偷之间的博弈，如同小孩子之间玩“剪刀——石头——布”的游戏，在这样一个游戏中，不存在纯策略均衡，对每个小孩来说，自己采取出“剪刀”、“布”还是“石头”的策略应当是随机的，不能让对方知道自己的策略，哪怕是倾向性的策略。如果对方知道你出其中一个策略的可能性大，那么你在游戏中输的可能性就大。因此，每个小孩的最优混合策略是采取每个策略的可能性是1／3。在这样的博弈中，每个小孩各取三个策略的1／3是纳什均衡。
由此可见：纯策略是参与者一次性选取的，并且坚持他选取的策略；而混合策略是参与者在各种备选策略中采取随机选取的。在博弈中，参与者可以改变他的策略，而使得他的策略选取满足一定的概率。
当博弈是零和博弈与常和博弈时，即一方所得是另外一方的所失时，此时只有混合策略均衡。对于任何一方来说，此时不可能有纯策略的占优策略
永远保持占优均衡
在纳什均衡里，我们要保持占优策略均衡是不容易的，这需要耐心的分析，既关注博弈的另一方，也要关注周围的大环境。如果仅仅是一次简单的对弈，输赢自然无所谓，但有的一次选择则可能关乎你一生的命运，如果此时不保持占优均衡，那么将可能一败涂地，从此后在没机会在人生乃至社会舞台上博弈了，这种选择只许成功，不许失败，就像是一次必须要赢的赌博，因为输了可能要倾家荡产。而赌博的本钱则可能是你生命中的所有家底。
春秋战国时期发生的“田氏代齐”的事件，正是田氏家族孤注一掷变卖老底而换得国君地位的一种赌博性博弈。
齐国原系周室分给功臣姜尚之封邑，姜尚即姜子牙，他是周武王的开国功臣，为周王朝的兴起立下了不朽之功。周武王将它封在营丘（山东临淄北)，国号齐，这里是薄姑之民的故地，也是一股巨大的抗周势力。武王让他在这里镇抚薄姑之民，其封疆东至海滨，西至黄河．
南至穆陵(山东沂水县北)，北至无棣(山东无棣)。它也是周王室控制东夷的重要力量，同时周王还授予他征伐违抗王室的侯伯的权力。
齐国是一个大国，在诸侯中具有举足轻重的力量，至齐桓公姜小白时．“九会诸侯，一匡天下”成为公认的霸主，盛极一时。
春秋末年，霸主局面近于尾声，中国逐渐进入一个新的时期。即七雄竞争的战国时代。本来春秋初年的大小诸侯国有一百数十个，后经不断兼并，小国渐被消灭。战国初期，大小国家只余下二十来个。
其中又以韩、赵、魏、楚、燕、齐、秦最为强大。号称“战国七雄”。燕、楚、秦是春秋旧国，韩、赵、魏则由瓜分晋国而形成，而这时的齐国，姜氏之国亦大权旁落，渐为卿大夫田氏所控。
春秋初年，陈国发生内乱，公子完奔齐，被任命为工正，这是陈(田)氏立足于齐的开始。在相当长的时间内，田氏与公室关系非常密切。后来，由于齐国奴隶和平民反对奴隶主、反对公室的斗争广泛开展，旧制度的崩溃和公室的灭亡已成必然的趋势。田氏适应形势的发展，走向背离公室的道路。代表新兴势力的田氏家族，采用施恩授惠的手段，与“公室”展开争夺民众的斗争。可是，齐国的旧势力并不甘心退出历史舞台，以田氏为首的新兴势力不得不以暴力手段对旧势力展开了猛烈的进攻，于是出现了三次大规模的武装斗争。
在公元前545年，田完四世孙田桓子，联合鲍氏以及大族栾氏、高氏合力在齐灭了当国的庆氏。之后田氏、鲍氏又共灭栾、高二氏。田桓子继而讨好公族与国人，他规定，那些作为贵族的公子、公孙，如果没有固定的“禄”，就要分给他们一些采邑来供养他们的生活；而国人之中如果有贫困、孤寡的，就要给他们粮食，从而取得了公族与国人的支持。
至齐景公时，公室腐败，剥削沉重。田桓子之子田乞，即田僖子，采取了一些争取民心的有效措施。他用大斗借出，小斗回收，于是“齐之民归之如流水”，田氏借此增强了势力。这就是所谓“公弃其民，而归于田氏”。田僖子与齐旧贵族国惠子、高昭子产生了严重的矛盾，国、高二氏当权，田氏在表面上尽职于齐国公族，“伪事高、国者”，暗地里却组织力量，准备推翻国、高二氏。公元前489年，齐景公死，国、高二氏立公子荼为国君。田乞发动政变，赶走国、高二氏，另立公子阳生为国君。田乞自立为相，掌握了齐国的政权。j
同时，田氏还实行了一套“山木如市，不加于山；鱼盐蚌蜃，不加于海”的产销地等价的政策，这是一种薄利多销、赚取财富的手段，结果使“民财为之归”。田氏由此获得雄厚资财，就为他从事“厚施薄敛”提供了保证。果然，田氏“得齐众心”，民众大量逃往田氏门下而重敛于民的“公室”却逐渐被抽空了。
投资是一种带有风险性的行为，换言之，是一种近乎赌博的行为，不同的，就是赌博是风险性高而收益几率不固定的行为，而投资则是有预期、有目的的有一定收益几率的行为。
田乞死后，其子田恒(田常)代立为齐相，是为田成子。田成子继续采用田僖子所制定的政策，用大斗出、小斗进的办法大力争取民众。田氏暗地里实行笼络百姓的办法，取得了极好的效果，当时流传的民谣唱道：“妪乎采芑，归乎田成子。”田氏的这种做法，如果只是赢得民心。但是没有一定的政治和军事实力的话，最终也只能是竹篮打水一场空。所以，这种大斗出、小斗进的补贴平民的办法，是在拼家底，用自己的老本来积攒政治资源，这种做法，是一种带有很大投机性的赌博。
公元前481年，田成子发动武装政变，在民众的支持下，以武力战胜齐简公亲信监止，监止、齐简公出逃，后被杀死。许多强宗贵族也在这次斗争中被铲除，田氏另立齐平公，进一步把持了政权，对残留的旧贵族势力尽行诛戮。以后，又任命田氏兄弟和同族人做都邑大
夫，扩大了自己的封地。田成子又通过“修公行赏”等亲民政策，使国民人心所向，使齐国国君实际上变成了傀儡。公元前391年，国相田和将齐国国君齐康公放逐到海上，只留一城之地作为他的食邑，田和成为了齐国实际上的国君。
公元前386年，周室册封田和为齐侯，正式将他列为诸侯。过了几年齐康公病逝，姜氏在齐国的统治结束，齐国全部为田氏所统治。史称“田氏代齐”，因为仅国君易姓，国名并未改变，故战国时代的齐国往往被称为“田齐”。
田氏与齐国国君的博弈是一场政治和人生的豪赌，这种博弈必须要牢牢把握住优势策略，因为一招错，将会满盘输。
没有纳什均衡的情况
纳什均衡是一种博弈局中人都满意的策略结果，不是任何博弈都会产生纳什均衡的，如果博弈的局中人对于一种策略选择都不满意的话，那博弈的结果就不能称为纳什均衡。
对于什么“不是”纳什均衡，电影《美丽心灵》倒提供了一个绝佳的例子。电影里有一幕是，有四位颇具姿色的女生和一位金发尤 物走进了酒吧。针对这个场景纳什会跟男同学解释说，他们该怎么去追这些女生。
在正常情况下，四位男士会同时对这个金发尤 物展开攻势，但纳什认为，采取这种策略并不聪明，因为假如所有的男士都去追同一个女人，他们就会互相牵制，最终全都失败。当四个男士被金发尤 物拒绝后才去找那些颇具姿色的女生，那么这些女人会因为自己成为别人的第二选择而不高兴，所以她们也会拒绝这些男士。
纳什的策略是，这些男士应该对金发尤 物视而不见，转而去追求那些颇具姿色的女生。因为这样的成功率更高。
实际上，纳什在这部电影里所提出的策略并不是纳什均衡。我们把这个博弈简化为双人博弈。假设酒吧里只有两位男士，邀请到金发尤 物给男士带来的收益是其他女人的两倍。按纳什的策略，两个男士都去追他女人，所得收益为(1，1)。但这一结果意味着金发尤 物没有得到邀约，男士们也没得到首选目标，双方都不满意。
这个邀约博弈可能会有的两个纳什均衡。第一个是，当某位男士率先邀请金发尤 物，其他人则退而求其次。邀请金发尤 物的那个人显然会很满意自己的策略，其他三个人可能也不后悔自己的选择。假如这个结果是纳什均衡，那么这三个男士就会去追求那些颇具姿色的女人，而不会去和第一个人抢夺金发尤 物，因为这种做法比较容易成功。第二个纳什均衡可能是两三个男士去追求那个金发尤 物，其他人则去追求那些颇具姿色的女人。假如这些男士宁可采取追求金发尤 物这种容易失败的做法，也不愿意采取追求其他女孩这种比较容易成功的做法的话，这个结果就会变成纳什均衡。