比赛结束后，发现甲、乙、丙三人谁也没有完全猜对，但他们都猜对了一半。你能根据上面情况排出1～4名的名次吗？
分析与解这类题用列表法进行推理比较简捷。
上表第一行，是假设甲说的“五（1）班第一”是错的，“五（2）班第二”是对的；由此推向乙、丙，因为“五（2）班第二”是对的，则乙说的“六（1）班第二”就是错的，丙说的“五（1）班第二”也是错的，那么乙说的“六（2）班第四”与丙说的“六（2）班第三都是对的，这显然矛盾。因此可以断定，甲说的”五（2）班第二“是错的，而甲说”五（1）班第一“是对的。进而我们用下表可推出正确结论来：
推理过程是：甲说“五（1）班第一”是对的，丙说“五（1）班第二”是错的；那么，丙说“六（2）班第三”是对的。由此又推出，乙说“六（2）班第四”是错的，当然乙说“六（1）班第二”是对的。前三名已有了，第四名只能是五（2）班了。
83.曲线的内接正方形
证明或推翻，在平面中的任意一条简单封闭曲线上，总能找到四个点，它们恰能组成一个正方形。
这样一个看上去如此基本的问题，竟然没有被解决！这个Blog上曾经证明过，任意凸多边形上总存在四个可以构成正方形的点；对证明方法进行改进，可以把结论扩展到凹多边形上。目前，对于充分光滑的曲线，似乎已经有了肯定的结论；但对于任意曲线来说，这仍然是一个悬而未解的问题。平面上的曲线无奇不有，说不准我们真能精心构造出一种不满足要求的怪异曲线。
84.环形跑道难题
有一个环形跑道，总长为1个单位。n个人从跑道上的同一位置出发，沿着跑道顺时针一直跑下去。每个人的速度都是固定的，但不同人的速度不同。证明或推翻，对于每一个人，总会有一个时刻，他与其他所有人的距离都大于1/n。
乍看上去，这个问题无异于其它各种非常巧妙的初等组合数学问题，但不可思议的是，这个问题竟然直到现在仍没解决。目前最好的结果是，当n≤6时，结论是成立的。直觉上，对于更大的n，结论也应该成立，不过尚未有人证明。
85.多面体的展开
证明或推翻，总可以把一个凸多面体沿着棱剪开，展开成一个简单的平面多边形。
这是一个看上去很“自然”的问题，或许大家在玩弄各种纸制包装盒的时候，就已经思考过这个问题了。现在，人们已经找到了不满足条件的凹多面体，也就是说存在凹多面体使得无论怎样展开它都会不可避免地得到与自身重叠的平面多边形。同时，确实也存在一些凸多面体，按照某种方式展开它后，会得到与自身重叠的平面多边形。不过，对于某个凸多面体，任何一种方法都不能把它展开到一个平面上，这听上去似乎不大可能；然而，在数学上这一点却一直没被证明。
86.二十四点牌
很多人会用扑克牌玩二十四点游戏。这是一种两人游戏，从一副扑克牌中拿走两张司令，其余52张牌都只考虑点数，A看成1，J看成11，Q看成12，K看成13.每次每人各出两张牌，共有4张，这样就得到4个数，要用这4个数通过加减乘除运算得出24，看谁的办法想得最快。
在书店里可以买到一种专门用来玩二十四点游戏的纸牌，叫做“数学24戏”，全套牌共有64张，图1和图2画出了其中的两张。
图1图2从图看出，这种二十四点牌，每一张的四个角上各有一个数字。玩的时候，每次只拿出一张牌，要用这张牌四个角上的数字通过加减乘除运算得出24.
例如，在图1中，牌角上的四个数字是6，7，9，6.经过试探，知道从它们可以通过下面的运算得到24：
（7+6-9）6=24；
（6+6）（9-7）=24.
图2牌角上的数字是7，8，2，9.用下面的算式可以从这些数字得到24：
27÷98=24
87.电话号码
外婆家的电话分机号码是四位数，记不清是多少，只记得它没有重复数字，并且能同时被1、2、3、4、5、6、7、8、9整除。这个号码究竟是多少呢？
从条件知道，外婆家的电话分机号码是九个数1、2、3、4、5、6、7、8、9的一个公倍数。
这九个数的最小公倍数是：
8957=2520.
2520是四位数，但是有重复数字（2出现两次），不合条件。
四位数中，还有两个是2520的倍数，它们分别是5040和7560，其中只有7560不含重复数字。因而所求的电话分机号码是7560。
88.诸葛亮秘传手稿
诸葛亮是三国时代刘备的军师，博学多才，神机妙算。古典长篇小说《三国演义》第104回里，讲到诸葛亮在出师与魏兵打仗的过程中，身患重病，手下的大将姜维到行军帐里看望他。诸葛亮对姜维说：
“……吾平生所学，已着书二十四篇，计十万四千一百一十二字，内有八务、七戒、六恐、五惧之法。吾遍观诸将，无人可授，独汝可传我书。切勿轻忽！”
“从这段话里知道，诸葛亮秘传给姜维的手稿有24篇，共104112字。大概估计一下，就可以知道平均每篇四千多字。
现在提一个问题：不做除法，能否知道每篇的平均字数是不是整数？
这就要利用数的整除性判别法了。
由于：
24=38，
3和8互质，只要看总字数104112能否同时被3和8整除。
104112的各位数字的和是：
1+0+4+1+1+2=9，
9能被3整除，所以104112能被3整除。
要看104112能否被8整除，只要看它的末三位112能否被8整除。而：
112÷8=14，
可见112是8的倍数，因而104112也能被8整除。
所以104112能被24整除，即：诸葛亮每篇手稿的平均字数是整数。
实际上，直接做除法，可以算出诸葛亮每篇手稿的平均字数是：
104112÷24=4338。
89.数字赞英雄
下面一副对联，说的是两位人人钦佩个个敬仰的英雄豪杰。用不着说出名和姓，只要一看内容，就知道他们是谁。对联写道：
取二川，排八阵，六出七擒，五丈原前，点四十九盏明灯，一心只为酬三顾。
抱孤子，出重围，匹马单枪，长坂桥边，战数百千员上将，独我犹能保两全。
讲的是谁呢？
知道，上联是诸葛亮，下联是赵云。
为什么？
那还有错吗？上联这“三顾”，是说刘备三顾茅庐，恭恭敬敬请诸葛亮走出家门，帮助他平战乱、打天下。“七擒”，是说诸葛亮为了平定南方，七擒孟获，捉住了放掉，再捉住再放掉，直到对手口服心服，老老实实投降。“排八阵”，是说诸葛亮摆下八阵图，把东吴大将陆逊困在里面出不来。“取二川”，是说诸葛亮辅助刘备取得川东、川西。“六出”，是说诸葛亮不辞劳苦，从四川发兵，六出祁山，多次同魏较量，看谁能统一大好河山。“五丈原前，点四十九盏明灯”，是说诸葛亮积劳成疾，最后一次出兵与魏军作战期间，病得快要不行了，不甘心“壮志未酬身先逝”，只好搞点儿迷信活动，在军队驻地五丈原点了四十九盏明灯，向老天借寿，没有成功。上联里说了这么多事情，每件都能对上号，除去诸葛亮，还能是谁？
那么下联呢？哪里说到赵云啦？
这要抓特征。下联里不是说到长坂桥吗？谁在长坂桥打仗显威风？那是赵云。赵云在曹操大军包围圈里杀来杀去，找到刘备的妻子糜夫人和儿子阿斗，糜夫人把阿斗托付给赵云，然后跳井自杀，阿斗成了孤儿。赵云把阿斗抱护在怀里，单枪匹马，冲出重重包围，杀死曹营许多大将，自己和阿斗却都没有受伤，正像京剧里唱的，“长坂坡，救阿斗，杀得曹兵个个愁。”整个下联就是讲赵云百万军中救阿斗的故事。
这副对联，用字不多，内容却很丰富，非常生动，读起来特别带劲。这是什么原因呢？
是因为作者下了功夫，在对联里嵌进许多数字，讲事情高度浓缩，读起来朗朗上口。
你看，在上联里，数词一、二、三、四、五、六、七、八、九、十全部出动，一个不少。在下联里为了避免重复，变着花样对上同样多的数词，例如孤子、匹马、单枪、独我都暗含数字1；重围中的“重”字是说许多层，数百千中的“数”字就是若干，“许多”和“若干”也是数词，只不过数目不确定，带有模糊色彩。现代人不是也很喜欢用数字吗？“十佳”呀，“百强‘呀，一大套一大套的，说起来顺畅，听起来舒服，记起来容易。现在就连学生复习迎考，也会自己归纳出这里几条、那里几点的，办法管用得很。
说起现在，就让我们按照现在数学里的习惯，改用阿拉伯数字，把上联中的一连串数目按照出场先后顺序，依次写成一行：
2、8、6、7、5、49、1、3
能不能在这些数字之间添加适当的数学符号，组成一道等式呢？
这个嘛，试试看。这样一来，那样一来，这般如此，如此这般，有了：
（286+7-5）÷49+1=3.
感觉怎么样？
太好了，太巧了。故事里面有数学，数学里面有故事，妙哉！
90.唐诗鸡蛋宴
从前，有两位要好朋友，一位是喜欢吟诗的厨师，一位是爱好数学的诗人。
这一天，厨师到诗人家里串门。诗人拿出两个鸡蛋，说，“交给你啦，做一桌菜，看你的杰作！”
厨师答道：“没问题，还要配诗一首！”
诗人拿了两双筷子放在桌上，自己先坐下来。
一会儿，厨师端上来一只小碟子，里面装的是两只煮熟的蛋黄，一面走一面高声朗诵：
两个黄鹏鸣翠柳。
放下这碟“黄鹏”，转身又进厨房拿出一只盘子，里面是用蛋白切成丝，排列得像一行飞鸟。厨师把这盘菜放到诗人面前，用手指指，说：
一行白鹭上青天。
第三次从厨房里端出来的，是一碟凉拌蛋衣。这是把蛋壳和蛋白之间的一层很薄的皮小心揭下来，剪成碎末，雪片似的洒在碟子里，上面又洒了些精盐。这碟小菜配的诗句是：
窗含西岭千秋雪。
最后，厨师又端出一碗汤，汤面上浮着些蛋壳做的小船。伴随着蛋壳船在汤面上的晃动，厨师吟道：
门泊东吴万里船。
就这样，一桌三菜一汤的鸡蛋宴，正好配了一首家喻户晓的唐诗，这是唐代大诗人杜甫住在成都草堂时着的《绝句》。
厨师显过了本领，诗人的兴致上来了。
诗人说：这首诗为什么特别优美动人？不但因为它情景交融，而且因为诗中有数学帮忙，把景物数量化，显得更投入，更动情。你看，“两个黄鹏”，这里有数字2；“一行白鹭”，这里有数字1；“西岭千秋雪”用到了数1000；“东吴万里船”运用了数10000.每一句都离不开数。
诗人又说，先别忙动筷子，请你做一道数学小问题。用刚才杜甫诗句里的四个数2、1、1000和10000，再连同我们这桌菜的原料，两个鸡蛋，算是两个0，添加适当的数学符号，组成一个等式。怎么样？
厨师把几样菜看了又看，说：这可能吗？你写写看！
诗人立刻写出一道算式：
101000＋20=10000.
厨师拿起筷子，说，我也有了：
（20-10）1000=10000.
这就是关于唐诗、鸡蛋宴外加数字游戏的故事。
蝴蝶效应
气象学家Lorenz提出一篇论文，名叫「一只蝴蝶拍一下翅膀会不会在Taxas州引起龙卷风？」论述某系统如果初期条件差一点点，结果会很不稳定，他把这种现象戏称做「蝴蝶效应」。就像我们投掷骰子两次，无论我们如何刻意去投掷，两次的物理现象和投出的点数也不一定是相同的。Lorenz为何要写这篇论文呢？
这故事发生在1961年的某个冬天，他如往常一般在办公室操作气象电脑。平时，他只需要将温度、湿度、压力等气象数据输入，电脑就会依据三个内建的微分方程式，计算出下一刻可能的气象数据，因此模拟出气象变化图。
这一天，Lorenz想更进一步了解某段纪录的后续变化，他把某时刻的气象数据重新输入电脑，让电脑计算出更多的后续结果。当时，电脑处理数据资料的数度不快，在结果出来之前，足够他喝杯咖啡并和友人闲聊一阵。在一小时后，结果出来了，不过令他目瞪口呆。结果和原资讯两相比较，初期数据还差不多，越到后期，数据差异就越大了，就像是不同的两笔资讯。而问题并不出在电脑，问题是他输入的数据差了0.000127，而这些微的差异却造成天壤之别。所以长期的准确预测天气是不可能的。