了解欧氏几何体系
在初中数学课上，我们学习了几何这门课程，了解了很多有关图形方面的知识和结论，“全等”“相似”“三角形内角和”“勾股定理”等等都是我们所熟悉的。另外，我们还接触到了“公理”“定理”“推论”等一系列术语，同时我们也学会了证明——由已知结论经逻辑推理得到新的结论，尽管这对于我们来说有时有些困难。然而，除了这些，你了解我们的教科书上的几何内容的背景吗？你知道欧几里得吗？你听说过《几何原本》吗？对于这些问题的回答将帮助于你了解整个初等几何体系——欧氏几何。
欧几里得及其《几何原本》
欧几里得是古希腊的数学家，生于雅典。当时，由于实际的需要，人们已经积累了大量丰富的几何知识，例如，一些平面图形和立体图形的面积和体积计算方法，物体高度的测量，对于π的近似值的计算等等。另一方面，古希腊是逻辑学的发祥地，随着逻辑学的不断发展，也使人们逐渐重视用逻辑的方法重新整理大量零散的几何知识，使它们成为一个逻辑的体系。许多数学家参加了这种工作，欧几里得是其中最突出的代表。
欧几里得
他选择了一些命题作为公理（或称公设），这些命题都是无需证明的。因为我们知道，在证明一个命题之前，总要用到排在它前面的已知其正确性的命题，而所用到的命题又需要另外一些命题做保证，这样，总会有一些命题是不能证明的，即“原始命题”，也就是前面所说的公理。因此，公理就像一个水系中的源头一样，任何一个支流或者支流的支流，逆着水流的方向，都可以找到它们的源头。
同样，欧几里得还给出一系列的定义，这些定义原则上是用已有的概念去定义新的概念，与前面的道理一样，应有一些概念是无法定义的，即“原始概念”，但在欧几里得的体系中没有明确提出。
这样，整个欧几里得几何体系就由这样两大部分组成：由“原始命题”（即公理）推出一系列定理；由“原始概念”（没有明确提出）定义一系列新概念。《几何原本》正是呈现这一几何体系的一部鸿篇巨著。它汇集了大量前人积累的几何知识，采用了前所未有的独特编写方式，在公理、定义的基础上，由简到繁地证明一系列定理。欧几里得的这一几何体系称为欧几里得几何学，或称欧氏几何。欧几里得建立其几何体系的方法称为公理化方法。
翻开你的《几何》教科书，看看它是否也是从公理出发，推出一系列定理及推论，同时，也用到了一系列的定义，它的结构与《几何原本》竟如此相似。
事实上，自从《几何原本》问世以后，公理化方法对数学及其他学科产生了深远影响，而且，由于它将几何知识整理成系统的逻辑体系，成为后人学习几何知识的很好的教材。它的手抄本流传了1800多年，到1482年印刷发行以来，世界上各种主要文字几乎都有译本，印行的版次超过1000次。现行的世界各国的中学几何课本基本上是《几何原本》缩减改编而成的，因此，我们的教科书与《几何原本》的相似就不难理解了。
《几何原本》是完美无缺的吗
在欧几里得的《几何原本》中共有10条公理，并将其中的5条称为公设，其中公理是适用于包括数学在内的一切学科，另5条公设只适用于几何，具体内容如下：
公设：
（1）从任一点到任一别的点必定可以引直线；
（2）每条直线都可以无限延长；
（3）以任意点做中心可以以任意线段为半径作一圆；
（4）所有直角都相等；
（5）一条直线与另外两条直线相交，若同侧两内角和小于两直角，则两条直线无限延长后必须相交于该侧的一点。
公理：
（1）等于同量的量相等；
（2）等量加等量，总量相等；
（3）等量减等量，余量相等；
（4）能重合的量相等；
（5）全体大于部分。
《几何原本》问世后，一方面如前所述，它的影响巨大；但另一方面，作为公理化体系，它还不十分完善，如“原始概念”没有明确提出，造成有些概念的定义不清或只能借助直观图形。此外，公理的数量不够，有些定理的得到需借助直观感觉，或默认其成立，缺乏逻辑依据。例如：
（1）以已知线段为边长作等边三角形。
用圆规直尺做这个图形是我们在几何课本上都学过的，过程并不难，设已知线段为AB，当分别以A、B为圆心以AB长为半径画弧时，我们会想当然认为它们的交点是存在的，但实际上没有哪一条公理保证此种情况下两弧一定相交（如图所示，可能出现其中一条弧上的点不连续，而有“空隙”），这样图4-1这个等边三角形的第三个顶点C的存在性就只能是借助直观，而缺少理论依据了。
（2）在证明命题“每个三角形大边对大角”时，先在大边AB上取AD等于小边AC（如图4-2），再由∠ACB>；∠ACD，而∠ACD=∠ADC，且∠ADC>；∠ABC从而得到结论。在上面的过程中，∠ACB>；∠ACD实际上是认为CD是在CA和CB之间，这是凭直观得来的，缺乏公理的保证。
类似上面的例子，在《几何原本》中能举出很多，原因就是缺少必要的公理，像第一个例子中的问题就应由保证直线和圆、圆和圆相交的连续公理来解决，而第二个例子中的问题应由确定射线和直线上的点的顺序关系的顺序公理来解决。
许多数学家为补充完善《几何原本》的公理系统做了大量的工作，值得提到的有：古代希腊伟大的数学家、机械学家和物理学家阿基米德（公元前287—前212年）提出的阿基米德公理：“小的线段a总可以增大这样多的整数倍，使它超过大的线段b”，即存在n，使na>；b。德国数学家康托（1845—1918年）和戴德金（1831—1916年）拟成了（关于直线的）连续公理。德国数学家巴士（1843—1930年）拟成了顺序公理。
德国数学家希尔伯特（1862—1943年）创造性地总结了这些数学家们的工作，于1899年出版了他的精典作品《几何基础》。
在希尔伯特的《几何基础》中，作为公理化体系的原始概念有8个：“点”、“直线”、“平面”作为基本对象，“点属于直线”、“点属于平面”、“一点在另两点之间”、“线段合同”、“角合同”作为基本关系。公理共有20条，分成5组“结合公理（8条）、顺序公理（4条）、合同公理（5条）、连续公理（2条）、平行公理（1条）。由这些原始概念和20条公理可以完全利用逻辑的方法而不需借助任何直观地将全部欧氏几何的结论推出，因此《几何基础》一书具有划时代的意义，不仅为完善欧氏几何体系工作划上了圆满的句号，同时也使公理化方法进入新时代。
“与众不同”的公设
现在再让我们回过头来看一看欧几里得《几何原本》中的几条公设。其中第五条公设有与众不同之处，与前4条公设相比，它不仅叙述上所用的文字多，并且涉及到“同侧”、“内角和”、“直角”、“无限延长”等名词，显得有些复杂，且难于理解。另外，作为公理，在推导其他定理时，也迟迟没有用上它，尽管没有人怀疑它的正确性，但是很多数学家都认为它不一定作为公理（公设）出现，而可以利用其他公理或定理推证出来。
为此，在欧几里得以后的2000年间，曾有众多的数学家为之努力，试图从其余几条公设和公理出发证明第五公设，有的数学家甚至用了毕生的精力，但没有人获得成功。历史上，确有不少数学家宣称自己证明了第五公设，但仔细检查他们的证明过程，却发现在他们的证明中总是不自觉地用到了第五公设的等价命题，这实际上就犯了“逻辑循环”的错误。18世纪末期，德国一位数学家曾对30个第五公设的证明进行分析，在每个证明中都找到了类似的错误。可以看出，数学家们在进行数学研究过程中所走的曲折道路。那么，关于第五公设的证明到底如何呢？
证明第五公设的产物——非欧几何
第五公设的证明虽然屡遭失败，但数学家们却没有在挫折面前停步。伏·鲍耶（1775—1856年）与约翰·鲍耶（1802—1860年）是父子俩，父亲就是倾其终生从事第五公设证明的数学家之一，当他得知儿子约翰·鲍耶正在进行有关第五公设的证明时，他写信给自己的儿子，劝他不要再做这无谓的努力，他说：“……我经过了这个夜的无希望的黑暗，并且我在这里面埋没了人生的一切亮光、一切快乐……希望你放弃这个问题，对它的害怕应当更多于感情上的迷恋……”，父亲失败的苦恼和失望并没有影响儿子，他坚持自己的工作，从而开创了新的数学领域，与罗巴切夫斯基（1793—1856年）和高斯（1777—1855年）等人一起成为非欧几何创始人之一。
“曲径通幽”花木深
鲍耶、罗巴切夫基和高斯是怎样走了一条与他人不同的路，而发现非欧几何的呢？
我们将第五公设以外的公理和公设，以及在此基础上得到结论等放在一起，看成是一个系统，用∑表示，用表示第五公设，则要证明第五公设的工作就是由推出，即∑→。既然由∑直接去推导遇到困难，那么鲍耶等人就采取了下面的策略，用第五公设的否命题代替，与之结合为一个系统∑+，如果第五公设可以证明，即∑→，那么∑→应该是存在矛盾的一个系统。
三位数学家正是在这种思想指导下，在∑+这个系统中进行推导，推出了一个又一个定理，但却始终没有推出矛盾来，他们越来越感到，在这个系统中不会有矛盾，反而这个系统代表着另外一种与欧氏几何不同的新的几何。
人们对这些新的结论的接受并不是那么容易的，因为第五公设的否命题就十分令人费解。第五公设实际上描述的是两条直线平行的状态，通过研究人们发现它与这样的平行公理是等价的：过已知直线外一点，至多可以做一条直线与已知直线不相交。它的否定命题是：过已知直线外一点，至少有两条直线与已知直线不相交。这与我们的直观和常识是极不相符的，第五公设的否命题与∑一起同样得到了一个个令人难于接受的命题。