数学符号是一种科学语言
数学符号对于数学发展所起到的作用犹如语言对于人类思想发展起到的作用一样重要。现在全世界不同民族的人所使用的都是同一种数学符号体系。这为人们交流数学带来了很大的方便。数学符号成为国际间的一种科学语言。数学符号的发明，也是人类用符号体系去表达复杂的思维从而促进思维发展的一个典型例子。
15—16世纪，数学有了很大的发展：数学概念不断增多，数学关系日益复杂化。例如人们对数的认识扩张到对数、指数和复数。方程的概念和解法也进一步向前发展。此时，以往的语言已经无法精确地表述出数学概念和数学关系，必须建立精确的科学语言，否则将影响数学的进一步发展。数学的发展激发了数学家创建数学符号。在16—17世纪间，产生了系统的数学符号，数学家韦达、莱布尼兹等人在创建数学符号方面作了大量基础性的工作。17世纪，数学已基本上符号化了，这是数学发展史上的一次飞跃。从此，数学概念和数学关系就表现出十分精确的性质，便于逻辑处理和计算，在符号化的基础上，数学迎来了近代的大发展。
发明数学符号的艰难历程
数学符号是更深一层的语言，是人们为了表达复杂的量及其关系的一种手段。不同民族的语言的发明和完善经历了几千年的过程。同样地，数学符号的发明里程上也凝聚着不同时期的许多代数学家的心血。在数学发展史上，数学史家塞尔曼（1811—1881年）在其1842年所著的《希腊代数学》中将数学的发展根据符号的使用情况，分为3个阶段：
（1）文词代数，完全用文字来叙述，而不用符号；
（2）简字代数；
（3）符号代数，除了个别地方，一切全用符号表示。
符号的使用在数学史是一件大事。一套优良的符号，决不只是起到加快速度、节省时间的作用，它能够准确、深刻地表达某种概念、方法和逻辑关系。一个较复杂的公式，如果不用符号而用日常用语来叙述，往往十分冗长而含糊不清。可以想象一下，如果没有符号，现代数学将寸步难行的。即使是加快速度，符号的作用也是不容低估的，因为量变可以引起质变。
在历史上，符号的演变和统一是非常缓慢的，许多代数的思想和方法在符号使用之前早已形成。只有当有了符号以后才可以将它们系统地和准确地表达出来。
我们这里所说的数学符号是指现今国际通用的数学符号，这一套符号的发展经历了几个阶段：
（1）丢番图开始使用数学符号
符号的发明在数学史上是一次飞跃，也是代数的特征之一。丢番图创设了一些符号，多半采自相应文字的字头，而问题的叙述主要仍然是用文字，和现代的符号代数相去甚远，是较原始的简字代数。
丢番图是公元250年前后生活于亚历山大的数学家。关于丢番图，有一个著名的记载。在公元500年前后的一份古希腊遗物《希腊诗文选》中，收录了丢番图奇特的墓志铭：
坟中安葬着丢番图，
多么令人惊讶，
它忠实地记录了所经历的道路。
上帝所给予的童年占六分之一，
又过十二分之一，两颊长胡，
再过七分之一，点燃起结婚的蜡烛。
五年之后天赐贵子，可怜迟到的宁馨儿，
享年仅及其父之半，便进入冰冷的墓。
悲伤只有用数论的研究去弥补，
又过四年，他也走完人生的旅途。
这相当于方程见梁宗巨：《丢番图》——吴文俊主编《世界著名数学家传记》（上），176页。
16x+112x+17x+5+12x+4=x，x=84。由此可知他享年84岁。
丢番图的著名著作《算术》，大部分都保存下来了，从这本著作中我们可以看到丢番图对发明数学符号做出的贡献。
丢番图用M0表示数的单位，而未知数定义为“为确定单位的数量”，用特殊的符号表示。为了看懂丢番图著作中的符号，我们在这里还要介绍一下希腊记数法。希腊记数法是用字母表示数：
α，β，γ，δ，…分别表示1，2，3，4，…；
ι，λ，λ，μ，…分别表示10，20，30，40，…；
ρ，σ，τ，υ，…分别表示：100，200，300，400…等等，24个希腊字母都用到了，还用到了另外的3个符号。
丢番图所处理的问题大部分是多元的，但他只设一个未知数的符号，相当于现在的x。有专门的名称和符号表示相对于现代数学符号中的x2，x3，x4，x5，x6：
现代符号名称丢番图的符号同⑤
x2δυ′ναμιδ（平方）△r
x3κυ′βοδ（立方）Kr
x4δυναμοδ′υναμιδ（平方的平方）△r△
x5δυναμο′κυβοδ（平方的立方）△Kr
x6κυβο′κυβοδ（立方的立方）KrK
符号是名称的缩写，注意△、Y、K，是字母δ、υ、κ的大写。这些乘幂的倒数也有专名和符号，6次以上的幂不再创设符号，未知数的系数紧接着写在未知数后面，没有加号、乘号和除号。下面我们在这里举出一些例子，将丢番图的著作中的一些数学表达式对照着用现代数学符号表示出来：
现代数学符号丢番图的数学表达式同⑤
x3+13x+5xKγ△γιγδ∈
x3+13x2+5x+2Kγ△γιγδ∈
x3-5x2+8x-1Kγ△γ∈
注意：
①字母上加的短横表示数字；
②若有常数项，还要加上单位的符号；
③是减法的符号，书写时所有的负项都放在减号的后面；
④分式也有特别的写法，先写分子，再写′ευμoρι′ω或μορι′ου（原意是“属于部分”），接着写分母；
⑤ι″σ（是相等的缩写）表示等号。
丢番图创用的符号是一大进步，但是不足之处是只用符号表示一个未知数，遇到多个未知数时，用简单累加的方法，使得计算过程越来越复杂。
（2）韦达使代数成为研究一般类型的形式和方程的学问。
在16世纪以前，在发明现今的数学符号体系的道路上自觉运用一套符号体系以便代数的思路和书写更加紧凑、更加有效的只有丢番图。丢番图所使用的记号的所有其他变动基本上是标准文字的缩写，而且比较随便。在文艺复兴时代，代数的普遍书写方式仍然是文字式的，但是已经使用了一些特殊的数学术语、缩写词还有少量的数学符号。
16世纪时，科学的迅速发展对数学家提出了引进符号的要求。不过改进是渐渐进行的，而且许多改进是偶然做出的。在引进或发明数学符号时，数学家自己也没有想到，符号体系能对数学起多大作用。甚至在引进符号体系方面迈出了决定性的前进步伐以后，数学家也并没有立即采纳。
从15世纪起，就引进了一些特殊符号，例如÷、-、×、=等。但是，代数性质上最重要的变革是由韦达（1540—1603年）在符号体系方面引入的。韦达是法国16世纪最有影响的数学家之一。他在大学是学习法律的，1560年获得法学学士学位。他曾潜心研究数学，并一直将这一研究作为业余爱好。与这一时期的其他著名数学家一样，韦达阅读了古希腊数学家的著作，继承和发扬了古典数学的一些内容。特别是丢番图的《算术》对韦达产生了重要影响，而且韦达不满足于丢番图对每一个问题都用特殊解法的思想，试图创设一般的符号代数。显然，韦达从丢番图那里，获得了书用字母的想法。韦达是有意识地、系统地使用字母的第一个人。他不仅用字母表示未知量和未知量的乘幂，而且用来表示一般的系数。用辅音字母表示已知量，如B、C、D等，用元音字母A（后来用过N）等表示未知量。韦达引入符号的意义并不仅仅是他简化了数学的陈述方式，将复杂的问题用简单明了的符号表示出来，更重要的是韦达将代数研究的方法和对象一般化了。符号所代表的是具有更广泛意义的对象，而不仅仅是数。他把他的符号性代数称作“类的运算”，以区别于用来确定数的数目的“数的运算”。他在研究一般的二次方程ax2+bx+c=0（用我们今天的记法）时，所处理的是整个一类的表达式。他提出了“类的运算”与“数的运算”之间的区别时，就规定了算术和代数之间的分界。他说代数，即所谓“类的运算”是实行于事物的类或形式的运算方式。这样，代数就一下子成为研究一般类型的形式和方程的学问。因为对一般情形的意见包括了无穷多的特殊情形。
代数关系式早在古希腊时期就已经用几何形式建立起来了。因此，我们如果说几何图形是最早的、最原始的数学符号并不过分。经历了1000多年之后，到了韦达时代，数学家们已经不满足于依赖几何图形去建立这种关系，况且，丢番图已经开创了先河。因此，希望能有一种完全脱离几何的纯代数的要求就成为必然，但是光用文字表达这种代数是很困难的。在这种情况下，隐藏在几何形式下的代数的思想浮出水面，找到了脱离几何的方式—数学符号。韦达的贡献不仅仅是引进了符号，更重要的是在思想上和形式上为代数学的革命打下了一个很好的基础。
（3）莱布尼兹认为好的符号有可能大大节省思维劳动。
韦达关于符号的思想受到数学界后来的赞赏，被后来的数学家进一步改造之后更加灵活。莱布尼兹在这项改造活动中起到了重要的作用。莱布尼兹对各种符号（或记号）进行了长期研究，试用过一些符号，征求过同时代人的意见，然后选用他认为最好的符号。实际上，在莱布尼兹之前，笛卡儿也对韦达的符号进行了进一步的改进。他用字母表中前面的字母表示已知量（如a、b、c等），用字母表中最后的一些字母表示未知量（如x、y、z等），成为现今的习惯用法。
莱布尼兹不仅与牛顿一起分享了发明微积分的荣誉，而且他还发明了一套至今仍然使用的微积分符号体系。他比别人更早更明确地认识到符号能大大节省思维劳动，运用符号的技巧是数学成功的关键之一。他自觉地和格外慎重地引入每一个数学符号。常常对各种数学符号进行长期的比较研究，然后再选择他认为最好的、富有启发性的符号。他创设的符号主要有：孙小礼，张祖贵：《莱布尼兹》。吴文俊主编，世界著名数家传记（上），科学出版社，1995，589页。
x的微分“dx”；积分“∫”；
二阶微分“ddu”；三阶微分“dddy”；
m阶微分“dmy”；除号“ab”；
比号“a：b”；相似符号“∽”；
全等符号“≌”；并“∪”与交“∩”；
概念加号“”；连分数表示法。
还有对数符号、函数符号、行列式符号等。
后人在对牛顿和莱布尼兹作比较时说，莱布尼兹是富于想象和大胆的，力图运用符号建立一般法则，善于把具体结果加以推广和普遍化。
中国传统数学中的数学符号体系
数学对于现代人来说，是一门统一的学科，但在古代却不是这样。在我国，数学是古代最为发达的学科之一，古代中国数学有其自身的历史渊源和独特的发展道路。它持续不断，长期发展，成就辉煌，呈现出鲜明异常的“东方数学”的色彩，对于世界数学发展的历史进程有着深远的影响。中国传统数学，一般是指在与西方数学合流之前在我国自行产生、独立发展起来的数学方法和理论。它渊源流长，自周代“算术”成为独立学科到19世纪初汇于世界数学潮流，它经历了大约两三千年的漫长历程。
中国传统数学中所使用的是算筹记数制，其中的10个符号（0的使用要比其他符号晚）是我国传统数学中最早的和最基本的数学符号。而数之间的加减乘除开方运算是依赖于算筹计算，即以算筹为工具来列式和进行各种演算。算筹是中国古代特有的一种计数、计算工具，又称筹、策、筹策等。有时也称为算子，是一种棒状的计算工具。一般就是一批竹制或木制的相同的小棒，也有用金属、玉、骨等质料制成，不用时放在特制的算袋或算子筒里。使用时在特制的算板、毡或直接在桌上摆布，已出土的汉代算筹一般都是直径为0．23厘米、长约13厘米的圆柱形竹棒。因此，至今为止，在我国不但出土了实际算筹，在一些古书中对算筹也有记载。
用筹算十进制的10个符号和一些数学术语以及列式步算、借助算筹这种特殊的计算工具，中国传统数学中也形成了自己独特的符号体系。现在我们国家所使用的数学符号体系是沿袭了西方的符号体系，最基本的特点是用字母表示数学量和数学运算。这并不奇怪，我们中国人自古以来使用的文字体系的基本单位是方块字，因此，形成了在计算的过程中用汉字和数的位置等手段去表述数学的方法。所以，我们说在中国古代也有自己特殊的数学符号体系。下面我们举几个简单的例子来说明这一点。此处所选的例子都取自古算书。
例1．数的写法。
（1）自然数
1955119680写成
（13世纪时）。
（2）负数：以不同颜色或不同形状的算筹区别正数与负数，如正数用红色，负数用黑色的筹。
（3）分数：用算筹表示分数时不标示分数线。按古算竖行从右至左布列的习惯，一般是分母在右，分子在左。但也有相反的情形或分母在下、分子在上的情形。例如吴文俊主编。中国数学史大系（第一卷）。北京师范大学出版社，1998，377页。
例2．数的运算。
要计算47-35，首先要布算。上置35，下置47同⑨，379页。
乘法，除法和开方运算比加减运算要复杂，其基本特点也是利用位置布算，有上、中、下、实、法、退、进、超等位置或术语。
例3．方程
一元方程：-5x2+228x=2592写成杜石然，孔国平主编。世界数学史。吉林教育出版社，1996，240页。
以上是简单举例，展现中国传统数学中如何将数、运算和方程表述出来。这一套符号体系依赖位置和布算，也有许多缺点。而且，对于此问题的研究有待于进一步深入。中国传统数学以奇特的魅力屹立于世界数学之林，14世纪时，达到了它的最高峰。此后的几百年间，由于种种原因，中国传统数学停滞不前，数学研究每况愈下。与此同时，欧洲经过文艺复兴时期，正处于资本主义初期的科学文化上长升阶段。从韦达的符号代数、费尔玛的数论、笛卡儿的解析几何，直至牛顿和莱布尼兹发明微积分，出现了数学发展的高峰时期。相比之下，到了明末清初，中国数学已和世界先进水平有了相当大的距离。
明末清初，一批西方的传教士来到中国，他们为华夏大地带来了欧洲的数学。
数学符号体系在中国的传播与使用
西方数学传入中国这一现象在我国叫西学输入。在数学方面，这一工作是从翻译欧几里得的《几何原本》开始的。
大约公元前300年前后，欧几里得活跃于古希腊文化中心亚历山大。他以所著的《几何原本》闻名于世。他的名字在20世纪以前一直是几何学的同义词，而他的生平现在知道的却很少。
《几何原本》（以下简称《原本》）是一部划时代的著作。其伟大的历史意义在于它是用公理化的方法建立起演绎体系的最早典范。《原本》之前的数学知识是零散的、片段的。在《原本》中，借助于逻辑方法，把这些组织起来，整理在一个严密的系统之中。因此，《原本》对于整个数学的发展产生了深远的影响。在20世纪以前，《原本》的印刷本用各种文字出了1000版以上。从来没有一部科学著作像《原本》那样长期成为人们传诵的读物，它流传之广，影响之大，仅次于基督教的《圣经》。