天气预报
天气预报在今天对于我们每一个人都成为一个既重要又自然的事。但是天气预报成为一门精确的科学却是在计算机成为可能后才实现的。事实上，早在18、19世纪，流体力学、气象学的知识在理论上已经相当完备，预测天气的微分方程组在那时就已经几乎完全建立了。例如，数值天气预报是一种用方程式（数值模式）分析地球上大气移动的方法。它把某一时刻的气温、湿度、气压、风速、风向等数据（初始值）代入方程式，就可以得出3分钟后的变化数字。按此方法反复计算，就可以推知一天、两天后的气象数据。由此可见，进行天气预报的微分方程组中涉及的参数多，测得的各种数据十分复杂，因此利用手算或简单的计算器械，预测24小时内天气的运算量往往需要几天甚至几十天才能完成，等到方程求解出来了，预报早就没有意义了。而电子计算机的出现，则使得这一过程在几分钟之内就可以完成，天气预报才真正有了实际的意义。
人造卫星
人造卫星与天体力学中的n体问题有关，是n体问题中n为3时的一个特例。那么什么是n体问题呢？它源于牛顿的“原理”：一个由任意多个质点组成的质点系，任二质点按牛顿定律相互吸引，再设任何两个粒子都不会发生碰撞，试将每一粒子的坐标表为一变量的级数，这个变量是时间的某一已知函数，对该变量的一切值，该级数一致收敛。这是一个常微分方程组的初值问题，即在给定的初值qi（0），qi（0），i=1，2，…，n（对互不相同的i与j有qi（0）≠qj（0））下，求下述二阶方程组的解：
miq=Σnj≠imimj（qi-qj）|qiqj|3，i=1，…，n。
m1，m2，…，mn为n个质点的质量，qi，qj，…，qn为描述质点位置的三维矢量，它们都是时间t的函数。qk，q¨n，是一阶和二阶导数的牛顿表示法。n=2时，这个问题已由贝努利在1710年完成解决。如太阳、地球的运动问题，获得了精确的解析解。于是，人们开始研究n体问题，当然主要是三体问题。科学家发现，研究n体问题其原理都是一样的，即只用到简单的牛顿万有引力定律和第二运动定律，就可列出3n个二阶微分方程。但是不同的是，n体问题，甚是较简单的三体问题，不能用解析方式求出其解。寻找三体问题的近似解在18、19世纪曾取得了一些进展，但那时解决这个问题并不具有太大的现实意义，因而科学家在对求其近似解过程中的巨大的、超越常规的工作量似乎不大关注。
但是20世纪以后，航天科学的发展使得这个问题变得异乎寻常的重要。原来，人造地球卫星、宇宙飞船轨道的选取与求解三体问题的原理是一样的，因为这是由地球，月亮和人造地球卫星（或宇宙飞船）构成的三体问题。正是由于计算机的出现，运用了电子计算机，进行快速、准确的数值近似计算，才使得前苏联、美国相继在20世纪50年代末成功地对人造卫星所涉及的三体问题进行了计算（当然还有科学和技术的进步），终于发射了人造地球卫星。
用电子计算机证明数学定理
计算机对于数学研究的帮助中最明显的是与算盘一样简单。这也是人们最初发明计算机的动因。高速计算机可以出色地完成大量的重复运算，这使得原先那些由于太复杂而难以处理的问题现在都可以由计算机直接给出其数值答案。计算机的这一用途帮助所有的应用数学取得了引人注目的成就。现在，人们认为一个应用数学的问题得到了满意的解答，是指你能找到一种算法，输入计算机后将给出你所要求的所有数值解。
然而并不是所有的数学与数有关，而且与其他自然科学的情形一样，数学中的发现也要经几个阶段才能实现，而形式证明只是其中的最后一步。那么计算机除了能够快速运算之外，还能够进行逻辑判断吗？回答是肯定的。电子计算机逻辑判断这一特征的最引人注目的是在解决“四色问题”中所起的作用。
“四色问题”的起因
四色问题的第一次书面记录出现在1852年10月23日伦敦大学数学教授德·摩根给数学家哈密尔顿的信中。在信中，德·摩根讲述了他的学生弗雷德里克格里斯给他提出的一个问题：“一位学生今天让我说明一个事实的道理，我不知道它是否可以作为一个事实。他说任意划分一个图形并对其每个部分染色，使得任何具有公共边线的部分具有不同的颜色，而且只能用4种颜色，不能再多。下面就是需要用4种颜色染色的情况。
没有必要提出使用五种或更多颜色的要求。此刻就我所看，如果4个基本部分中的每一个都和其他部分有一段公共边界，则其中3个包围了第四个使任何第5个部分不能与它相邻。若这是对的，4种颜色就可以对任何地图着色使得除了点之外，相同颜色不相遇。
现在看来，画出两两具有公共边界ABC的3个部分，除了包围其中的一个这种方式以外，不可能使得第四个成分跟这3个部分中的每一个都有公共边界。但这是有技巧的工作，我不能确定它的难度。你以为如何？如果这个问题成立，它能引起人们的关注吗？我的学生说从英国地图的染色中可猜测到这一点，我越想越觉得它似乎是显然的。……”
这一问题可以用简单的语言说清楚：每幅地图可以用而且只用4种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色。
这个看上去非常简单的问题德·莫根和哈密尔顿都没有能够证明。
利用计算机证明“四色问题”
自从四色问题提出100多年来，许多数学家都想证明它，但后来发现他们的证明有漏洞或者完全错了。越来越多的数学家对此绞尽脑汁但都没有彻底解决。于是“四色问题”成为数学史上的一个著名猜想。
1976年，美国伊利诺斯大学的哈肯和阿佩尔郑重宣布，他们证明了著名的四色问题。他们使用的工具就是计算机。通过设计的十分巧妙的程序，用计算机进行复杂的证明，他们在伊利诺斯大学的ZBM360机对所设计的1000多种情况花费了1200多小时机器时间，证明了四色定理。
这个证明本身没有多大的创新，但在它之前人们只知道电子计算机能够计算，至于证明定理则整个的理论还十分幼稚。然而这次却对四色问题这种超级难题进行了证明，进一步说明电子计算机越来越深入地介入数学本身的各个领域。
尽管四色问题用计算机所给出的证明仍然面临着挑战，持怀疑或保留态度的人也大有人在，但计算机用于纯粹数学领域是一股还会增大的潮流。
计算机与人类面临的危机
计算机产生半个多世纪以来带给人类的变革是十分显著的，以致于人类选择了“计算机革命”这样的词语来形容它。在人类历史上，在18、19世纪时发生了工业革命，那时机器逐步代替了人的体力劳动，是体力劳动的机械化。而这次是人的智力劳动的机械化。因此计算机革命带给人类的影响将会十分广泛和深远。而现在这一影响才刚刚开始，我们就已经在人类活动的几乎所有方面看到了计算机：大到航天技术，小到家用电器。但是没有一项科学的进步是无弊端的天赐良物，计算机科学也不例外。因此，让我们用冷静的头脑去分析一下人类面临着什么样的危机吧！只有及时地认识到了这一点，才能预先作好准备，这样就有希望阻止最坏情况的发生。
智力危机
我们现在把电子计算机叫作电脑，就是因为人的一些智力活动可以在计算机上实现，虽然它一开始只是一个不用头脑的、计算的机器。
谈到智力危机，首先要解释一下，什么是危机。一般来讲，危机是一种激化的、非解决不可的矛盾。这里要谈的智力危机主要是从数学这方面谈。因为数学活动是人类智力活动的一个重要方面。因此，我们要谈的就是计算机对人类智能的挑战：数学将继续作为人类智力活动的最高形式之一而存在，还是会被计算机所替代？最优秀的学生还会继续从事数学研究吗？我们又以什么为标准来评价数学呢？
这个问题是著名数学家阿蒂亚（1929—）提出的。阿蒂亚的论述主要是围绕四色定理的证明开始的。既然用计算机能证明四色定理，那么纯粹的数学活动也能在计算机上开展了。但是数学家对证明本身进行了考察，它的证明要靠计算机对数百种情况进行检验，这种工作如果离开计算机靠人工进行是很繁琐的。一方面，这是项很大的成果，一个19世纪遗留下来的问题已经解决了。另一方面，数学家们也很失望，因为从证明中看不出任何新的创造。
“这就是今后的方向吗？将会有越来越多的问题要靠这种蛮力去解决吗？如果我们的前景确是如此，我们应不应该关心以此为代表的人类智力活动的衰败呢？”阿蒂亚。数学与计算机革命。数学译林，1991，1期，65页。
数学家实际上给我们提出了一个尖锐的问题：人类智力活动的本质和目的是什么？如何评价人类的智力活动。就像当初人类已经学会了计算，但为了更快更准确又发明了计算机，这就是一种进步，一种思维的进步。是好的智力活动。因此，虽然四色问题已得证，但是随着数学的进一步发展，也许人们还会去寻求一种更简洁、更好的证明。
阿蒂亚接着又提出了一种假设：给数学家一台具有无限能力的机器来协助他计算，你就会逐步扼杀他内在的驱动力。我们至少能证明（虽然有些勉强），如果在15世纪就使用了计算机，那么今天的数学就会可怜地瘦成皮包骨！当年工业革命将人的手工劳动机械化了，但是200多年后的今天，即使是最简单的外科手术也不敢让机器代替完成。
经济危机
计算机带给人类的智力危机是无形和微妙的，同时由于计算机对于整个社会而言有极其重要的经济价值，因而巨大的财政压力将迫使数学家去关注和研究那些与计算有关的新方向，而这种压力的积极一面是会刺激和产生数学的一些新分支。但是一些经典的数学传统则由于经济危机而面临着真正的考验。
是不是那些经典的数学传统就没有用了，或者说是不是经典数学的研究已经没有生命力了。
阿蒂亚的基本观点是，表面上看，仅研究有限量和有限过程的离散数学比研究各种形式的无限性的微积分更容易也更简单。然而征服并广为使用无限性是数学的最伟大的成就之一，微积分成了具有巨大能力和极为漂亮的工具，就此而言，纯粹的有限数学还未真正成为它的竞争者和对立物。
直到现在，分析无穷性的微积分的中心地位仍然是无可争议的。这不仅是指在纯数学领域，而且它作为数学在整个科学和工程中的应用的基础而言也是如此。微积分学课程一直为大学中的数学科学教育奠定着基础。
另一方面，我们很习惯利用分得越来越细小的离散量去逼近一个连续量，于是一条连续曲线可以用大量直线段去逼近。同样，这一过程可以反过来进行，即连续量可以看做离散量的逼近，只要步长都充分小。这样，就可以利用我们来自微积分学关于圆周长的知识得到具有充分多条边的正多边形的周长的近似值。这就是说，随着计算机的威力日渐增强和它们所能处理的数值可以越来越大（或者说计算机每次运算所耗费的时间越来越短），微积分学仍然会得到其正当的名誉和地位。
教育危机
“有了计算机，数学课还像以前那么重要吗？”“有了计算机，数学可以不用学那么多了吧？”
这样的问题是摆在数学教育面前的教育目的和教育内容问题。数学教育的目的可以被计算机代替吗？在我国的九年义务教育全日制初级中学和普通高级中学的数学教学大纲中都明确了教学目的，概括起来大致有：通过学习基础知识形成基本技能，培养思维能力、运算能力、空间想象能力和解决实际问题的能力。这些能力中，只有运算能力可以由计算机代替。“如果学习数学只是为了做数字运算，那么学学使用计算机就够了，就像有了傻瓜相机谁都会拍照一样。但是数学不等于学算，计算机不能代替数学，就像打字机不能代替文字一样。比率、机会、误差、图像、逻辑、程序等等数学概念，已进入日常生活；各行各业都在数量化数学化，用到的数学知识越来越多。”姜伯驹。有了计算机……。北京数学会通讯，1995，1期，8页。数学素质在一个人的生活和工作中，在处理各种日趋复杂的事物中显示出重要性。
数学教育的内容当然要随着数学的发展和时代的要求而不断更新和变化。过去运算技能训练比重太大，使数学课枯燥乏味，有用的概念和方法反而学的不够。因此，数学课程的改革正在向着更强调广和用，调整对算的要求，适应变化了的需要这样的方向进行。
最后还有一点，现代经济的表现是系统的工业面临困境甚至全面衰退，而与计算机有关的行业得到迅速发展。这样就意味着与计算机有关的就业机会吸引了最好的人才，而且也改变着整个青年一代的处世态度和理想。“在中学和大学里，传统的课程不得不与计算机的吸引力和刺激性相竞争；与比较老的训练方式最切近的数学就更是首当其冲。这就是计算机革命对各层次学校的影响。”同③，66页。首先受到这种压力的是中学数学教师，在中学已经把学习计算机的有关知识作为一种附加的职责。
对于数学比较感兴趣的学生也受到了冲击。有一部分喜欢数学且能力较强的学生受到另一种选择的吸引。即迈入一个处于开发阶段的领域，它为你的成名提供大得多的机会。“这意味着具有和过去那些做出创造性工作的伟大智者，比如牛顿、高斯、黎曼一样的智者在将来就可能为计算机科学而不是数学所吸引。因此，这对于那些完全依赖于智力的学科，无疑是最巨大的灾难。人们只能希望数学能依靠本身的力量和美，在将来仍然能够吸引大智之士，但愿他们没有被计算机科学勾引过去。”同①，67页。
数学中出现的危机
从开始学习数学到现在，无论是你喜欢数学也好，对它有一些偏见也好，数学留给我们的印象总是严谨的、准确的、靠得住的。如果说数学上出现过足以动摇人们信念的事情或数学大厦的根基出现了数学危机时，你一定不能相信，也不愿相信这是事实。但是无论你相信与否，危机还是发生了。虽然那好像离我们很遥远，但实际上它们也就在我们身边。让我们跨越时空的间隔，感受一下危机给我们带来的震动吧。要想更好地了解危机，我们还是先从悖论谈起。
悖论与数学危机
什么是悖论呢？从字面上讲，悖论就是荒谬的理论。从历史的发展过程来说，可以从以下三个方面来理解何为悖论。