一、秦九韶生平与思想
秦九韶，南宋人，1202年生于四川安岳，曾任潼川(今四川三台)郡守，后又在安徽、湖北、江苏等多处做官，晚年贬至梅州(今广东梅州)，1261年郁闷而亡。他在官场并不得意，但他对数学的研究与贡献却是十分光辉灿烂的。他知识渊博，“性极机巧，星象(天文)、韶律、算术以至营造等事无不精究”。他的代表作是《数书九章》，这是一部中国古代水平最高的数学著作之一。他的主要成就是高次方程的解法和一次同余方程的解法，创立的“中国剩余定理”，是我国数学科学的重大成就，为中华民族在世界数学界争得了荣耀。
美国科学史专家萨顿称秦九韶“是他那个民族，他那个时代乃至所有时代最伟大的数学家之一”。秦九韶治学态度非常投入，非常认真，而且肯于无私地把自己的研究成果奉献于世人，令人肃然起敬。他说：“数理精微，不易窥识，穷年致志，感于梦寐，幸而得知，谨不敢隐。”西方科学史家李约瑟称“秦九韶具有迷人的品格”。秦九韶对数学情有独钟，他盛赞数学可以论证“人事之变无不该，鬼神之情莫能隐”等人间天上的变化的机理。
从1244年开始，秦九韶利用在潮州为母亲守孝的3年时间，于1247年写成世界数学史上的名著《数书九章》(又名《数学大略》)。此书包括81个重要的应用问题，分成9大类，每类9题。
二、用三边长求三角形面积公式
《数书九章》中有一题曰：“问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，里法300步，欲知为田几何？”此题今译为“已知三角形三边长分别为13里，14里和15里，每里300步(一步5尺)，问此三角形田地的面积是多少？”
秦九韶推导出三角形的面积公式为
S=12c2a2-(c2+a2-b22)2(7)
其中a，b，c是三角形的三边之长，c是最长边，a是最短边。“沙田一段”题中a=13里，b=14里，c=15里。
从秦九韶的公式(7)出发，可以推导出关于三角形面积的海伦(Heron，公元50年左右)公式。事实上
14\[c2a2-(c2+a2-b22)2\]
=116\[4a2c2-(a2+c2-b2)2\]
=116(2ac-a2-c2+b2)(2ac+a2+c2-b2)
=116\[b2-(a-c)2\]\[(a+c)2-b2\]
=116(b-a+c)(b+a-c)(a+c-b)(a+c+b)
=18s(2s-2a)(2s-2b)(2s-2c)
其中
s=12(a+b+c)
即得海伦公式为
s=s(s-a)(s-b)()s-c
本来，秦九韶建立公式(7)时，是用勾股定理证明此公式成立。
三、大衍求一术
《数书九章》中的最重大的成就是所谓“大衍求一术”。“大衍求一术”西方数学史家称之为“中国剩余定理”。“中国剩余定理”是“孙子定理”的推广。
公元元年左右，中国有一部名书《孙子算经》，此书的作者不详(不是孙膑)。《孙子算经》卷下第26题曰：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，七七数之余二，问物几何？”
答曰：“二十三”。术曰：“三三数之余二，置一百四十；五五数之余三，置六十三；七七数之余二，置三十；并之，得二百三十三，以二百一十减之即得；凡三三数之余一，则置七十；五五数之余一，则置二十一；七七数之余一，则置十五；一百零五减之，即得。”
宋代人把上述算法编成口诀如下：
三岁孩儿七十稀。
五留廿一事尤奇，
七度上元重相会．
寒食清明便得知。
上元指正月十五元宵节，寒食即冬至，冬至到第二年的清明节为105天。
明代程大位把口诀改写得更通俗：
三人同行七十稀，
五树梅花廿一枝．
七子团圆正月半．
除百零五便得知。
具体计算如下：
2×70=140
3×21=63
2×15=30
140+63+30=233
233-105=128
128-105=23
23即所求的物数的最小值。
汉朝大将军韩信，骁勇如项羽而机智似孔明，用兵作战，为后世兵家之样板。一次，他令副将清点士兵总数，信问曰：“三三数之余几？五五数之余几？七七数之余几？”得知这三个余数后，韩信即刻算出士兵的最少数目，且嘱咐说，如果嫌少．可以再添上若干倍的105人；民间于是流传“韩信点兵，多多益善”的佳话。
“物不知数”问题的现代表示是求一次同余方程
x≡r1(mod3)x≡r2(mod5)x≡r3(mod7)（8）
的解。
孙子定理公式(8)的解为
x=70r1+21r2+15r3-105k，k∈N（9）
事实上，70被3除余1，且70=2×(5×7)；21=1×(3×7)，且21被5除余1；15=1×(3×5)，且15被7除余1。所以701+21r2+15r3。
被3除余r1，被5除余r2，被7除余r3，而105k可被3，5，7除尽，所以公式(9)成立。
秦九韶把上述“物不知数”问题分析推广之，建立了“大衍求一术”，用现代记号来写为。
设m1，m2，…，mk是k个两两互素的正整数，令
m=m1m2m3…mn=miMi，i=1，2，…，k
则方程组
x≡ri(mod mi)，i=1，2，…，k
的解为
x≡∑ki=1M"iMiri(mod m)
其中M"iMi≡1（mod mi），i=1，2，…，k；Mi叫做“衍数”。
上面写的记号a≡b(mod n)表示a与b两个整数被正整数n除的余数相同。
1743年和1801年，欧拉与高斯分别给出上述“中国剩余定理”的严格证明。当初秦九韶只言算术不言证，他禀承了中国古代数学“寓理于算”的传统，事实上这个传统弊大于利，不利于数学理论的发展。
四、《数书九章》中的名题选讲
三贼盗米问题：“闻有米铺，诉被盗去米一般三箩，皆适满，不记细数。今左壁箩剩一合，中间箩剩一升四合，右壁箩剩一合。后获贼，系甲乙丙三名。甲称当夜摸得马杓，在左壁箩，满舀入布袋；乙称踢着木履，在中壁箩，舀入袋；丙称摸得漆碗，在右壁箩，舀入袋。将归食用，日久不知数。索得三器，马杓满容一升九合，木履容一升七合，漆碗容一升二合。欲知所失米数，计赃结断三盗各几何？”
设原来箩里盛的米数为x合，令
m1=19，m2=17，m3=12
m1，m2，m3两两互素；又由题意知r1=1，r2=14，r3=1。于是x满足一次同余方程组
x≡1(mod 19)x≡14(mod 17)x≡1(mod 12)
m=m1m2m3=19×17×12=3876，M1=mm1=204，M2=mm2=228，M3=mm3=323。
由M1y1-m1z1=1，解得y1=M"1=15，
由M2y2-m2z2=1，解得y2=M"2=5，
由M3y3-m3z3=1，解得y3=M"3=11。
故所求之解x为
x≡M1M"1r1+M2M"2r2+M3M"3r3(mod m)
≡（204×15×1+228×5×14+323×11×1）（mod 3876）
≡（3060+15960+3553）（mod 3876）
≡3193（mod 3876）
至此知每箩能盛米3193合，甲盗走米3192合，乙盗走米3179合，丙盗走米3192合。
秦九韶称M"i为乘率，求M"i，使得
M"iMi≡1(mod mi)
是求解一次同余方程组的关键，所谓“求一术”即指求M"i，使求M"i与Mi的乘积被mi除余1。
1852年，英国的伟烈亚力发表《中国科学记述》一文，向西方数学家介绍了秦九韶的“大衍求一术”，西方数学家从此把“大衍求一术”译成“中国剩余定理”。
在《数书九章》中还给出高次方程近似解的方法，其中有一题求得10次方程的近似解。