本章主要学习应力状态及其分析、强度理论、组合变形理论、弯曲与扭转的组合变形等内容，并从不同的侧面对这些理论进行深入研究和探讨。尤其是强度理论，它是进行工程设计与施工、加工与技术改进、新产品开发与研究的基础，也是工程专业学生必须要掌握好的内容。加强对强度理论的学习与认识，对于将来从事工程设计、研究、开发等具有重要的现实意义。
7.1应力状态及其分析
7.1.1应力状态及其分类
对弯曲和扭转的研究表明，杆件内不同位置的点具有不同的应力。所以，一点的应力是该点坐标的函数。就一点而言，通过这一点的截面可以有不同的方位，而截面上的应力又随截面的方位而变化。
对于给定的一个直杆拉伸，如果围绕一点取出的单元体，一般在3个方向上的尺寸均为无穷小。这样就可以认为，在它的每个面上，应力都是均匀的；且在单元体内相互平行的截面上，应力都是相同的，都等于通过所研究的点的平行面上的应力。所以，这样的单元体的应力状态可以代表一点的应力状态。研究通过一点的不同截面上的应力变化情况，这就是应力分析的内容。
一点处的应力状态是用该点处的3个主应力来表示的，并按照不等于0的主应力数目将一点处的应力状态分为如下3类。
1.单向应力状态
单向应力状态是指只有1个主应力不等于0的应力状态。例如，轴向拉伸时，横截面及与之相垂直的2个纵截面就是主平面；它的3个主应力依次是为σ1=F如图71所示。
2.二向应力状态
有2个主应力不等于0的应力状态称为二向应力状态。
3.三向应力状态
3个主应力都不为0的应力状态称为三向应力状态。例如，在滚珠轴承中，滚珠与外圈接触点处A的应力状态，如图72所示。单元体A除在垂直方向直接受压外，由于横向变形受到周围材料的阻碍，因而侧向也受到压应力的作用，即单元体处于三向应力状态。与此同时，桥式起重机大梁两端的滚动轮与轨道的接触点处，火车车轮与钢轨的接触点处等，也都是三向应力状态。
7.1.2二向和三向应力状态的实例
现以锅炉或其他圆筒形容器的应力状态为例，来研究和分析它们的二向应力状态，如图73所示。当这类圆筒的壁厚t远小于它的直径D时如，称之为薄壁圆筒。若封闭的薄壁圆筒受所储气体或液体的内压力为p，则沿圆筒轴线作用于筒底的总压力为FP，且。
在FP的作用下，圆筒横截面上的应力σ的计算就属于前面所学习的轴向拉伸问题。因为薄壁圆筒的横截面面积A=Dt，故有。
用相距为l的两个横截面和包含直径的纵向平面，从圆筒中截取一部分。若在筒壁的纵向截面上应力为σ″，则内力为。
积分结果表明，截取部分在纵向平面上的投影面积为lD与p的乘积，就等于内压力的合力。由平衡方程Σy=0，得。
从式(71)和(72)可以看出，纵向截面上的应力σ″是横截面上应力σ的两倍。
σ作用的截面就是直杆轴向拉伸的横截面，在这类截面上没有剪应力。
从杆件的扭转和弯曲等问题可以看出，最大应力往往发生于构件的表层。因为构件的表面一般为自由表面，即有一个主应力等于0；因而从构件表层取出的微分单元体就接近二向应力状态，这是最有实用意义的情况。
在滚珠轴承中，滚珠与外圈接触点处的应力状态，可以作为三向应力的实例。如图72所示，围绕接触点A，以垂直和平行于压力FP的平面截面取单元体，在滚珠与外圈的接触面上，有接触应力σ3，由于σ3的作用，单元体将向周围膨胀，于是引起周围材料对它的约束应力σ2和σ1。所取单元体的3个相互垂直的面皆为主平面，且3个主应力皆不为0，于是得到三向应力状态。与此同时，桥式起重机大梁两端的滚动轮与轨道的接触处，火车车轮与钢轨的接触处，也都是三向应力状态。
在分析问题的时候，通常用σ1、σ2、σ3代表某一点的主应力，并以σ1代表的数值为最大主应力，而σ3代表的数值为最小主应力，且有σ1σ2σ3。
例7.1由A3钢制成的蒸汽锅炉，壁厚t=10mm，内径D=1m，如图73所示。
已知蒸汽压力p=3MPa。试计算锅炉壁内任意点处的3个主应力。
解由公式(71)和(72)得。
由此可知，按照主应力记号的有关规定，有。
7.2强度理论
7.2.1强度理论的概念
根据构件的受力情况，尤其是二向和三向应力状态的分析，我们完全可以求出危险点处的最大应力。根据对所用材料的实验研究，将理论分析与实验结果有效地结合在一起，只有这样才能建立正确的强度条件。
在轴向拉伸下，塑性材料是在应力达到屈服极限时才发生流动破坏，而脆性材料是在应力达到强度极限时发生断裂破坏。所以，将屈服极限σs作为塑性材料的极限应力，将强度极限σb作为脆性材料的极限应力，再除以相应的安全系数便得到许用应力。即。
有时虽然受力构件内的应力状态比较复杂；但我们容易找到接近于实际受力情况的试验装置，这时也可以通过试验方法来建立相应的强度条件。例如，铆钉、键、销等联结件的实用计算便是如此。
然而在工程实际中，构件的受力情况是多种多样的，危险点通常处于复杂应力状态。
3个主应力不同比值的组合，都可能导致材料破坏。试图用试验方法测出每种主应力比值下材料的极限应力，从而建立强度条件，这显然是不可能的。于是，人们不得不从考察材料的破坏原因着手，研究在复杂应力状态下的强度条件。
长期的生产实践和大量试验表明，在常温静载下材料破坏主要有两种形式。一种是断裂破坏，如铸铁试件在拉伸时沿横截面断开，扭转时沿与轴线成45°的螺旋面断裂。这种破坏是由于拉应力或拉应变过大而引起的，破坏时无明显塑性变形。另一种是屈服(流动)破坏，其特点是破坏时材料发生屈服或明显的塑性变形，例如，低碳钢构件在拉伸屈服时与轴线成45°的方向出现滑移线，而扭转屈服时则沿纵、横方向出现滑移线，这种破坏是由最大切应力引起的。
上述情况表明，材料的破坏是有规律的，即某种类型的破坏都是由同一因素引起的。
因此，人们把在复杂应力状态下观察到的破坏现象同材料在简单应力状态的试验结果进行对比分析，将材料在单向应力状态达到危险状态的某一因素作为衡量材料在复杂应力状态达到危险状态的准则，先后提出了关于材料破坏原因的多种假说，这些与实验结果相符合的假说就称为强度理论。由于材料破坏主要有两种形式，相应地存在两类强度理论。一类是断裂破坏理论，主要有最大拉应力理论和最大拉应变理论等；另一类是屈服破坏理论，主要是最大切应力理论和形状改变比能理论。根据不同的强度理论可以建立相应的强度条件，从而为解决复杂应力状态下构件的强度计算提供了依据。
7.2.2常用的4种强度理论
1.最大拉应力理论(第一强度理论)
这一理论认为，引起材料断裂破坏的主要因素是最大拉应力。也就是说，不论材料处于何种应力状态，当其最大拉应力达到材料单向拉伸断裂时的抗拉强度σb，材料就发生断裂破坏。因此，材料发生破坏的条件为。
式中——构件危险点处的最大拉应力；——单向拉伸时材料的许用应力。
试验表明，这个理论对于脆性材料，如铸铁、陶瓷等，在单向、二向或三向拉断裂时，最大拉应力理论与试验结果基本一致。而在存在有压应力的情况下，则只有当最大压应力值不超过最大拉应力值时，拉应力理论是正确的。但这个理论没有考虑其他两个主应力对断裂破坏的影响。同时对于压缩应力状态，由于根本不存在拉应力，这个理论无法应用。
2.最大斜应变理论(第二强度理论)
这一理论认为，最大斜应变是引起材料断裂破坏的主要因素。也就是说，不论材料处于何种应力状态，只要最大拉应变1达到材料单向拉伸断裂时的最大拉应变值，材料即发生断裂破坏。因此，材料发生断裂破坏的条件为。
对于铸铁等脆性材料，从受力到断裂，其应力、应变关系基本符合胡克定律，所以相应的强度条件为式中——泊松比。
试验表明，脆性材料，如合金铸铁、石料等，在二向拉伸压缩应力状态下，且压应力绝对值较大时，试验与理论结果比较接近；二向压缩与单向压缩强度有所不同，但混凝土、花岗石和砂岩在两种情况下的强度并无明显差别；铸铁在二向拉伸时应比单向拉伸时更安全，而试验并不能证明这一点。
3.最大切应力理论(第三强度理论)这一理论认为，最大切应力是引起材料屈服破坏的主要因素。也就是说，不论材料处于何种应力状态，只要最大切应力τmax达到材料单向拉伸屈服时的最大切应力τ0max，材料即发生屈服破坏。因此，材料的屈服条件为相应的强度条件为。
试验表明，对塑性材料，如常用的Q235A、45钢、铜、铝等，此理论与试验结果比较接近。
4.形状改变比能理论(第四强度理论)
构件受力后，其形状和体积都发生变化，同时构件内部也积蓄了一定的变形能。因此，积蓄在单位体积内的变形能，即比能也包括因体积改变和因形状改变而产生的比能两个部分。相应的强度条件为。
7.3组合变形理论
7.3.1组合变形
前面我们研究了杆件在拉伸(压缩)、剪切、扭转和弯曲等基本变形时的强度和刚度计算，但在工程实际中，有些杆件在外力作用下往往同时存在着两种以上的基本变形。这类变形称为组合变形。如图74所示反应釜搅拌轴，除了在搅拌物料时桨叶受到阻力的作用而发生扭转变形外，同时还受到搅拌轴和桨叶的自重作用而发生拉伸变形。这类变形就是组合变形，类似的例子在工程中还有很多。