本章主要学习扭转变形与刚度条件等知识。学好本章内容对于合理、全面地了解设计理论，进行弯曲与剪力计算等都有现实和深远的意义。特别是对于工程专业的学生来说，在今后乃至很长一段时间都会起到积极的作用。
6.1扭转、扭矩及计算
6.1.1扭转及其应用
杆件由于受作用面垂直于其轴线的力偶作用，发生横截面绕轴线相对转动的变形，称为杆件的扭转。
扭转是杆件变形的基本形式之一。图61所示为汽车上的转向轴，轴的上端受到经由方向盘传来的力偶作用，下端则又受到来自转向器的阻抗力偶作用。图62所示是攻丝时丝锥的受力情况。通过铰杆把力偶作用于丝锥的上端，丝锥下端则受到工件的阻抗力偶作用。
以上实例均说明，在杆件的两端作用两个大小相等、方向相反、且作用平面垂直于杆件轴线的力偶矩，致使杆件的任意横截面都发生了绕轴线的相对转动，这就是扭转变形的具体应用。
在工程上称以承受扭转变形为主的杆件为轴。
轴是一种重要的机械零件，它的主要用途是把机械动力从一端传送到另一端。例如，车床上的电动机，通过联轴器将动力传送给传动轴，从而带动工件旋转以进行切削加工，如图63所示。
对传动轴而言，由于引起轴扭转的往往不是力偶矩，而是作用在带轮或齿轮圆周方向上的力，它们对轴心的矩引起轴的扭转变形，同时它们对轴还有横向力的作用，从而引起轴的弯曲变形。
在工程实际中有很多的构件，如车床上的光杆、搅拌机轴、汽车传动轴等，都是受扭构件。还有一些轴类零件，如电动机主轴、水轮机主轴、机床的传动轴等，除发生扭转变形外，还有扭曲变形。这属于组合变形，其原理就比较复杂了。
6.1.2外力偶矩
在实际工程中，往往所给定的扭转变形是比较复杂的，作用于轴上的外力偶矩并不直接给出，而经常是给出轴所传送的功率和轴的转速。如图64所示，由电动机的转速和功率可以求出传动轴AB的转速及通过皮带轮输入的功率。功率输入到AB轴上，再经右端的齿轮输送出去。
设通过皮带轮输入AB轴的功率为NkW(千瓦)，则因1kW=1000N·m；所以输入N个kW，就相当于在每分钟内输入数量为的功。电动机是通过皮带轮以力偶M作用于AB轴上的，若轴的转速为每分钟n转(r/min)，则M在每分钟内完成的功应为2×n60M。因为M完成的功也就是给AB轴输入的功，即。
由此求出外力偶矩M的计算公式为。
用同样的方法，可以求得当功率为N马力时，其中1马力=735.5N·m，外力偶矩的计算公式为。
外力偶矩的方向可由力向轴线的简化结果确定，对于传递功率的轴，可根据下列原则确定。
以输入功率的齿轮或带轮上作用的力偶矩为主动力矩，其方向与轴的转动方向一致；以输出功率的齿轮或带轮上作用的力偶矩为阻力力矩，其方向与轴的转动方向相反。
6.1.3扭矩及扭矩图
当求出作用在轴上的所有外力偶矩以后，即可用截面法研究横截面上的内力。
如图65所示，轴两端作用有外力偶矩M，假想用mm平面将轴截开，并以左段为研究对象。因为左段轴处于平衡状态，所以除受外力偶矩M的作用外，在横截面上必然存在与M平衡的内力偶矩MN，它就是右段轴对左段轴的作用，由平衡条件得式中，MN为mm截面上的扭矩。
若以右段为研究对象，如图65(c)所示，则mm截面上的扭矩MN必定与左段mm截面上的扭矩大小相等，方向相反。
扭矩是个代数量，为了使从两段轴上求得的同一截面上的扭矩的数值和符号相同，将其正负号规定为：按右手螺旋法则将扭矩用矢量表示，若矢量的方向与截面外法线方向一致，则扭矩为正，反之为负。如图66所示。
当轴上有多个外力偶作用时，各横截面上的扭矩可用截面法分段求出，与轴力图绘制方法一样，绘制扭矩图时，先以轴线方向为横轴x，以扭矩MN为纵轴，建立MNx坐标系，然后将各段截面上的扭矩MN标在MNx坐标系中，即可绘制出扭矩图。
例6.1传递功率的等截面轴的转速为n=120r/min，轴上各有一个功率输入轮和输出轮，如图67所示。已知该轴承受的扭矩MN=1450N·m，求轴传递的功率。
解因为只有两个外力偶的作用，而且大小相等、方向相反(即输入和输出功率的值相等)，故轴上所承受的扭矩大小均等于外力偶矩，即。
利用公式(61)得轴所传递的功率为。
例6.2传动轴如图68所示。主动轮输入功率NA=50马力，从动轮B、C、D输出的功率分别为NB=NC=15马力，ND=20马力，轴的转速为n=300r/min。试求作用于各轮上外力的力偶矩。
由此可以看出，在A、B、C、D四个轮上的力偶矩是不一样的，其中A轮力偶矩最大。
6.2圆轴扭转时的变形与刚体条件
6.2.1圆轴扭转时横截面上的应力
圆轴扭转时的变形、应力和强度条件是比较复杂的，它需要从几何、物理、静力等3个方面综合分析。
1.几何关系
圆轴受扭后，圆周线的形状和大小不变，只是绕轴做了相对转动。因此，根据这种变化的特点，对圆轴扭转的基本假设是：(1)圆轴扭转变形前的横截面在变形后保持为平面，并且垂直于轴线，其大小和形状不变，且半径仍为直线；(2)变形后相邻横截面间的距离不变，所以圆轴扭转时各横截面如同刚性平面一样，仅在原处绕轴线转动。
如图69所示，扭矩MN使自由端的截面绕轴转过了φ角，称之为扭转角。截面上的A点和a点分别转到了A点和a点。在微小变形的情况下，φ角很小，是一个微变量，BA近似为一条直线，其倾角γ就是A点的切应变，a点切应变γρ就是ba线的倾斜角。
由图69可得。
如图610所示，用微积分表示式(63)得。
这就是圆轴扭转时切应变沿半径的变化规律。
dx为扭转角沿x轴的变化率。对于指定截面而言，它是一个常量；所以切应变γρ与ρ成正比，即切应变的大小与离圆心的距离成正比。
2.物理关系
同正应力与线应变相对应一样，切应变也与切应力相对应。由于切应变发生在垂直于半径的平面内，所以相应的切应力也必垂直于半径(沿圆周切线方向)。由薄壁圆筒的扭转实验可以知道，材料在弹性范围内时，其切应力与切应变成正比，即式中，比例常数G称为剪切弹性模量，可由实验测得。式(65)称为剪切胡克定律。在一般情况下，钢的剪切弹性模量G=80~81GPa。表61给出了几种常用材料的G值，可在学习和应用中作为参考。
表61几种常用材料的剪切弹性模量材料钢铸铁铜铝木材如果把公式(64)代入式(65)，则得横截面上与圆心距离为ρ处的切应力τρ为。
式(66)表明，横截面上的切应力的大小与离圆心的距离成正比，即切应力呈线性分布，如图611所示。
由此可以看出，在式(66)中只要把ddx求出，就能求得截面上的切应力；但要想求出截面上的切应力，只靠现有的知识是不够的，还必须依靠静力学的有关知识。
3.静力学关系
如图612所示，在距中心ρ处的微面积dA上作用微内力τρdA，它对圆心之矩为ρτρdA，整个横截面上各处的微内力对圆心之矩的总和等于该截面上的扭矩MN，即。
令式(68)中Aρ2dA=Ip，称为截面对圆心O的极惯性矩，它只与截面的尺寸有关。由此可得。
因此，截面上扭转切应力的计算公式(66)可变为。
由此可知，最大切应力发生在截面的边缘上，且当ρ=R时最大切应力的值最大，其最大值为式中，Wp称为抗扭截面系数，且Wn=IpR。
对于直径为D的圆截面，如图613所示，若取微面积为一圆环，dA=2ρdρ，则。
对于空心圆截面，如图614所示，若取内外径之比为。
同样，根据所求出的Ip就可以确定抗扭截面系数。
为了保证圆轴不发生破坏，其最大工作应力不能超过材料的许用切应力[τ]。对于等值圆轴来说。最大切应力发生在最大扭矩截面的边缘，于是得圆轴扭矩的强度条件为。
对于各段扭矩不等的阶梯轴来说，则需要综合考虑MN和Wp的变化规律来确定τmax的值，其强度条件可表示为。
例6.3由无缝钢管制成的汽车传动轴AB，如图615所示。外径D=90mm，壁厚t=2.5mm，材料为45钢，使用时的最大扭矩为M=1.5kN·m。试求AB轴的最大扭转强度。
所以轴的最大扭转强度为。
6.2.2刚度条件
圆轴扭转时，各横截面将绕轴线产生转动，两个截面间的相对角φ就是圆轴的扭转变形，由公式(69)可得，距离为dx的两个相邻横截面间的扭转角为。
沿x轴积分，即可求得距离为l的两个横截面之间的扭转角为。
对于长为l，扭矩MN为常值的等截面圆轴，两端截面间的相对扭转角为。
对于阶梯轴或各段扭矩不等的轴，则应分段进行求解，然后求它们的代数和，即。
6.3平面弯曲的概念
在机械结构和工程中，经常会遇到像起重机、火车轮轴等这一类的直杆，它们所承受的外力是作用线垂直于杆轴的平行力系，在这些外力的作用下，杆件的变形是任意两横截面绕垂直于轴作相对转动，形成相对角位移，同时杆的轴线也将变成曲线，这种变形称为弯曲。在工程和生产实践中，弯曲的主要构件是梁。
梁发生弯曲的特点是：作用于这些杆件上的外力垂直于杆件的轴线，使变形前的轴线在变形后成为曲线。
对于一个比较复杂的梁，其结构并不简单；但总可以借助梁的特点去研究它，对它进行计算、设计和处理。梁的简化分为以下几个部分。
1.支座
图616(a)是传动轴的示意图，轴的两端为短滑动轴承。传动力作用将引起轴的弯曲变形，这将使两端横截面发生角度很小的偏转。由于支承处的间隙等原因，短滑动轴承并不能约束轴端部横截面绕z轴或y轴的微小偏转。这样，就可把短滑动轴承简化成铰支座。又因轴肩与轴承的接触限制了轴线方向的位移；故可将两轴承中的一个简化成固定铰支座，另一个简化成可动铰支座。又如图616(b)中的车床主轴，其轴承为滚动轴承。
由于短滑动轴承可简化成铰支座，故可将滚动轴承简化成铰支座。左端向心推力轴承可以约束轴向位移，简化成固定铰支座；中部的滚柱轴承不约束轴方向的位移，简化为可动铰支座。
2.荷载的简化
在工程中作用在传动轴上的传动力、车床主轴上的切削力、割刀上的切削力等，由于其分布的范围都远小于轴、车床主轴和割刀的长度，所以它们都可以简化成集中力。吊车梁上的吊重、火车车厢对轮轴的压力等也都可以简化成集中力。
图617所示是薄板扎机的示意图。在扎辊与板材接触长度内，可以认为扎辊与板材间相互作用的轧制力是均匀分布的，称之为均布荷载。若轧制力为F，沿扎辊轴线单位长度内的荷载为q=F/L，则q称为荷载集度。
3.静止梁
在图616中，一端为固定铰支座，另一端为可动铰支座，这种梁称为简支梁；梁的一端伸出支座之外，这种梁称为外伸梁；一端为固定铰支座，而另一端为自由端的梁，称为悬臂梁。其他的梁，如桥式起重机的大梁等也可简化成简支梁。
总之，梁有简支梁、外伸梁和悬臂梁3种形式。这3种梁确定以后，尤其是做出它们的简图后，其支座反力均可由静力学方程来确定；所以统称为静定梁。对于支座反力不能完全由静力学方程来确定的梁，称之为静不定梁或超静定梁。
6.4剪力方程及应用
6.4.1剪力和弯矩的概念
如图618所示，假设用任意截面m1m1将简支梁截开，分成左、右两部分，以左部分为研究对象。在该段梁上除作用有外力FRA外，还有在截面上的右段对左段的作用力，即内力。为保持左段的平衡，内力必须是一个力和一个力矩，由平衡条件得。
因此，梁横截面上的内力为一个沿截面作用的力FQ和在外力作用平面内的力矩M，分别称为剪力和弯矩。FQ、M统称为弯曲内力。
由于FQ、M是矢量，它们的符号可按以下原则确定。现取右段梁作为研究对象，参考图618，按作用力和反作用力的关系，所得的剪力FQ、弯矩M必与左侧的大小相等、方向相反。为了使不论取左段还是右端为研究对象时，所得FQ、M不仅大小相等，而且正、负符号也相同；故对FQ、M的正负作如图619所示的规定：剪力对横梁内任意一点的力矩为顺时针方向为正；弯矩则以使这段弯曲变形凸向下者为正。图619所示的FQ、M都为正，反之为负。
也可理解为：对水平梁的某一指定截面来说，在其左侧的向上外力或右侧的向下外力，将产生正的剪力；反之，产生负的剪力。至于弯矩，则无论在指定截面的左侧或右侧，向上的外力产生正的弯矩，向下的外力产生负的弯矩。
例6.4图620所示为一悬臂梁，试求横截面DD上的剪力和弯矩。
解在截面DD处将梁截成两部分，若取左端为研究对象，则应先求出固定端处的支反力。对于本题，如果取右端为对象，则可由平衡方程直接求出FQ和M，这样更简单。
现取右端为研究对象，在截面DD上按正方向标出FQD和MD，如图620(b)所示。
由平衡方程ΣFy=0得。
由于MD为负值，则表明DD截面上弯矩方向与所设方向相反，即为负方向，而FQD的方向与所设的方向一致。
由例题不难看出，求解FQ、M值的一般步骤如下：
(1)用假想截面从被指定的截面处将梁截为两部分；(2)以其中任意部分为研究对象，在截开的截面上按FQ、M的正方向画出未知的FQ、M；(3)应用平衡方程ΣFy=0和ΣMC=0计算FQ、M的值，其中C点一般取截面的形心；(4)根据计算结果，结合题意判断FQ、M的方向。
6.4.2剪力和弯矩方向
在一般情况下，梁横截面上的剪力和弯矩随截面位置的不同而不同。若以横坐标x表示横截面在梁轴线上的位置，则各横截面上的剪力和弯矩皆可表示为x的函数，即。
函数表达式618即为梁的剪力和弯矩方程。
建立剪力和弯矩方程，实际上就是用截面法写出坐标为x的截面上的剪力和弯矩，其步骤与剪力和弯矩的求法基本相同；所不同的是，现在的截面位置不是常量而是变量x。
若作用在梁上的荷载是连续的，即无集中力和集中力偶(包括约束反力)作用，则剪力和弯矩沿梁长方向的变化可由-个函数描述；若作用在梁上的外力有突变，即有集中力或集力偶(包括约束反力)作用，则在两个集中力或集中力偶作用点之间的剪力和弯矩方程可用一个函数描述，这时应分段建立剪力和弯矩方程。