《九章算术》中载有开平方、开立方的方法。例如，欲求55225的平方根，其中55225叫“实”(被开方数)，最下面的1叫“借算”，代表最高项系数。此式实际上表示方程：
x2＝55225
将“借算”向左移动，每一步移二位，移二步后停住，于是，原方程变为：
10000x12＝55225
议得x1大于2小于3，就在实的百位上置2，作为平方根的第一位数。以议得的2乘10000得20000，放在实之下，借算之上，叫法。再以2乘法得40000，从实中减去，余15225。
把法加倍，向右移一位，变为4000，叫定法。把借算向右移二位，变为100，这相当于方程：
100x22+4000x2=15225
议得x2大于3而小于4，就以3为平方根的十位数。以3乘100得300，加入定法得4300；以3乘4300，从实中减去，余2325。
再以300与4300相加，得4600，向右移一位变为460，这是第三位方根的定法。把借算向右移二位，变为1，这相当于方程：
x32＋460x3＝2325
议得x3＝5为平方根的个位，以5乘借算1，加入460得465。以5乘465，从实内减去，恰尽，得55625的平方根235。
从文字叙述来看，筹算开方法似乎很繁，实际摆筹运算是相当简便的。这种方法到宋代发展为增乘开方法，对高次方程解法产生了巨大影响。
(2)正负数
《九章算术》中不仅有正负数，而且还建立了正负数加减法则，即“正负术”。加法法则为：“异名相除，同名相益；正无入正之，负无入负之。”即异号两数相加，绝对值相减；同号两数相加，绝对值相加；0加正数为正，0加负数为负。类似地有减法法则：“同名相除，异名相益；正无入负之，负无入正之。”
(3)线性方程组
《九章算术》中的“方程”，实际是线性方程组。例如卷八第一题：“今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗。问上中下禾实一秉各几何？”(禾即庄稼，秉即捆，实即粮食。)依术列筹式，它相当于三元一次方程组其中x，y，z分别为上中下三等按《九章算术》解法，用(1)式x的系数3去乘(2)的各项，得。
6x+9y＋3z＝102(4)
用(4)减(1)二次，得
5y＋z=24(5)
再用(3)×3，得
3x＋6y+9z＝78(6)
(6)减(1)，得
4y＋8z＝39。(7)
这种方法叫“直除法”，即连续相减法。它的原理与现在加减消元法一致，只是比较烦琐。
3几何
《九章算术》中给出正方形、长方形、三角形、梯形、圆、弓形等常见图形的面积公式。
书中的体积公式很多，包括立方体、长方体、棱柱、梭锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台，其体积公式都与今一致。
《九章算术》对勾股定理的应用很广泛。它首先给出勾股定理的三种形式，然后解决了几十个应用题。例如：“今有圆材不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”以r为圆半径，由勾股定理得r2＝52＋(r－1)2。
解得r＝13，解之即圆径。
在讨论勾股定理的过程中，《九章算术》提供了许多整勾股数，后人在此基础上进一步研究，找到了整勾股数的一般规律。
四、理论特色及意义
如果要找两部在世界上流传最久的古代数学著作，那就是希腊的《几何原本》与中国的《九章算术》，它们都是世界数学史上极为珍贵的文献，分别在西方和东方的数学发展中产生过深远影响。但两书是各有特色的，从中可以看出东、西方数学的差异。
在指导思想上，《九章算术》是把数学当作工具来用的。全书246题，几乎都是与生产、生活实际有关的应用问题，这说明作者在研究数学时，是以应用为目的，不大重视数学体系自身的完善。而《几何原本》则正好相反，全书没有一道应用题，全是“纯粹”的数学问题，表现出作者追求数学自身完善，“为数学而数学”的思想。
从体例上来看，《九章算术》以术文统御习题，以计算为中心；《几何原本》则是一个演绎体系，以证明为中心。
在几何研究方面，《九章算术》把重点放在几何量的研究上，把大量算术及代数知识用于长度、面积和体积计算；《几何原本》则把重点放在图形性质及相互关系的研究上，采用的是比较纯粹的几何方法。
总的来说，《九章算术》与《几何原本》相比，前者以实用性、计算性见长，后者以逻辑性、抽象性取胜。当然，《几何原本》对近代数学发展所起的作用无疑超过《九章算术》，因为它那种逻辑演绎体系更适合于近代数学。但《九章算术》在世界数学史上的地位也是不应忽视的。
《九章算术》的成书，标志着中国初等数学体系的形成。该书包含了丰富的算术、代数和几何内容，形成一个以算筹为计算工具的、有自己特点的完整体系。《九章算术》中的一些成就具有世界水平。比例算法、盈不足术、开平方和开立方、负数的引入及正负数加减法则、线性方程组解法，都是世界上最早提出的。
由于《九章算术》的实用性强，它对当时的社会有很大影响。早在东汉时期，政府就把它当作校对度量衡的数学依据。书中的数学知识被用于解决各种实际问题，例如当时的历法(《四分历》、《乾象历》)便采用了书中的正负数加减法则，田亩测量及土木工程则离不开各种面积和体积公式。
在中国数学史上，《九章算术》的影响是极为深远的。首先，它的体例在一千多年的时间里起到了“示范”的作用。从汉至明，大部分算书遵从《九章算书》的体例。有些甚至直接冠以“九章”之名，如杨辉《详解九章算法》、秦九韶《数书九章》、吴敬《九章算法比类大全》等。其次，《九章算术》重应用、重计算的特点被后世数学家所继承，形成中国古代数学的传统，即从实际问题出发，寻求数学解决办法。最后，《九章算术》中的许多理论，直接为中国数学的发展奠定了基础。如开方法对于高次方程，线性方程组对于四元术，都有一定的奠基作用。
自隋唐至宋，《九章算术》曾长期作为中国的数学教科书。实际上，《九章算术》成书后，历代研究数学的人几乎没有不读该书，不从中吸取营养的。它对于培养数学人才具有不可忽视的价值。
《九章算术》传到日本、朝鲜等东方国家后，也曾被当作教科书使用。越南的数学家在研究此书的基础上，写出若干书名冠以“九章”的数学著作。《九章算术》的某些内容还曾传到印度和阿拉伯国家，并辗转传到欧洲，对世界数学的发展起了一定作用。例如《九章算术》勾股章中的一些问题几乎原封不动地出现在后来的印度数学著作中，盈不足术与比例算法也先后传入阿拉伯和欧洲。
(三)刘徽的数学成就
一、刘徽生平
刘徽是中国古代最伟大的数学家之一。
他是三国时代魏国人，籍贯山东，生卒年不详，约死于西晋初年。刘徽出身平民，终生未仕，被称为“布衣”数学家。
刘徽在童年时代学习数学时，是以《九章算术》为主要读本的，成年后又对该书深入研究，于公元263年左右写成《九章算术注》，刘徽自序说：“徽幼习《九章》，长再详览。
观阴阳之割裂，总算术之根源。探赜之暇，悟其意，是以敢竭顽鲁，采其所见，为之作注。”刘徽在研究《九章算术》的基础上，对书中的重要结论一一证明，对其错误予以纠正，方法予以改进，并提出一些卓越的新理论、新思想。《九章算术注》是刘徽留给后世的十分珍贵的数学遗产，是中国传统数学理论研究的奠基之作。
刘徽还著有《重差》一卷，专讲测量问题。他本来把《重差》作为《九章算术注》的第十卷，唐代初年改为单行本，并将书名改作《海岛算经》，流传至今。
从刘徽著作来看，他学风严谨，实事求是，而且富于批判精神，敢于创新，理论研究相当深入，堪称数学史上的一代楷模。
二、《九章算术注》
此为刘徽的力作，反映了他在算术、代数、几何等方面的杰出贡献。
1算术
(1)十进分数
刘徽之前，计算中遇到奇零小数时，就用带分数表示，或者四舍五入。刘徽首创十进分数，用以表示无理根的近似值。
刘徽用其来表示，但a后各位就不必再命名了，刘徽称它们为“微数”，说：“微数无名者以为分子，其一退以十为母，其再退以百为母。退之弥下，其分弥细。”这种方法，与我们现在开平方求无理根的十进小数近似值的方法一致， 其中a1，a2，…，an是0至9之间的一位整数。
(2)齐同术
《九章算术》中虽有分数通分的方法，但没有形成完整理论，刘徽提出齐同术，使这一理论趋于完善。他说：“凡母互乘子谓之齐，群母相乘谓之同。”又进一步提出通分后数值不变的理论依据，即“一乘一除，适足相消，故所分犹存“法实俱长，意亦等也”。前句话的意思是，一个分数用同一个(非零)数一乘一除，其值不变；后句话的意思是，分数的分子、分母扩大同一倍数，分数值不变。刘徽指出，“同”即一组分数的公分母，“齐”是由“同”而来的，是为了使每个分数值不变。另外，刘徽还将齐同术引而伸之，用来解释方程及盈不足问题。
2代数
(1)对正负数的认识
《九章算术》成书后，正负数的运算越来越广泛，但究竟应该如何认识正负数，却很少有人论及。刘徽在《九章算术注》中首次给出正负数的明确定义：“今两算得失相反，要令正负以名之。”就是说以正负数表示得失相反的量。他还进一步阐述正负的意义：“言负者未必负于少，言正者未必正于多。”即负数绝对值未必少，正数绝对值未必大。另外，他又提出筹算中表示正负数的两种方法：一种是用红筹表正数，黑筹表负数；再一种是以算筹摆法的正、斜来区别正、负数。这两种方法，对后世数学都有深远影响。
(2)对线性方程组解法的改进
《九章算术》中用直除法解线性方程组，比较麻烦。刘徽在方程章的注释中，对直除法加以改进，创立了互乘相消法。
这种方法与现代加减消元法一致，不过那时用的是筹算。刘徽认为，这种方法可以推广到多元，“以小推大，虽四、五行不异也。”他还进一步指出，“相消”时要看两方程首项系数的同异，同则相减，异则相加。刘徽的工作，大大简化了线性方程组解法。
(3)方程理论的初步总结
刘徽在深入研究《九章算术》方程章的基础上，提出了比较系统的方程理论。刘徽所谓“程”是程式或关系式的意思，相当于现在的方程，而“方程”则相当于现在的方程组。他说：“二物者再程，三物者三程，皆如物数程之。并列为行，故谓之方程。”这就是说：“有两个所求之物，需列两个程；有三个所求之物，需列三个程。程的个数必须与所求物的个数一致。诸程并列，恰成一方形，所以叫方程。”这里的“物”，实质上是未知数，只是当时尚未抽象出未知数的明确概念。定义中的“皆如物数程之”是十分重要的，它与刘徽提出的另一原则“行之左右无所同存”，共同构成了方程组有唯一组解的条件。若译成现代数学语言，这两条即：方程个数必须与未知数个数一致，任意两个方程的系数不能相同或成比例。刘徽还认识到，当方程组中方程的个数少于所求物个数时，方程组的解不唯一；如果是齐次方程组，则方程组的解可以成比例地扩大或缩小，即“举率以言之”。
对于方程组的性质，刘徽总结出如下诸条：“令每行为率”，即方程各项成比例地扩大或缩小，不改变方程组的解；“每一行中，虽复赤黑异算，无伤”，即方程各项同时变号，不改变方程组的解；“举率以相减，不害余数之课也，即两方程对应项相减，不改变方程组的解。很明显，刘徽对于线性方程组的初等变换，已经基本掌握了。不过，他没有考虑交换两个方程的位置，因为不进行这种变换亦可顺利求出方程组的解，而且调换算筹的位置是不方便的。
3几何
(1)割圆术
刘徽以前，一般采用周三径一的圆周率，这是很不精确的。刘徽在《九章算术注》中指出：周三径一的数据实际是圆内接正六边形周长和直径的比值，不是圆周与直径的比值。他认为圆内接正多边形的边数越多，其面积就越接近圆面积。他从这一思想出发，创立了科学的求圆周率方法——割圆术。具体来说，就是以1尺为半径作圆，再作圆内接正六边形，然后逐渐倍增边数，依次算出内接正六边形、正12边形乃至正192边形的面积。
割圆术的创立是数学史上的一件大事。古希腊的阿基米德也曾用割圆术求圆周率，他的方法是以圆内接正多边形和外切正多边形同时逼近圆，比刘徽的方法麻烦一些。刘徽的成就晚于阿基米德，但是独立取得的。
(2)几何定理的证明
刘徽采用出入相补原理，证明了《九章算术》中许多几何公式和定理。
刘徽在研究立体几何时，发现“邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖月需，阳马居二，鳖月需居一，不易之率也”。即“过对角面分割堑堵为一个阳马和一个鳖月需，则阳马与鳖月需的体积之比恒为二比一。”为叙述方便，我们称之为阳马定理。刘徽从长方体体积公式出发证明了这一定理，然后用它证明了各种多面体的体积公式。另外，他还发现了一条重要原理：对两个等高的立体，若用平行于底面的平面截得的面积之比为一常数，则这两立体的体积之比也等于该常数。这一原理可称为“刘徽原理”。在《九章算术注》中，刘徽多次运用了这一原理，例如，圆台体积∶外切正四梭台体积=圆面积∶外切正方形面积=π∶4。书中对圆锥、圆台等旋转体体积公式的推导，都是以刘徽原理为依据的。
(3)对球体积的研究
刘徽发现了《九章算术》中球体积公式不正确，试图利用刘徽原理求出正确的球体积公式。他首先作球的外切立方体，然后用两个直径等于球径的圆柱从立方体内切贯穿。于是，球便被包在两圆柱相交的公共部分，而且与圆柱相切。刘徽只保留两圆柱的公共部分，取名“牟合方盖”。根据刘徽原理，球体积与牟合方盖体体积，整个问题就迎刃而解了。刘徽没有成功，只好“以俟能言者”。但他的思路正确，为后人解决这一问题打下了基础。
4刘徽的极限观念
从《九章算术注》可以看到，刘徽具有明确的极限思想。他把极限用于代数和几何研究，取得重要成果。这说明极限思想从春秋战国时期萌芽以后，到这时已有较大发展。
例如，刘徽的割圆术便建立在极限理论的基础上。他说：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣。”就是说当圆内接正多边形的边数无限增加时，正多边形面积的极限便是圆的面积。
刘徽在研究开方不尽的问题时，认为求出的位数越多，就越接近真值，但永远不会达到真值，只能根据需要，求到“虽有所弃之数，不足言之也”的程度。刘徽正是在这种极限观念的基础上创立十进分数的。他在证明有关体积的定理(如阳马定理)时也用到极限，并深刻地指出，极限问题“谓以情推，不用筹算”，就是说研究极限靠思维和推理而不靠具体计算。
三、刘徽的重差术
重差术是中国古代的一种重要测量方法，用以测量不可到达的距离。刘徽对这一理论进行了总结和提高，写出重差术专著——《海岛算经》(即《重差》)。他在序言中说：“凡望极高、测绝深而兼知其远者必用重差。”全书只有九道题，但很有代表性。