阿基米德终生倾心对科学的研究，常常沉浸于忘我的思考之中，普鲁塔克曾写道：阿基米德废寝忘食，完全忽视关心自己的身体。经常要强迫他去洗澡，在洗澡中，擦上香油膏，然而就在这时，他用手指在自己擦上油膏的身体上画几何图形。古罗马建筑师维脱罗卫记述的阿基米德发现浮体规律的情景，令人感叹不已。有一次叙拉古的亥厄洛王让人制造纯金的皇冠。做成后国王怀疑是否完全用纯金制成，便请素称多能的阿基米德来鉴定。阿基米德曾长时间地思考解决的方法，正在苦闷之中，他到公共浴池洗澡，当浸入装满水的浴盆中时，水漫溢到盆外，而身体重量顿觉减轻。于是，他忽然想到不同质料的东西，虽然重量相同，但因体积不同，排去的水必不相等。根据这一道理，不仅可以判断皇冠是否掺有杂质，而且知道偷去黄金的重量。这次成功的发现使阿基米德大吃一惊，他光着身子跑出浴池，大声喊：“我找到了”。经过仔细地实验，他终于发现了流体静力学的基本原理：“阿基米德原理”——物体在液体中减轻的重量，等于排去液体的重量。
在阿基米德一生的最后几年中，表现出了真挚的爱国热情。他为祖国的安危献出了自己全部力量和智慧。当罗马军队首领马塞拉斯率领大军进攻叙拉古时，阿基米德发挥了自己的聪明才智，制造新的机械对抗罗马当时先进的军事设施。他制造了许多武器，做好在任何情况下击退敌人的准备。若敌人离城市很远，便用巨大的远射程投射机器，发射大量的“重炮弹”和“火箭”，击败敌人的战船。当阿基米德发觉炮弹落得太远，不能击中船只时，便使用了适合较小距离的投射机器。这样，使罗马军队胆战心惊，以致他们无力再向前推进。希腊文献记载，当罗马兵船靠近城下，阿基米德用巨大火镜反射日光使兵船焚烧。另一种说法是他用投火器，将燃烧着的东西弹出去，烧毁敌人的战船。总之，阿基米德竭尽全力，发明各种新式器械，给罗马军队以沉重的打击，为保卫祖国作出了重大贡献。后来，终因叛徒的出卖，叙拉古城失守了。一种说法是阿基米德似乎并不知道城池已破，仍沉迷于数学的深思，埋头画几何图形。当一个罗马士兵冲到他面前时，阿基米德严肃地说：“走开，不要动我的图。”罗马士兵听了，觉得受到污辱，就拔剑刺死了阿基米德。终年75岁。根据阿基米德生前遗嘱，在墓碑上刻着球内切于圆柱的图形，象征着他特别珍视的发明。
阿基米德在数学中做出很多贡献，他的许多著作的手稿一直保存到现在。一些数学史家都把他的原著译成现代文字。例如，希思的英译本，兹瓦利那的德译本，维尔·埃斯克的法译本，还有荷兰的迪克特赫斯的名著《阿基米德》。其著作涉及的范围很广，也说明他对前人在数学中的一切发现具有渊博的知识。保存下来的阿基米德著作多半是几何内容的著作，也有一部分力学和计算问题的著作。主要是《论球与圆柱》《论抛物线求积法》《圆的度量》《论螺线》《论平板的平衡》《论锥型体与球型体》《砂粒计算》《论方法》(阿基米德给厄拉托塞的书信中，关于几何学的某些定理)，《论浮体》《引理》。在这些著作中的几何方面，他补充了许多关于平面曲线图形求积法和确定曲面所包围体积方面的独创研究。在这些研究中，他预见到了极微分割的概念，这个观念在17世纪的数学中起到了重要作用，其本身就是微积分的先声，但缺乏极限概念。
他是用归谬法来证明他的结论的。这种证法的要点是，如果所求面积不等于给定的面积S，它就一定同时大于它又小于它。
在进行证明时，阿基米德避免了借助无穷小量这个概念，因为这个概念一直是希腊人所怀疑的。他考虑了内接多边形和外切多边形。他确立这个基本原理的方法是说明并证明：“给定二不等量，则不论大量与小量之比如何接近1，都有可能：(1)求出两条直线，使得较长的与较短的之比更小(大于1)；(2)作一圆或扇形的相似外切多边形和内接多边形，使得外切多边形的周长或面积，与内接多边形的周长或面积之比小于给定的比”。然后就像欧几里得所做过的那样，他证明如果不断把边数加倍，最后会留下一些弓形，它们加起来比任何指定的面积都要小。阿基米德对此做了一点补充，即指出若把外切多边形的边数增加到足够多，就能使多边形的面积与圆的面积之差，小于任何给定的面积。
阿基米德还研究了螺线，撰写了《论螺线》一书，有人认为，从某种意义来说，这是阿基米德对数学的全部贡献中最出色的部分。许多学者都在他的作螺线切线的方法中预见到了微积分方法。值得称道的是，他用运动的观点定义数学对象，如果一条射线绕其端点匀速旋转，同时有一动点从端点开始沿射线做匀速运动，那么这个点就描出一条螺线。这种螺线后来称为“阿基米德螺线”。
阿基米德在《砂粒计算》(论数砂)著作中，设计出了一种表示大数的计数系统，能表示超出当时希腊计数系统所能表示的数。在阿基米德之前，希腊人的计算扩大到不超过10000，并将10000叫做无数之多。阿基米德把无数之多当作一种新的单位，把无数之多引入计算，并且提出了更高位的单位。据说阿基米德向希腊数学家们提出过一个“群牛问题”。实质上要从7个方程中，得出8个正整数解，最后归结为一个二次不定方程x2－472949y2＝1。
这个方程的解的位数相当大。
《引理》一书是阿基米德最早的著作，其中含有15个命题，例如：
命题2，如果做正方形的外接圆与内切圆，那么外接圆的面积等于内切圆面积的两倍。
命题3，如果在圆内作两条相交成直角的弦，那么由交点分成的4条线段的平方和等于直径的平方。
在《论浮体》一文中，阿基米德首先给出了密度比流体小的物体、相同的物体、大的物体浮力的法则，这确实是一部具有时代意义的杰作。
阿基米德在数学的创作中，运用了很多独到的方法。尤其他根据力学的原理发现问题之法，被整理成《阿基米德方法》。1906年海堡在君士坦丁堡发现阿基米德写给厄拉托塞的信以及阿基米德其他著作的传抄本，记述了阿塞米德结合静力学和流体力学研究大量的关于计算长度、面积、体积和重心等有关几何问题。其要点是：体积是由面积构成，面积是由彼此平行的直线构成。每条直线都有重量，而且与它们的长度成正比。因而可以把问题归结于使未知的几何图形与已知的几何图形相互平衡以求重心，其中利用杠杆原理确定抛物弓形面积，球和球冠面积，旋转双曲体体积就是例证。实际上，这是通往积分的较快的迂回之路。阿基米德信心百倍地预言：“一旦这种方法确立之后，有些人或者是我的同代人，或者是我的后继者，就会利用这个方法又发现另外一些定理，而这些定理是我所预想不到的。”阿基米德为了能在数学中确立发现问题的方法，并给出了逻辑证明。阿基米德的预言，终于在近2000年之后，得以实现。18世纪，丹尼尔·伯努利由物理知识推测到了三角级数形式的弦振动的微分方程的一般解。19世纪中叶黎曼由电学理论确定在每一个封闭的黎曼曲面上都存在着通常有解的代数函数。
阿基米德作出的所有结论都是在没有代数符号的情况下获得的，使证明的过程颇为复杂，但他以惊人的独创性，将熟练的计算技巧和严格的证明融为一体，并将抽象的理论与工程技术的具体应用紧密结合起来，将希腊数学推向一个新阶段。
由于阿基米德在科学研究中，注意在实践中洞察事物的各种现象，并透过现象认清本质，然后通过严格的论证，使经验事实上升为系统的理论，因此，阿基米德在天文学、力学等方面也作出了重大贡献。
阿基米德一生酷爱天文学，但遗憾的是他关于天文学的著作没有保留下来。
总之，阿基米德的所有名著都以精确和严谨著称。正如数学史家希思所说，“这些论著毫无例外地都是数学论文的纪念碑。解题计划的逐步启示，命题次序的巧妙排列，严格排除与目的没有直接关联的一切东西，对整体的润饰——其完美性所给人的印象是如此之深，以致在读者心中能产生一种近乎敬畏的感情"。
(五)阿波罗厄奥斯与圆锥曲线
阿波罗尼奥斯是与欧几里得、阿基米德同一时期的伟大数学家。年轻时曾到亚历山大里亚就学，受教于欧几里得的弟子，后来从事教学工作。
阿波罗尼奥斯是一位有名望的天文学家，但他写过多种数学著作，其中《圆锥曲线论》是一部非凡的巨著，以此在同辈中间赢得了“伟大的几何学者”的称号。《圆锥曲线论》一书对几何学的发展产生了深远的影响。在数学界统治了近2000年，直到17世纪帕斯卡、笛卡儿时代才开始有本质上的改变。
《圆锥曲线论》共含8卷，包括了400多个命题，将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地。名著《古代的圆锥曲线论》中，对阿波罗尼奥斯的思想作了阐述。后来，数学史家诺依格包尔著《阿波罗尼奥斯研究》一书，对一些问题又作了补充。从而，可以看出阿波罗尼奥斯把希腊的几何学发展到炉火纯青的境地。
也应看到，阿波罗尼奥斯是在前人工作的基础上发展了圆锥曲线理论。门奈赫莫是系统研究圆锥曲线的第一个人，在通过解决三大几何难题之一“倍立方”问题中，他知道a∶x＝x∶y＝y∶2a与x2＝ay和2a2＝xy相当，由此导致对圆锥曲线的探讨。在公元前300年左右，欧几里得曾写过关于圆锥曲线的教科书，即《圆锥曲线原本》，现已失传。后来阿基米德曾引用一些零散的命题。
阿波罗尼奥斯在第一卷中，主要是给出三种圆锥曲线即椭圆，抛物线和双曲线的定义。实际上，阿波罗尼奥斯发展圆锥曲线理论就是从给出这三种圆锥曲线定义开始的。他首先给出圆锥曲面的定义：
“如果有一点A，在不含此点的平面α上画一圆，在圆周上取一点P，连接AP并沿圆周运动形成的曲面叫做圆锥面（见图3-4）。
阿波罗尼奥斯把A叫做顶点，把A与圆心的连线叫圆锥面的轴，圆锥面和圆面围成的立体叫做圆锥。把圆面叫做圆锥的底。
如果用含轴的平面截圆锥，可得两个三角形ABC和AB′C′，BC和B′C′是圆锥的底与截面的交线，也可找到一个平面截这个圆锥，使交线DE垂直于BC，得到截面和三角形ABC的交线ZH（见图3-5）。
(1) ZH平行于AC(见图3-6)
过曲线DZE任意一点K，引直线平行于ED、交ZH于G，线段KG在平行于底的MKN面中，切口MKN是以MN为直径的圆，若引ZF，满足ZF∶ZA＝BC2∶BH·AC，K是曲线DZE上的点，总有KG2=FZ·ZG，于是，以FZ、ZG为边的长方形面积FZ·ZG相当于以KG为边的正方形的面积。把具有这种性质的曲线DZE叫抛物线。这乃是门奈赫莫斯的“直角圆锥切线”。
(2)ZH不平行于AC
①∠ZHB＜∠ACB时（见图3-7）。
取交线ZZ′，做截面与底的交线DHE，由于DHE和BC相交，过A引直线平行于ZZ′，交BC延长线于一点K，做ZF满足AK2∶BK∶KC＝ZZ′∶ZF，过曲线任一点G，过点G作平行于DHE的直线交ZZ′于M，于是有GM2＝FZ·ZM-α成立。
② ∠ZHB＞∠ACB。
用平面切以A为顶点的两圆锥，可得相对二条曲线DZE和希腊语是παραβολειν。D′Z′E′，平行于ZZ′的直线交BC于K，作FZ满足AK2∶BK·KC＝ZZ′∶FZ，对于曲线上任意一点G，有：
GM2＝FZ·ZM+α(α为正值)成立。这说明以GM为边长的正方形面积大于以FZ、ZM为边的长方形面积。阿波罗尼奥斯命名为“过剩的”(υπρβαληhyperbola)，即现在的双曲线（见图3-8）。
阿波罗尼奥斯能在如此复杂的图形中，寻求各种圆锥曲线的定义，显示出了他的高超才智。
第二卷开始部分描述了渐近线性质，其中指出，由于渐近线是向无限远伸展，所以它们要与曲线越来越靠近，以致它们相隔的距离可以小于任何给定的长度。此外，还证明了，由曲线上任一点向固定方向上的渐近线作直线所围成之矩形，其面积是一定的；这相当于笛卡儿术语中应以方程xy=c来表示的关系。接着是描述求圆锥曲线的直径、抛物线的轴、椭圆与双曲线的轴和中心的方法。最后说明作曲线之切线的各种方法。
第三卷含有一些定理，其中有一部分关于面积的定理。例如，若一条圆锥曲线上的任意两点A和B处的切线交于C，并与过B和A的直径交于D和E，则△CBD和△ACE面积相等。还有极点和极轴的调和性质以及关于相交弦线段乘积定理。
第三卷开头论述关于切线与直径所成图形的面积的定理，并且还介绍了一些有关轨迹的问题，在本篇最后叙述了有心二次曲线的著名的焦点性质。但是，在整个著作中，既没有讲到圆锥曲线的焦点——准线的性质，也没有讲到抛物线的焦点，这是难以理解的，因为据帕普斯说，欧几里得已知道这些性质。
第四卷主要是讨论关于圆锥曲线相交的定理。还证明了第三卷中的极点和极轴的某些命题的逆命题。
第五卷的独到之处在于它论述从一特定点到圆锥曲线所能作的最长和最短的线。阿波罗尼奥斯先从有心圆锥曲线长轴上或抛物线轴上的特殊点讲起，求出这些点到曲线的最大距离与最小距离。然后他取椭圆短轴上的点来做。他又证明，若O是任一圆锥曲线内的任一点，且若OP是从O到圆锥曲线的一极小或极大距离，则P处垂直于OP的直线是P处的切线，又若O′是OP延长线上在圆锥曲线外面的任一点，则O′P是从O′到圆锥曲线的极小线。切线在切点处的垂线现在叫法线，因此极大和极小线都是法线。阿波罗尼奥斯其次考察任一圆锥曲线的法线性质。例如，在抛物线或椭圆任一点处的法线还与曲线交于另一点。然后他指出怎样从圆锥曲线内部或外部的给定点作该曲线的法线。
值得指出的是阿波罗尼奥斯在书中没有把法线看成是垂直于切线的直线，而是看成从曲线的内点或外点所作的到曲线上的极大直线和极小直线。此部分著作以严谨性著称。
第六卷：包括全等圆锥曲线、相似圆锥曲线及圆锥曲线弓形。这弓形也像圆的弓形那样是由圆锥曲线的弦所割出的一部分面积。还讲述了如何在一个给定的直圆锥上求一个等于给定圆锥曲线的截线。
第七卷：包含一批涉及共轭直径的定理，例如，关于在一对共轭直径的端点对有心圆锥曲线所作切线形成的平行四边形的面积恒等的定理。