则导数F′(x)存在，而且等于f(x)，至少在f光滑的点是如此。但是1881年沃尔泰拉还在比萨大学做学生时，发现一个例子：一个函数F在(0，1)区间上定义有界，其导数f＝F′处处存在，但是在当时流行的积分——黎曼可积的意义是不可积的。因此，需要定义一种积分，它可以在更广的一类函数上定义，而且使微分和积分成为互逆的运算。另外对这种积分还希望收敛级数可以逐项积分。勒贝格在他的1902年学位论文中迈出新的一步，他定义勒贝格积分与以前定义积分的方式不同，以前是先定义积分，然后由积分得到“测度”，勒贝格与此相反，他先定义测度，然后定义积分。他定义积分时，不去把自变量的区间加以区分，而把因变量y的区间(对于实函数来说是R的子集)加以重分(成有限个区间)，再仿照通常的办法定义积分，这样就可以使一些很坏的函数也成为勒贝格可积的，最明显的例子就是狄利克雷函数。这样，大大扩充了可积函数的范围。另外如果勒贝格可积函数同时也黎曼可积，则两个积分相等。并且与一些极限运算可以交换，而且可以推广到高维。
勒贝格积分虽然能解决沃尔泰拉原来的问题，但并不足够一般以致能够使所有具有有限导数f(x)＝F′(x)的函数F(x)的导数f(x)=F′(x)都可积。为此，法国数学家当日瓦在1912年和德国数学家佩隆在1914年分别设计了以他们各自的姓定义的积分。其后鲁金给出描述性定义，这三者是等价的。
1915年法国数学家弗雷歇把积分扩张到抽象集合的泛函上。他的模式取自1913年奥地利数学家拉东的工作，其中引进集函数。他实际上综合了斯蒂尔吉斯积分与勒贝格在1910年把勒贝格测度论推广到高维(三维及三维以上)欧氏空间的研究。勒贝格通过可测函数的积分定义一个集函数，证明它是完全可加的而且绝对连续的。不过他只有点函数观念，而拉东则利用集函数定义拉东测度。1930年波兰数学家尼古丁对抽象测度论完成了1910年勒贝格定理在抽象测度论的推广，最终完成抽象测度论的建立。它不仅构成概率论的基础，同时也是抽象调和分析、谱理论等分支不可少的前提。
四、泛函分析
泛函分析是一门新兴学科，1932年才被正式列入德国《数学文摘》。“泛函分析”这个词首先出现于列维的1922年出版的《泛函分析教程》中。它是一门分析学科，但与传统的分析学科不太一样，后者强调演算，而前者强调概念。它们的对象也有所不同，后者主要讨论个别函数(类)的性质，而前者主要讨论函数空间及其上算子的集合，特别是其上的拓扑、代数及序结构。不过很难说它有一个统一的对象及目标。泛函分析大致可分为四大块：一是函数空间理论，从希尔伯特空间、巴拿赫空间到一般拓扑线性空间的理论。二是函数空间上的分析，这是最先发展的一部分，即所谓泛函演算。三是函数空间之间的映射及算子理论，发展最成熟的是希尔伯特空间中的线性算子理论。四是算子(或函数)集合的代数结构，如巴拿赫代数、冯·诺伊曼代数、C*代数以及算子半群等理论。
泛函分析的来源可以追溯到18世纪变分法的产生。正如微积分研究函数的极值一样，变分法研究函数集(空间)上的函数——泛函的极值。而泛函分析的直接推动力则是19世纪末兴起的积分方程的研究。它导致线性泛函分析的诞生。
泛函分析的发展可分三个时期：
第一阶段是创始时期，大约从19世纪80年代到20世纪20年代。开始是意大利一些数学家引进泛函演算，特别是他们引进原始泛函以及线性算子的概念。后来法国数学家发展了泛函演算，这反映在阿达马在1897年第一次国际数学家大会上的报告中。他为了研究偏微分方程而考虑了闭区间\[0，1\]上全体连续函数所构成的族，发现这些函数构成一个无穷维的线性空间，并于1903年定义了这个空间上的函数，即泛函。这些还只是具体的结果。
法国数学家弗雷歇利用当时的集合论观念把前人的结果统一成为一个抽象的理论，他把他们的共同点归纳起来而且加以推广：
(1)把函数或曲线看成一个集合或空间中的点。不妨把它们看成一个抽象集合。
(2)点列的极限概念也可以推广，这样有极限概念的集合他称为L空间，这是后来拓扑空间的萌芽。
(3)集合上可以定义取值在实数里的实函数，即泛函。由于有了极限概念，就可以定义泛函的连续性。
(4)泛函可以进行代数运算，也可以进行分析演算，比如微分。这样就成为名副其实的泛函分析了。
1906年他还在抽象的空间中引进“距离”的观念，具有欧几里得空间距离的性质，这种空间就有更丰富的结构。
大约在弗雷歇同时，希尔伯特对于积分方程进行系统的研究。他在前人基础上，深刻认识积分方程与无穷多变无线性方程组之间的相似性，积分方程的有解性与无穷多变元的收敛性条件有关。这样他实际上得到了具体的希尔伯特空间的理论。抽象的希尔伯特空间理论是他的学生施密特得到的。他引进实和复的希尔伯特空间的几何观念，把函数看成是平方可积序列的空间(l2空间)的点。1907年，匈牙利数学家黎斯等人引进勒贝格平方可积空间(L2空间)，发现其性质和l2空间相同，两个月之后，德国数学家费歇尔与黎斯证明l2空间和L2空间同构，只不过是同一种抽象希尔伯特空间的两种具体表现而已。这也反映出研究抽象空间的重要意义。黎斯——费歇尔定理也更清楚表明积分理论和抽象空间的泛函之间的紧密联系。
1910年黎斯仿照L2空间研究了Lp空间(1＜p＜∞，就是p次方可积函数全体构成的空间，后又研究lp空间，它们不是希尔伯特空间，而是巴拿赫空间。他发现lp上连续线性泛函全体构成一个“对偶的”空间Lq，且1p+1q=1，这些空间在研究偏微分方程方面是不可少的工具。
方面是不可少的工具。
第二阶段泛函分析正式发展成为一门学科，1920年到1922年间奥地利数学家哈恩，海莱，维纳和巴拿赫都对赋范空间进行定义并加以研究，海莱还得到所谓哈恩——巴拿赫定理。但对泛函分析贡献最杰出的是巴拿赫。他进一步把希尔伯特空间推广成巴拿赫空间，用公理加以刻画，形成了系统的理论。他在1932年出版的《线性算子论》一书统一了当时泛函分析众多成果，成为泛函分析第一本经典著作。
这时泛函分析不仅理论上比较完备，而且在古典分析的应用上起着举足轻重的作用，其中特别是波兰数学家肖德尔和法国数学家勒瑞的不动点理论是现代偏微分方程理论的重要工具。他们把微分方程的解看成巴拿赫空间到自身映射的不动点，得出了基本定理，这是现代非线性泛函分析的出发点。
1926年冯·诺伊曼来到哥丁根大学，当时正是哥丁根物理学与数学的全盛时代。量子力学的产生和抽象代数、泛函分析的发展使人们思想空前活跃。冯·诺伊曼把希尔伯特空间公理化，并把量子力学的数学基础建立在泛函分析之上。虽然冯·诺伊曼的公理的来源可以从维纳、外尔和巴拿赫的工作中看到，但冯·诺伊曼的工作更为系统，特别是他关于厄米算子的谱理论。
30年代末，波兰数学家马祖尔与前苏联数学家盖尔范德发展巴拿赫代数(赋范环)理论，而且通过抽象方法轻而易举证明古典分析中的大定理。这显示了泛函分析方法的威力，也论证了泛函分析的独立存在的价值。
第三阶段是泛函分析的成熟阶段。从20世纪40年代起泛函分析在各方面取得突飞猛进的发展。头等重要的事是施瓦兹系统地发展了广义函数论，它现在已成为数学中不可缺少的重要工具。它的前身就是狄拉克在量子力学中引进的δ函数。
第二次世界大战以后，泛函分析取得突飞猛进的发展：1920年到1940年间所发展的局部凸向量空间理论的技术在1945年后主要通过沙顿及格罗登迪克引入拓扑张量积的理论而完成。在这个理论的发展过程中，格罗登迪克引进一种新型的拓扑凸空间一核空间，它在许多方面比巴拿赫空间还接近于有限维空间，并且具有许多卓越的性质，使它在泛函分析及概率论的许多分支中证明是非常有用的。
巴拿赫时代就提出来的两个老问题直到1973年才被恩福楼否定解决掉：他造出一个可分巴拿赫空间，其中不存在(巴拿赫意义下的)基；他还造出一个可分巴拿赫空间的紧算子的例子，它不是有限秩算子(关于紧集上的一致收敛拓扑)的极限。
1900年到1930年间由希尔伯特、卡勒曼及冯·诺伊曼所发展的希尔伯特空间的算子谱理论由于盖尔范德及其学派于1941年所创始的巴拿赫代数理论而大大简化及推广。但是，这个理论中最有趣的部分仍然是冯·诺伊曼代数的研究。冯·诺伊曼代数的研究开始得稍早一些，它和希尔伯特空间中局部紧群的酉表示理论有着非常紧密的联系。在冯·诺伊曼的先驱性文章之后，这些代数的分类并没有取得多少进步，特别是相当神秘的“Ⅲ”型因子。到1967年，不同构的Ⅲ型因子只知道三个。其后，事情开始发展很快，几年之内许多数学家发现了新的Ⅲ型因子，一直到1972年到达顶点，发展成一般的分类理论，这个分类理论是建立在富田稔的思想及康耐定义的新的不变量的基础上的，康耐的不变量使他解决了冯·诺伊曼代数理论中许多未解决的问题。
五、拓扑学
拓扑学是现代数学的基础，研究拓扑空间及其间的连续映射。在20世纪初期，分为一般拓扑学(也称点集拓扑学)及组合拓扑学。一般拓扑学讨论点集的一般的拓扑性质，如开、闭性、紧性、可分性、连通性等等。它们的具体体现可追溯到很久以前，但抽象化的定义则是20世纪的事情。最早的拓扑概念在康托尔、拜尔及若尔当等人著作中已经出现，1906年弗雷歇正式提出非度量的抽象空间，同时黎斯也提出“聚点”的公理化定义，然后用它定义邻域，但真正从邻域出发定义拓扑的是豪斯道夫，他在1914年的《集论大纲》中通过邻域定义所谓豪斯道夫空间以及开集、闭集、边界、极限等概念，从而正式形成了一般拓扑学的分支。另一种不通过度量定义拓扑的方法是库拉托夫斯基在1922年提出来的，他用闭包概念定义拓扑。1923年，蒂茨以开集作为定义拓扑的中心概念，现在通用的公理首先是亚历山大洛夫在1925年提出来的。豪斯道夫在他的书的第二版《集论》中加以总结，使——般拓扑学的表述得以确立下来。
使组合拓扑学成为一个重要的数学分支的是庞加莱。他在1881年到1886年在微分方程定性理论以及后来天体力学的研究中，都有意识地发展拓扑的思想。他从1892年起对拓扑学开始进行系统地研究。在1895年到1904年发表的关于“位置分析”的六篇论文中，他创造了组合拓扑学的基本方法并引进重要的不变量，同调及贝蒂数(1895年)、基本群(1895年)、挠系数(1899年)，并进行具体计算。他还证明了庞加莱对偶定理的最初形式。1904年他提出了著名的庞加莱猜想；单连通、闭(定向)三维流形同胚于球面。他有意识地研究两个闭流形(首先是三维流形)同胚的条件。在他的第二篇补充(1900年)中，曾猜想如果两个闭流形的贝蒂数及挠系数对应相等，则它们同胚。但不久(1904年)他自己就举出反例，因而他进一步把基本群考虑进去。1919年美国数学家亚历山大举出两种透镜空间，证明它们贝蒂数、挠系数和基本群对应相等，但仍不同胚。至今三维流形的同胚问题尚未解决。
布劳威尔继庞加莱之后对拓扑学做出突出贡献，创造单纯逼近方法，使拓扑学的证明有了严格的基础。1915年亚历山大证明贝蒂数及挠系数的拓扑不变性。对偶定理是拓扑不变量之间关系的重要方面，1922年亚历山大证明亚历山大对偶定理，是对庞加莱对偶定理的重要补充及发展。1930年，列夫希兹证明列夫希兹对偶定理，以上述两定理为其特殊情形。
对基本的拓扑不变量加以改造，早在1908年蒂茨的文章中已经开始，他和其他人开始考虑整数以外的系数，如模p系数及有理数。1926年亚历山大引进Zn系数。1925年底到1926年初，诺特同亚历山大洛夫等拓扑学家接触时，曾建议把组合拓扑学建立在群论基础上，在她的影响下，浩普夫于1928年定义同调群，但诺特的思想直到以后才逐步为大家了解和接受。1935年切赫考虑系数取在任何交换群中。
20世纪20年代起，数学家曾试图把同调论从流形逐步推广到更一般的拓扑空间。先是维埃陶瑞斯、亚历山大洛夫(1928年)等人推广到紧度量空间，继而切赫推广到一般拓扑空间(1932年)，即所谓切赫同调论。同时列夫希兹发展了奇异同调论。这是两个最重要的同调理论。在代数与几何的对偶观念的影响下，许多数学家在20世纪30年代初提出同调群的对偶观念——上同调群。除了同调群和上同调的加法结构外，许多人从各个角度寻找其中的乘法结构，列夫希兹和浩普夫在1930年左右研究流形的交口环。1935年到1938年亚力山大、切赫、惠特尼、柯尔莫哥洛夫等人独立引进复形的上积。后来才证明(1952年)一般同调不一定有上同调那种自然的乘法。上同调具有环的结构，带来更多的应用。1947年，斯廷洛德定义了平方运算，后来发展成上同调运算的理论。
同样在20世纪30年代，另一个更广泛的概念——同伦产生了。同伦观念的重点由拓扑空间的性质转移到空间与空间的映射的性质上。1895年庞加莱定义的基本群是第一个同伦群。其后布劳威尔、浩普夫等人对于球面到球面的映射进行过初步的研究，得出拓扑度的概念。尤其是1931年浩普夫映射的发现促使人们注意连续映射的研究。1932年，切赫在国际数学家大会上定义了高维同伦群，但未引起注意。1933年波兰数学家虎尔维兹对连续映射进行研究，在1935——1936年发表四篇论文，定义了高维同伦群并研究了其基本性质。虎尔维兹还定义了伦型的概念，由于当时所知的大多数拓扑不变量均为伦型不变量，使同伦论的研究有了巨大的推动力。1942年列夫希兹的《代数拓扑学》问世，标志着组合拓扑学正式转变为代数拓扑学。