数学建模——实现研究性教学的一个平台
李琦
（北京交通大学理学院，100044）
摘要：笔者在本篇文章中提出了一个当前数学教育的核心问题，那就是如何有效提高数学教学实际效果的问题，这也是一个世界性的问题，大量的世界一流数学家为此倾注了心血。数学教学改革只有在充分注意数学自身的特点与发展规律的时候，才能有所发现、有所前进。因此，数学教学改革是一项集数学科学、应用科学、认识论等众多学科的交叉学科研究。
研究性教学是为适应现代化科学技术发展对人才的需求所提出的一种教学观点。为了真正实现研究性教学，并考虑到上述众多因素，本文提出：第一，建立学科教学平台的观点；第二，数学建模是数学教育实现研究性教学的一个理想平台，将传授讲解式教学模式转化为面向问题的教学模式是一个非常有效的方法，并予以较充分的阐述。
关键词：研究性教学 数学建模 教学平台 模型化（Modelling） 面向问题的数学
研究性教学是在科学技术现代化发展的大形势下提出的一种教学观点，然而一种观点的提出并不足以对教学产生应有的实际影响，如果我们能够对这一观点的理论、意义与实践方法进行更深入、更系统的探索与研究，将其转化为具有可行性的指导方针及措施，那么它才会引导人们对教学体系、教学理念、教育思想，以至教学方法等诸多方面的深层次思考，从而对教育体系的改革发挥实质性作用，达到我们所期望的效果。这里就数学如何实现研究性教学谈一点自己粗略的想法，以期达到抛砖引玉的目的。
一、开展研究性教学，需要打造能够适应研究性教学的平台
平台是现代化工业生产的基本标志与特征，是高科技转化为生产力的必然产物，是提高生产效率的重要手段。一个好的学科教育平台可以支撑更多的课程，支撑课程设计，具有更为宽泛的探索空间和自由度，学科教育平台是课程（包括：基础课程、专业基础课程及专业课程）、课程设计、创新能力培养等教育必须内容的统一承载体，是现有一切实践与实验方法的延伸。
1.社会进步、科学技术的发展需要建立研究性教学平台
教育是为社会的上层建筑和经济基础服务的，因此，不同时期的上层建筑和经济基础必然对那一时期的教育理念与模式发生决定性的影响和作用。这就是说不同时期的教育思想、教育理论与教育形式是不同的，它们都是建立在一定的社会理念、社会经济基础、社会科学技术发展基础之上的，教育必须与社会的经济基础与发展相适应。在这一基础上形成了适应不同社会阶段的不同教育模式，比如，我国封建时期的私塾，以及半封建、半资本主义时期的洋学堂等。
不仅不同的历史时期教育模式不同，而且教育理念、教育内容、教育方法、教育手段、教育形式也有着本质的不同。中国封建时期的教育，是典型的重文轻理，一个人虽然获得了状元的殊荣，但他很可能对数学、物理、天文知之甚少，也就是说理科知识并不是社会人才需求的必须；到了后来，随着西方文化的逐步渗入，使得人们对科学可能对人类活动产生的影响的认识发生了本质性的变化，重文轻理的现象随之逐步改变，以至到了20世纪中叶，出现了“学会数理化，走遍天下都不怕”的普遍共识，足见人们对理科的重视程度了。
但是在20世纪五六十年代以前，由于生产力相对低下，社会对人才的需求形式及对人才的知识结构要求普遍相对单一，特别是各个学科知识的关联程度并不像现在显现的那样紧密，虽然在物理、力学、天文学等学科中需要用到数学，但基本上都是利用数学完成相应的运算，于是在工科院校中如何才能有效地培养学生的数学运算能力就成为当时数学教学的中心任务。计算尺是工程师的必备工具，几乎人手一把。尽管如此，在20世纪中叶一些具有远见卓识的数学家对这种只注重形式演算的数学教学模式还是发出过严重的警告，比如，19世纪末20世纪初世界顶尖级数学家R·柯朗就曾经明确地指出：“两千年来，掌握一定的数学知识已被视为每个受教育者必须具备的智力，数学在教育中的这种传统地位，今天已出现严重危机。不幸的是，数学的专业教育工作者对此应该分负其责。数学的教学，逐渐流于无意义的单纯演算习题的训练，固然，这可以发展形式演算的能力，但却无助于对数学的真正理解，无助于提高独立思考的能力。数学的研究，有过度专门化和抽象化的倾向，忽视了应用及数学与其他领域之间的联系。这种状况丝毫不能说明形式化方针是正确的。相反，在重视智力训练的人们中，必然引起强烈的反感。”“在过去的数年中，大量事实表明，对数学的知识和训练，需要日益迫切。今天，学生和教师如果不试图从数学的形式主义和单纯演算中跳出来，以掌握数学的实质，那么挫折和迷惑的危机将显得更为严重。”从今天的情况来看，柯朗的警告是完全正确和有明确的针对性的，应该引起我们的足够重视。问题是什么是数学的实质，我们怎样才能教给学生完整的数学，使学生掌握数学的实质，进一步使数学教育真正转化成增强学生社会竞争力的素质。
2.学科的发展需要建立研究性教学平台
随着社会生产力的不断发展，出现了现代化科学技术，特别是信息化技术。科学技术与经济基础变了，社会对人才需求的内容、形式当然要发生变化，而这种变化最突出的特点主要表现在两个方面：其一是学科之间知识的相互渗透——这种渗透是奠定交叉学科诞生的基础——变得越来越重要；其二是要求人们必须具有创造性。
至于学科之间的渗透，从科学研究角度来看产生于学科自身发展的需要，因此这是一种必然现象。在这方面一个很有说服力的例子是人们对于基因的研究历程。基因理论是20世纪生命科学的一个重大科技成果，研究发现人体的很多问题是与基因密切相关的，于是实验生物学家就产生了一个大胆的想法，生命被视为一个线性系统，一旦找到了一个基因，就可以解答一个生物学问题。但事情并没有像生物学家预期的那样顺利，首先是基因数据的迅速膨胀，据有关资料记载，美国的基因数据库，1997年拥有的碱基序列为1×109个，次年这个数据就翻了一番，达到2×109，待到2000年这个数据迅速升级到8×109。面对如此庞大的海量数据，要想从中得出分析结论，只有依靠数学科学和计算机科学了。由此一门新兴学科——生物信息学诞生了。
从高等教育角度来看，学科的渗透表现为，必须加强各门课程之间的联系，使学生将所学课程的知识有机地联系在一起。显然这一点是非常重要的，因为只有这样，学生所学的知识才能对他们真正发挥作用，成为素质教育的基础。但是仅从课程建设角度思考问题是很难解决的，也是难以奏效和实施的。我们必须对可能产生关系的相关课程进行更为广泛的研究，这不仅需要对相关课程的了解，更需要对相关课程所关联到的学科发展的了解。从中找出它们的共同支撑点，这就是笔者提出建立学科教学平台观点的原因之一。
3.建设创新型国家需要建立研究性教学平台
至于创造性问题则是一个更为复杂的系统问题，对它的探索和研究更具有实际意义和挑战性。而且我们最终将得出结论：要想使学生在学校的学习过程中在创造性方面得到培养，仅凭课程建设是绝对做不到的，必须通过建立恰当的教学平台才能做到。
按照当代心理学家的观点，一个人的创造力由两个主要的因素决定：知识量与发散思维能力，即：
创造力＝知识量×发散思维能力
一个人的发散思维能力的培养同样是一个复杂的系统问题，没有固定的模式，但有一点是可以肯定的，这类能力不可能只通过读书获得，也就是说这类能力不是通过单纯知识的“传道、授业、解惑”，或者仅凭“技巧训练”的教育模式所能培养出来的。发散思维能力只能通过科学实践与社会实践来培养。
知识大体具有两个特点，一是具有逻辑性知识（Logical Knowledge）特点，这类知识的背后有着强大理论域的支持，其具体表现为，如果要判定一个命题是否正确，只需运用相应的理论加以证明就可以了。这一特点在数学中表现得尤为突出，但绝不是数学科学所独有的特点。比如，物理学中讲授自由落体，是通过已有的知识来证明的，即便现代科学技术已经使我们具备了足够精密的仪器对自由落体问题进行监测，也不会有哪一位老师仅凭实验的方法使学生相信和理解自由落体的结论。再比如，由法国天文学家C.Delaunay 于1867年公布的月球轨道与时间的函数的公式，也是通过已有定理和结论进行推理与计算得到的，这一问题的解决为日后人造地球卫星的发射及航天技术的发展奠定了基础。值得我们注意的是，在传统教学中无论哪一门课程，向学生所传授的全部是逻辑性知识。传授逻辑性知识，教师将不会受到严峻的挑战，他们的勇气和信心既不会受挫，也不会被激励增强。
另一个是具有启发性知识（Heuristic Knowledge）特点，启发性知识通常是通过某一专门化知识系统（某一行业，某一专门化技术，某一学科或学科中的某一问题）予以体现的，这类知识不具备强大理论域的支持，没有正确性的保证，属于一种“经验性”的知识，这类知识不容易表述清楚，甚至于“只能意会，不能言传”。这类知识相对逻辑性知识来讲具有其独特的不稳定性，一旦遇到新情况、新问题，就需要专家及时修正自己已有的知识，并归纳出新知识以解决所遇到的新问题，这种往复更替的过程永无休止，而且就知识系统来讲也因人而异。因此，这类知识不会写入教材或其他专业书籍中，是为“专家”所独有的知识。然而，这类知识在一定的条件下，却可以有效地化简问题、快速求解问题，以至最终解决问题。启发性知识是构成人与人之间能力差别的主因，也就是说，启发性知识是衡量一个人的综合素质的不可或缺的指标。
但是，在传统的教学中启发性知识的训练与培养属于“被遗忘的角落”，教育工作者只注重学科理论体系自身及其严密性与完备性，而忽视了相应理论的发现过程，忽视了学科之间那种意想不到的联系，这种联系不仅包括数学与应用科学之间的联系，而且包括数学各分支之间的联系，没有一个学生会想到利用线性代数的方法求解微积分的问题。这种遗忘并非有意或无意的遗忘，是在科学技术发展过程中的一段历史时期很难避免出现的遗忘，由于技术更新速度相对缓慢，绝大多数人在社会工作中所从事的主要是一些简单的体力劳动或重复性的脑力劳动，至于创造性的劳动仅仅是少数“智者”的事情。然而，当技术更新速度加快之后，情况就完全不同了，创新的任务几乎落到了每一个人的身上，被遗忘的角落开始被人们发现、开发、研究、利用。启发性知识越来越受到人们的重视，科学工作者越来越重视对科学发展史的研究，大批既非教科书又非学术专着的科普着作问世了，而从事这些科普着作撰写工作的人大多都是世界顶尖级的科学家。这些科普着作使人们大开眼界，人们的思维变得活跃起来。
当学生在接受高等教育的时候，尽可能多地获得启发性知识显然是必要的，要想获得这类知识通常需要在高素质教师——具有创造性能力的教师——的引导下，由学生亲自参与相应的工作获得。启发性知识的获得对于培养学生的发散思维能力至关重要。
4.数学教育自身的发展需要建立研究性教学平台
数学不仅有强大的理论域的支持，而且它的任何一个分支的概念事实上形成了一条“良序可扩张链”，这一点既即奠定了数学科学的严密性、逻辑性、精确性与完备性，数学在科学技术领域的中心地位，同时也为数学及各个分支的封闭性形成了天然的条件。而且这种封闭性通常不为数学教育工作者察觉，特别是自柯西实施数学严格化之后，这种状况就变得尤为突出。