在数学上，人们已经证明出，以投票的多数规则来确定集体的选择会产生循环的结果，这就好像一只狗在追自己的尾巴，会没完没了地循环下去。这是民主制度固有的难题，斯坦福大学教授阿罗将它称为“阿罗不可能定理”。这个定理是博弈论里一个毁灭性的发现，它打破了那些被人们认为是真理的观点，也让我们对公共选择和民主制度有了新的认识。
从孔多塞投票悖论中看民主的悲剧
原始社会时，部落内部的重大事务，如各个部落的酋长、部落联盟之间的首领，都是通过投票表决的民主方式完成的。马克思称这种社会形态为“原始共产主义”。可见，投票表决是一种古老的表达民意的制度。
新浪、搜狐、天涯社区等国内知名网站经常会通过网络投票等形式就某一问题调查人们的意愿。投票式的民主在当代，已经成为我们必不可少的生活方式之一。
然而200多年前，一个叫孔多塞的人发现了这种民主制度中的悖论。
假设有A、B、C三个中学生，有一天为明星选秀问题发生了争执。他们在李宇春、周笔畅、张靓颖三人谁更受欢迎的问题上争执不下。
A说，当然是李宇春整体实力最强了；然后是周笔畅，她的歌唱得不错，人也可爱；最后是张靓颖，她唱歌的功力不错，舞姿还稍显不足。
B不同意A的看法，他说论唱歌的功力，应该是周笔畅、张靓颖、李宇春这样排序才对。
C也有自己的看法，他说论外貌，应该把张靓颖排在第一位才对，然后是李宇春，最后是周笔畅。那么，到底谁更受欢迎呢？有没有一个大家都认可的结果呢？
如果规定每人只能投一票决定喜好次序，那三个明星将各得一票，无法分出胜负；如果将游戏规则定为对每两个明星都采取三人投票，然后依少数服从多数原则决定次序，结果怎么样呢？
我们首先来看对李宇春和周笔畅的评价，由于A和C都把李宇春放在了周笔畅的前面，二人都会选李宇春而放弃周笔畅，只有B认为周笔畅的魅力大于李宇春，依少数服从多数原则，第一轮李宇春以二比一击败周笔畅。
再看对周笔畅和张靓颖的评价：A和B都认为应该把周笔畅放在张靓颖的前面，评最喜欢的明星，二人自然都会投周笔畅的票，只有C一人会投张靓颖的票。在第二轮角逐中，自然是周笔畅获胜。
接着，再来看对李宇春和张靓颖的评价如何。B和C都认为还是张靓颖更棒，只有A认为应该将李宇春放在前面，第三轮当然是张靓颖获胜。
通过这三轮投票，我们是不是可以得出谁更受欢迎的结论呢？我们发现，出现了这样的结果：对李宇春的评价大于对周笔畅的，对周笔畅的评价大于张靓颖的，而对张靓颖的评价又大于对李宇春的，很明显，我们陷入了循环的境地。
这就是孔多塞发现的民主投票制度中的悖论问题，也就是说不管采用何种游戏规则，都无法通过投票得出符合游戏规则的结果。
在公元前1世纪，罗马发生过这样一个真实的诉讼故事。古代罗马的法律传统一般是根据正义的原则，判定罪犯的罪责，并根据罪责的大小，依据正义原则进行惩罚，这种思路是现代社会欧美法系的思路。欧美国家的人一般信奉自由平等的原则，所以在诉讼里，公正就意味着一个天平式的证据衡量。而政府对个人绝不是平等的，必须严格对证据提出要求，以限制政府利用权势对个人权利的侵犯。因为他们认为，权势是靠不住的，警察是靠不住的，联邦调查局是靠不住的，司法部的检察官是靠不住的，他们的大总管美国总统和美国政府都是靠不住的。他们都需要有力量与之平衡，他们都需要制度予以制约。因此，欧美国家的人在对嫌疑犯的判决首先都是假想他没有罪，之后再用证据来一步一步证明这个人是否有罪。而一旦判定有罪之后，就要根据罗马法体系，听取证词，然后从最严厉的惩罚开始寻找合适的惩罚。首先要考虑要不要判处死刑，假如不要，考虑要不要判处终身监禁。依此类推，如果没有一种刑罚合适，那么该名被告就将无罪释放。
假设有三名法官处理一个案件，三名罗马法官对一个嫌疑犯的判决意见分别是：
A法官认为被告有罪，应该被判处死刑，其次是终身囚禁。
B法官认为被告有罪，应该终身囚禁，其次是无罪释放，并坚决反对判处死刑。
C法官认为该被告无罪，应该被释放，其次是死刑，绝对不能赞同终身囚禁的判决。
这名嫌疑犯生与死的命运无疑掌握在这三个法官手中。
如果三个法官能够应用倒推法，正确地预料到如果被告被证明有罪，投票结果是以2：1决定判处死刑。这意味着，原本的投票其实就是要决定判处无罪释放或死刑。投票结果是以2：1决定判处无罪释放，这里B法官的宝贵一票决定了被告的判决结果。
然而，当法官们采用罗马法时，首先决定要不要判处死刑，如果死刑不成立，法官们通过倒推法意识到终身监禁将成为第二阶段的投票结果，由此投票结果是A和B法官决定判处死刑，而C法官投反对票，被告被判死刑。
如果是首先决定本案的合适惩罚，情况又有不同，仍然采用倒推法的思路，我们可以推断出该被告会被判处终身囚禁。由此看来，法庭运作方式或法律体系的不同，即使法官们都是非常公正廉洁的人，相同的案件也会出现不同的结果。
在数学上，人们已经证明出，以投票的多数规则来确定集体的选择会产生循环的结果，这就好像一只狗在追自己的尾巴，会没完没了地循环下去。结果，在这些选择方案中，没有一个能够获得多数票通过，这就是孔多塞投票悖论折射出民主制度固有的难题，所有的公共选择规则都难以避开这种两难境地。
投票制的民主，知易行难
孔多塞所折射的民主悲剧在很多领域都会出现，在理论上，是不是可以找到好的解决办法呢？民主的本质就是每个人都有发言与选择的权利，并且对于整体是少数服从多数。从形式上看，投票制度是解决民主悲剧的最佳形式；然而从实质上看，投票制度却有着根深蒂固的难以克服的内在缺陷。
我们先来看一个案例。
设想一下，有个具有民主气氛的家庭由父亲A、女儿B、母亲C组成，3个家庭成员组成家庭协调委员会协商有关购买空调的事宜。
假设存在两种购买方案，其一是在两个卧室各装一个空调，其二是在客厅买一个中央空调。不妨以数字代表A、B、C对两个方案的满意程度，比如，父亲A对两个卧室各买一个空调的满意程度为20。父亲A喜欢抽烟，如果在客厅买空调，由于爱人C的管束，就没有办法独自跑客厅抽烟过瘾，因此父亲A对仅仅买一个中央空调的满意程度为-5。
当然，如果买三个空调，如果母亲C是个节俭性格的人，她一定不会让三个空调同时开着，抽烟的问题也就迎刃而解，因此父亲A满意程度为15。
这样一来，如果两个采购方案分别进行投票表决的话，若家庭每个成员都表达真实的满意程度，两个方案都只有1票赞同，却有2票反对而不能被采纳。
然而当父亲A与女儿B私下协商，进行家庭“选票交易”时，父女二人在两个方案的选择中均投赞成票，家庭表决的结果一定是既在两个卧室各装一个空调，也在客厅买一个中央空调。
这时父亲A的满意程度为15，女儿B的满意程度为10，母亲C则是心疼不已，成为父女“私下交易”的“牺牲品”，满意程度仅为-10或者说是不满程度达到10。
由此可见，投票方式的政治民主实在是知易行难，由于排名内部的模棱两可，造成狡猾的候选人有极大的操纵空间，无论什么规则都有可能扭曲选举的公平性。所以政客们嘴上说尊重人民意愿，却很难做到。宣称实行民主制度，远比实际实施民主要容易得多。
毫无疑问，任何一种“民主”形式，只要它不能有效抑制私下交易的形成和蔓延，那么终究不可能形成稳定的民主。尽管如此，以上的这些例子不过是勾结、串通、获取一定利益，但终归在形式上还是民主。
更糟糕的是，形式上的民主在一些情况下，甚至可以转化为独裁！我们来看下面这个案例。
假设有一个原始部落，总共有100个猎人，部落规定每次这些猎人早出晚归地打猎，并把所有打到的猎物带回部落，然后这些猎物在这100个猎人中平均分配。年复一年，日复一日，多少年来，多少代来，都是如此。
设想某个年代，其中一个猎人富有政治头脑，并具有与生俱来的领袖气质与领导才能。他采用各种方法，拉拢了50个人，组成一个利益集团，并和剩下的49个人协商，要求进行投票以确定每个猎人的打猎技术高低，以此确定猎物每个人各分多少。很自然地，以51：49的过半数原则，剩下的49人分到的猎物自然很少，不妨假设猎物的95%被51人的集团平均分享。
这个猎人当然不会就此满足，他仍然采用同样的投票表决的方法，又组成了26人的小集团，从新分配这90%的猎物。结果不妨假设21人集团分到了85%的猎物。
如果这被排挤的25人中胆敢有人表示不满，这个富有谋略的猎人就可以威胁冒犯者：如果不满意就通过投票让他得到的猎物更少（当然也是投票操纵，26人集团当然是支持，而被排挤的剩下的24人可以告知他们可以投票分享这个冒犯者的应得猎物，自然他们也会持支持态度）。
在这种情况下，这25个人都屈服了这种分配的状况，结果猎物的绝大部分被这26人的联盟分享。以此类推，26人转化为14人……最终的结果居然变成了极少数人甚至是这个领导者占有猎物的绝大部分。
这个时候，这个领导者可以用手中的猎物当成诱饵来招募武士保卫其特权的地位，拥有这样的特权，领导者还可以分得更多的猎物，有了更多的猎物可以招募更多的武士来维护自己的特权。
这样就形成了一个正反馈系统，两个因素之间相互不断加强，这种独裁专制的系统一直循环到这些猎人可以维持基本生存为止。读者可以看到，最不可思议的事情发生了，那就是民主投票的结果竟然是选出了希特勒、墨索里尼式的大独裁者。
实际上即使没有这些作弊方法，民主投票也不一定就是灵丹妙药。美国的大选，基本上选来选去，都是在共和党、民主党这两个大党之间作选择。究其根底，美国的这两大党派并不像有些国家的政敌那样，有着根深蒂固的矛盾与分歧。美国两大政党之间的根本理想与主张是颇为接近的。这样，大量选民在选举的时候游离于两党候选人之间，往往是不大的一点偏差就改变了选举的结果。而美国政党的假如与退出也是极其轻而易举、毫不严肃的事情，只要你愿意为某个党派交纳党费，你就是属于这个党派。因为在美国人看来，控制严密、架构完整的组织是令人感到恐惧的。
民主制度至此好像已经走进了一个死胡同。
通往民主之路的入口到底在何方
通过前面的分析，我们知道，以投票制为核心的民主，并不是真正的民主，而是一种具有内在的不可调和的假民主。通过投票方式，欺骗者可以制造一种虚幻的公平与民意氛围，以此实现他的权力意志或达到其他目的，因此一些国家的民选政治的结果往往是产生无能、低效和腐败的政府。
那么，还有其他方法可以实现真正的民主吗？通往民主之路的入口到底在何方？
许多人进行了探索。有人提出了“波德数解决办法”，“打分求和法”，也有人提出了“俱乐部游戏规则”等，大家都对公共选择如何获得最优结果的问题感兴趣，但谁也提不出更有说服力的办法。
在看到所有的人为寻找“最优的公共选择原则”奔忙而无所获的时候，斯坦福大学教授肯尼思·阿罗也进行了苦心研究，在1951年出版的《社会选择与个人价值》一书中提出了一个理想选举实验。
阿罗理想选举的第一步是，投票者不能受到特定的外力压迫、挟制，并有着正常智力和理性。毫无疑问，对投票者的这些要求一点都不过分。坦白地说，如果一个投票者连这些基本要求都无法满足，那么他要么根本就不是投票而是去捣乱的，要么精神病院会是更适合他的场所。
阿罗理想选举的第二步是，将选举视为一种规则，它能够将个体表达的偏好次序综合成整个群体的偏好次序，同时满足“阿罗定理”的要求。
所谓“阿罗定理”就是：
1.所有投票人就备选方案所想到的任何一种次序关系都是实际可能的。也就是说，每个投票者都是自由的，他们完全可以依据自己的意愿独立的投出自己的选票而不致因此遭遇种种迫害。
2.对任意一对备选方案A或B，如果对于任何投票人都是A优于B，根据选举规则就应该确定A方案被选中；而且只有所有投票人都有A与B方案等价时，根据选举规则得到的最后结果才能取等号。这其实就是说：全体选民的一致愿望必须得到尊重。
但是一旦出现A与B方案等价的情况，就意味着可能投票出现了问题。比如两个方案A、B受两个投票人C、D的选择。对C来说，A方案固然更好，但B方案也没什么重大损失；但是对D来说，却是A方案就是生存B方案就是死亡，那么让C和D两个人各自“一人一票”当然就不是公正平等的。
3.对任意一对备选方案A、B，如果在某次投票的结果中有A优于B，那么在另一次投票中，如果在每位投票人排序中位置保持不变或提前，则根据同样的选举规则得到的最终结果也应包括A优于B。这也就是说：如果所有选民对某位候选人的喜欢程度，相对于其他候选人来说没有排序的降低，那么该候选人在选举结果中的位置不会变化。
这是对选举公正性的一个基本保证。比如，当一位家庭主妇来决定午餐应该买物美价廉的好猪肉还是质次价高的陈猪肉来吃时，我们很清楚：她对好猪肉和注水肉的“喜爱程度”应该不可能发生什么变化——然而这一次她却买了陈猪肉。这一定说明在主妇对猪肉的这次“选举”中有什么不良因素的介入。当然，如果原因其实是市场上已经百分之百都是陈猪肉，那也就意味着“选举”已经不复存在，主妇已经被陈猪肉给“****”了。那不在我们的讨论范围之内。
4.如果在两次投票过程中，备选方案集合的子集中各元素的排序没有改变，那么在这两次选举的最终结果中，该子集内各元素的排列次序同样没有变化。
也就是说，现在，那个买猪肉的主妇要为自己家的午餐主食作出选择，有三位“候选人”分别是一元钱一斤的好面粉、一元钱一斤的霉面粉和一元钱一斤的生石灰。主妇的选择排序不说也罢，一清二楚。然而现在的情况却是：在生石灰先生出局之后，主妇居然选择了霉面粉！这一定意味着有这次“选举”之外的因素强力介入。
比如主妇的单位领导是这家霉面粉厂家老板的姐夫之类，所以为了照顾小舅子就强制要求属下员工必须每月购买200斤“指定产品”的霉面粉，不然就不发工资，还给“穿小鞋”、“揪小辫子”。阿罗定理3和4的结合也就意味着：候选人的选举成绩，只取决于选民对他们作出的独立和不受干预的评价。
5.不存在这样的投票人，使得对于任意一对备选方案A、B，只要该投票人在选举中确定A优于B，选举规则就确定A优于B。也就是说，任何投票者都不能够凭借个人的意愿，就可以决定选举的最后结果。
这五条法则无疑是一次公平合理的选举的最基本的要求。
然而，阿罗发现：当至少有三名候选人和两位选民时，不存在满足阿罗定理的选举规则，也即“阿罗不可能定理”。
即便在选民都有着明确、不受外部干预和已知的偏好，以及不存在种种现实政治中负面因素的绝对理想状况下，也同样不可能通过一定的方法从个人偏好次序得出社会偏好次序，不可能通过一定的程序准确地表达社会全体成员的个人偏好或者达到合意的公共决策。
人们所追求和期待的那种符合阿罗定理五条要求的最起码的公平合理的选举居然是不可能存在的。这无疑是对票选制度的一记最根本的打击。更通俗的表达则是：当至少有三名候选人和两位选民时，不存在满足阿罗定理的选举规则，也就是：随着候选人和选民的增加，“形式的民主”必将越来越远离“实质的民主”。
通往民主之路的探索再一次遭到失败。
阿罗不可能定理：一个毁灭性的发现
人类想出的任何办法，都注定无法依赖票选民主的手段达到实质民主的目的，因为问题就出在选举制度本身，这也是阿罗通过一系列的试验之外得出的一个无奈的结论，人们叫它“阿罗不可能定理”。
西方哲学大师苏格拉底之死，是对阿罗不可能定理一个绝佳的证明。口若悬河的大哲学家苏格拉底，是一个在西方文化中不亚于孔圣人的天才人物。苏格拉底因言出名，也因言获罪。据史书记载，获罪的苏格拉底面对着公民大会的判决。此次公民大会也经历了初审和复审，初审中五百个公民进行了投票，结果是280票对220票判处苏格拉底有罪。复审是决定苏氏是否该判死刑，复审之前，苏氏有为自己脱罪的辩护权利，希腊民众不仅没有被苏格拉底的口才所征服，反而被激怒，结果是以360：140票判处苏格拉底死罪。
这就是希腊的民主。这种民主，被认为比现代西方民主更为先进的民主形式。但是，这种先进的民主，仍然从肉体上，把一个对西方社会作出巨大贡献的巨人碾作了尘土。
阿罗不可能定理，是博弈论里一个毁灭性的发现，它打破了那些被人们认为是真理的观点，也让我们对公共选择和民主制度有了新的认识。
首先，多数不一定正确，至少有时，真理是掌握在少数人手里的。
其次，民意容易受到操纵和利用，不要忘了，希特勒正是通过蛊惑人心的本领被选举上台的。
最后，民主并不像卢梭所说的那样足以达到“公共意志”，它最大的积极之处是如波普尔所言的防止“最坏”情况的发生。因此，它的天然合理性是有限度的。
现在全世界的学者们——数学的、政治的、哲学的和经济学的——都在试图挽救，阿罗的这个毁灭性发现中能够挽救出的东西。对数学政治来说，这一发现就是1931年库尔特·哥德尔的数学逻辑的不可能证明一致性定理。著名经济学家萨缪尔森说，如果说世界上真正懂得相对论的人只有12个是句夸张的话，那么，说世界上真正懂得阿罗不可能定理的人不到12人，这倒是一个不争的事实。