一、周期的计量
研究周期行为有两种基本方法，第一种方法用来研究固定持续时间的周期，而第二种方法则研究可变持续时间的周期。在许多方法中，固定长度周期提供了一种用来概括过去的周期模型，并将其大概地外推到未来的相对简便的方法。遗憾的是，固定长度周期在经济领域中的应用颇受限制。
（一）固定长度周期
1.调和分析。
我们可以通过多种统计技术来检测固定长度周期的存在。其中描述和预测这些纯确定性周期的一种最简单的技术就是估计一种调和或正弦模型。农业领域的研究工作表明，这些模型适用于肉猪、烤鸡和鱼的供给。调和模型的基本形式是Y1＝（COSωT，SINωT），式中，Y是正弦函数和余弦函数的函数，ω是定义为2π／P的频率，P为周期的固定长度，T为时间指数。
这些调和模型用普通的最小二乘法就能估计出来，下面这个例子就是该类模型中的一个。本例估计新房屋开工数是正弦和余弦的函数，这是一个没有特定逻辑基础的纯经验关系式。使用1974～1989年间的年度数据（43个观察点），估计出的方程如下：
H＝1400＋172.62SIN（2π／7）＋125.62COS（2π／7）＋5.64T（5.86）（3.38）（2.40）（1.91）
式中，各系数下方中括号内的数值为T———统计量，T为时间指数，它在第一年被置为1，以后每年增加1个单位。
实际曲线和由上述线性回归方程得到的拟合曲线。尽管从图形上可以直观地看出它的合理周期为7年，但其R2———统计量仅为0.344，这表明该七年期新房屋开工周期的统计置信度很低。另外，阴影部分是固定长度周期法在1990年和1991年的外推。该固定长度周期法预测那两年的新房屋开工数呈上升趋势，然而实际曲线却呈下降趋势。这表明用固定长度周期法进行预测时应多加小心，即使该周期能很好地描述历史数据的总体趋势。为了达到预测这个目的，很重要的一点就是，当出现固定长度周期时，我们应该问一问到底是什么基本因素在起作用？该因素是否已经或将会改变？总体来说，该技术适用于对历史数据的概括总结，但要是没有对该过程本身机制的理解，我们很难期望它能提供一个可靠的预测结果。
2.谐波分析。
虽然上面这个例子演示了寻找固定长度周期的一种技术，但是别的技术如谐波分析法用得更加广泛。为了使用谐波分析，数据必须按行排列，而且列数正好对应着周期的假设预率。例如，就像政治经济周期理论家们所假定的那样，失业率具有4年选举周期性，政治经济周期理论家们宣称，失业率在选举前下降，而在选举后的一年中逐渐上升。这是固定长度周期法的一个较明显的例子。
列出具有每列平均值的失业率矩阵。考虑到数据中的异常值，我们去掉了每列中的高值和低值点。即使是这样，我们也能粗略地看出，失业率模型似乎印证了那些理论分析家们所指出的选举年周期性。看来问题到此已经结束，但是对这个4年周期有效性的检验，必定可用来检验是否存在2年、3年、5年或其他可能长度的周期。用来估计这些可能性假设的一种最简单的统计检验是均值范围检验法。这种检验法的应用是简单明了的，它要求均值范围在假定的周期中达到最大，这意味着具有最大振幅的周期是最可能发生的周期。
将上述失业率数据按跨度分别为24个、36个、60个、72个、94个、108个月重新排列，并且用同样的计算方法来确定均值范围，其结果。得出的结论不大支持4年周期论，因为均值范围随着时间跨度的增大而增大。这意味着：①失业率有一个逐渐增长的趋势，这与政治经济周期论相偏离；②数据不一定支持4年周期论。
为了尽可能公平合理地看待选举经济周期概念，谐波分析法可以作一定的修改，以便考虑到以总统选举年为中心的固定长度周期。这与前文所作的假定略有不同，前文我们假定，从数据起点开始每N年存在一个固定长度的周期。另一种可能是，时间序列可以按选举数据作出索引，而且内周期趋势可以剔除。按这种办法所得出的均值范围检验结果就不是那么确定的了。4年周期比2年或3年周期的可能性要大，但与5年或6年周期的可能性相同。
3.谱分析。
另一种广泛用于确定固定长度周期周长的方法是谱分析法。这种技术与谐波分析同出一辙，而且它们之间有许多共同的特性。然而，该方法的最大缺点是计算复杂，而且其结果难以作出明白的解释。尽管如此，许多学者发现该方法对于揭示周期模型很有帮助（该方法还被用于寻找季节模型，因为季节模型更加规则，所以该方法似乎更适合于发现季节模型）。该方法的目的是，通过将研究过程转换成振幅—频率域与典型振幅—时间域，来寻找固定长度的周期。一个谱表达式通过频率和振幅来描述一个周期，其中频率被定义为周长的倒数，而振幅则是峰值与谷值之间的范围。
格伦吉与哈他那卡认为：要想使用谱分析，理想的观察次数最少应为200次。另一个条件是：时间序列必须是静态的，序列的均值和方差在整个时间范围内保持不变。如果该时间序列不是静态的（大多数经济时间序列通常如此），那么该序列的一阶（或高阶）差分必须是静态的。总之，差分序列必须满足均值和方差的静态标准。
本章提供的是关于计量和预测技术的试探性讨论，而不是基础的统计理论。关于谱分析的更深入的理论研究，在考虑应用该方法之前，有必要先复习一下有关该技术的一些基本概念。众所周知，一方面从数学的角度来讲，任何一组数据点都可以用高阶多项式或正弦、余弦的联合函数精确地再现出来；另一方面值得注意的是，谱密度的概念与特定周期频率下的总方差很相近，这一点在后文将会看到；最后，正弦模型构成了谱分析的起点，它的表达式如下：
式中：T———时间下标，T＝1，2，3，…，N；
N———时间序列的观测量；
XT———长度为T的时间序列；
A0———时间序列的2倍均值项：A0＝2X；
M———傅立叶分解中的频率个数：若N为偶数，M＝N／2；N为奇数时，M＝（N－1）／2；
AK———余弦项系数；
BK———正弦项系数；
ωK———傅立叶频率
傅立叶系数AK与BK的函数对频率或波长的散点图可形成周期图。振幅周期图JK如下定义：
谱分析研究中使用几种周期图的定义，下述讨论是对JK序列而言的周期图。从方差分析的意义上讲，周期图可解释为第K个调和频率ωK对总平方和的贡献，这是因为分解过程把M个频率中的每一个部分分解成2个自由度的分量，当N为偶数，SIN（ωN／2）＝0，因而最后一周期的值是1个自由度的分量。周期图是谱的易变的、不相合估计量，谱密度估计通过平滑周期图而产生，平滑过程减少了估计方差，却引进了偏差，平滑过程中的权重函数W（·），经常称为核或谱窗，由WEIGHTS语句来指定与之相关的另一权重函数W（·），称为后滞窗，在其他方法中用来使相关图变得尖细，而不是使周期图平滑，许多具体的权重函数已被提出（FULLER，1976；JENKINS和WATTS，1968；PRIESTLY，1981）。由于在此处分析仅用单因素变量，不存在交叉影响的问题，因此不再对交叉周期图进行叙述。
（二）美国国际经济研究局（NBER）周期
在韦斯利·米切尔的领导下，国家经济研究局具有对经验意义上的周期作了早期的开拓性工作。米切尔感觉到，当从时间序列的周期中适当地分离出趋势来时，这种分离恰好是一种提供稳健解决办法的过程。特别指出，伯恩斯与米切尔是引用埃德文·弗里克的研究结果作为依据的。弗里克所作的研究是，对同一时间序列试验了23种不同的趋势线，最后发现的范围从3～4年直到它的十多倍。关于这个问题的解决办法，伯恩斯与米切尔觉得不必对时间序列作趋势调整。这就导致看待时间序列的不同方法———考虑到经济周期的阶段性，并且与以前的衰退—复苏模型相比较，这样就可以消除由于对数据的趋势调整而带来的某些问题。
1.衰退—复苏监控。
衰退—复苏分析是由杰弗里·H·摩尔提出的，是用于比较相似经济周期的一种方法。该技术可作为对当前经济周期进行监控的工具，因为它将当前经济活动与从前的周期扩张（或萎缩）相比较。这种定向于时间比较的方法最好用实例加以说明。
该方法的计算过程及结果解释基本上都是直截了当地针对这样一个问题：现在的经济运行与过去的经济周期是如何相关联的？其实际计算的时候，可以以经济周期或增长周期方面的某一特定周期（以时间序列中的特别转折点为日期）或以某一参考周期（以总体经济周期为日期）为基础。我们可以通过下面的例子来比较，通过当经济周期处于衰退状况与过去的经济周期相比较，以便确定衰退是保持以前的平均水平，还是低于或高于以前的平均水平。实际计算时，我们以工业生产作为经济周期的典型序列，其计算过程如下：
（1）通过经济周期日期组成一个时间序列。先确定比较的时间跨度（转折点的前一年至后两年）；然后按列对每一个经济周期时间组织数据。
（2）以原始转折点为基准，计算各周期的指数。在工业生产的月度数据中，每个周期的峰值点（或谷值点，如果以谷值点作为比较对象的话）被定义为100.例如，1990年1月的周期指数是这样计算的：用1990年1月份的观察值除以1990年7月份（峰值点）的观察值，其余的类推，计算结果。从表中可以看出每个周期时间转折点处的值为100，而且该周期中各点的平均值也是100.
（3）计算历史增长模型的平均值、周期模型的平均值可以按简单算术平均值、中值或其他最能反映中心趋势的方法计算。本例中，1948～1951年的各周期时间的平均值是按算术平均值计算的。如果某个周期时间在其跨度（如本例峰值后24个月）结束之前又遇到另一个转折点，那么通常应该将该周期截头去尾，本例中没有这样做。对某个周期时间截头去尾的逻辑思想是，我们考虑问题的焦点只单单是集中在衰退或复苏上。因此，一个包含有衰退的复苏时间的平均值有可能与结果相偏离。然而，如果问题的焦点只是要对时间进行比较的话，那么，各周期时间在碰到后续转折点时就不必截头去尾。实际大多数情况下，时间序列是很可能要截头去尾的。
（4）计算各周期的范围（本步骤可选）。为便于比较，各周期增长的高、低轮廓，所谓高和低分别反映距转折点某给定月数各周期的最高值和最低值。另外，所有的高值或低值所经历的路径也许能反映一种特殊的周期（是否进行本步骤需根据分析目的而定）。在上述工业生产的例子中，可以得出如下结论：在1990年衰退期，工业生产的萎缩接近于周期性萎缩的平均水平。针对不同问题，衰退—复苏分析将有不同的解决方法，但其基本方法如上所述。
2.经济指标的周期性预测。
衰退—复苏模型可以用来对当前周期的轨迹进行预测，其中有一个预测模型叫作平均复苏—衰退模型（AVERAGERECOVERYRECES-SIONMODEL，简称ARRM）。
ARRM方法很容易理解，而且应用起来也很简单。它以前文所述衰退—复苏模型为基础，然而又比前者更进一步。它要回答的问题是：如果经济变量随平均周期曲线变化的话，那么它今后的路径怎样？仅据该模型建立一个模拟对象，用来讨论可能的扩张或萎缩路径，也是很有用的。使用ARRM时，所有要做的只是按照平均增长路径或按某特定周期路径，从最后一个观察点开始作外推。如果假定现在的周期还是按从前的周期变化，那么用ARRM法对给定序列构建预测轮廓特别有用。
3.经济周期阶段分析。
经济周期阶段分析，是指将一个从波峰到波峰或从波谷到波谷的完整周期分成9个标准阶段的一种技术方法。这种方法由韦斯利·C·米切尔首先提出，并且被美国国家经济研究局（即NBER）用于分析经济过程和概括周期行为的基本模型。当阶段分析主要用于检验经济行为的周期模型时，它还能提供一些有预见性的见解，而其他经济周期分析工具一般是无法做到这一点的。
模型法或阶段分析法与衰退—复苏监控有许多相同之处。后者对经济周期的分析要么从波峰到波谷，要么从波谷到波峰，而且允许将平均周期模型与现在的周期相比较。然而，这种从转折点开始、按时间顺序对经济周期变化所作的比较，总是按转折点后相同月数进行比较，而不考虑经济周期的总长度。尽管这种方法很有用，但它还是损失了一些信息。因为周期长度并非完全相同，所以，如果只用衰退—复苏监控的话，往往很容易丢掉经济周期的动态信息。经济周期阶段分析能解决这个问题。
经济周期能被划分成相似的发展阶段。这种划分并不像衰退—复苏分析那样按时间划分，而是按增长划分的。但是，不考虑时间因素而把经济指标划分成近似重要程度的增长阶段，并不是一项很轻松的工作。因为没有任何两个经济周期是完全相同的，所以，要想从众多不规则形状的经济周期中，精确地筛选出增长阶段对应匹配的经济指标是非常困难的。因此，解决该问题的一种可行的办法是，首先将一个周期分成若干段，然后逐段将现在的发展状况与过去的增长模型相比较。这种近于标准化的增长阶段模型能够很好地应用于经济指标的周期性分析、监控和预测。
这种方法的运用过程稍微有点冗长乏味，但它能够得到关于周期行为的新见解。实际上，理查德·卡兹（RICHARDKATZ）曾经将该方法的一种变形用于波士顿公司的投资分析。整个分析过程大致分两步走：第一步，建立“经济周期段”；第二步，提出“如果这样，则将如何？”的问题。
技术方法要应用该方法，必须先选取一些初始周期参数。这些参数包括周期的类型（特定周期或参考周期）以及日期的确定方式（传统式或增长式）。参数的选择取决于研究目的。参考周期阶段的比较，允许对按相同标准时间框架排列的时间序列进行评价，而特定周期却不允许这么做。
选好周期参数之后，下一步就是确定单个时间序列的转折点，或者使用参考性传统周期或增长周期的日期。现货价格指数描绘了关于价格状况的周期模型，对该周期模型所作的检验，提供了该方法应用的一个实例，同时也显示了该方法如何被用作辅助预测工具。现货价格指数既是一般经济周期又是通货膨胀周期中具有主导意义的周期性指标，它一般用作对拍卖市场或弹性价格市场需求敏感的测度。现代宏观经济分析倾向于将市场按两种价格反映区分开来：①弹性价格市场，指以价格为供求平衡调节机制的市场；②管制价格或固定价格市场，指由产量作为调节市场供求平衡机制的市场。现货价格指数反映拍卖市场的总体价格水平，因此它易受周期性摆动的影响。所以，现货价格指数的时间序列分析可用作模型分析应用的一个很好实例。
对现货价格指数按它自己特定的周期来分析。尽管有更精巧的方法可用于获得周期转折点日期，但本例只是简单地凭直观来选择转折点。在转折点的基础上分离出9个完整的周期（从波谷到波谷），然后，每个周期按如下规则分成9个阶段：
（1）以转折点为中心，取3个月平均，形成一个转折带。转折带的逻辑思想是：NBER的转折点概念不是一个统计现象而是一个经济现象，而且这种平均化确保不出现统计上的突然拐点。
（2）将整个周期的扩张和萎缩阶段尽可能均等地分成3段。当不可能做到这一点时，对居中的1／3作适当调整。
（3）剔除内周期趋势。这在第（1）步计算周基时就完成了，所谓周基是指整个周期的平均值。然后用阶段平均值除以各自相关的周基。
这些NBER规则简单明了，而且运用起来也很方便。另外，它们还有一套惯例，并提供了一套用于经济周期分析的标准。
列出了按现货价格指数特定周期确定的转折点时间。因为波谷到波谷周期都经过检验，所以9个完整的周期都可用于分析。
一旦确定了周期时间，下一步就是确定各阶段的长度。周期1的计算过程将详细列出。其他8个周期的计算可如法炮制。列出了周期1的阶段划分及各段长度。
这里有必要对几点惯例作如下说明：①周期段按惯例用罗马数字表示；②如前所述，转折点时间以转折点为中心，按3个月跨度进行平均化；③尽管这张表中不太明显，但是对于相邻周期来说，段I和段IV的周期时间是相同的。
例如，周期1的段IV从1953年9月～1953年11月，而周期2的段I与此相同———某周期的端谷与下一个周期的初谷是完全一样的。如果检验的是波峰至波峰周期，那么某周期的端峰与下一周期的初峰是完全等同的。尽管这两个阶段跨越相同的期间，但用来代表内部趋势运动的周期平均值是不同的。
再下一步来求每个周期序列的平均值。本例共计算了90个平均值（9个周期乘以9个阶段，再加上9个全周期平均值）。对于这一步，我们可以用计算机来实现，以加快分析的进程。
全周期平均值也称周基，它用于计算平均周期相对数。用各周期段的平均值除以周基就得到周期相对数，用它来衡量整个周期内扩张期间和萎缩期间各阶段变化百分率。这些周期相对数一般用指数表示（用变化率乘以100）。现货价格指数的最终计算结果。
一旦各阶段都计算完毕，就可以用这种方法对当前经济活动进行监控和预测了。尽管这种框架从未用作预测工具，但是用它来检验所研究指标的可能增长路径还是可以的。为了说明这一点，考虑1984年4月以来的三种“如果……如何？”情况，以便对现货价格进行预测。这三种情况分别是：①如果现阶段长度等于平均周期段长度将如何？②如果时间序列在阶段ⅱ不变将会如何？③如果每段增长率不管时间多长都等于该段平均值又将如何？当仅已知前8个周期，展示了自1984年4月以来的远景预测情况。
情况A：假设当前周期与每段平均月数同步扩张。如果这个假设为真，那么现货价格对该周期的该阶段而言将以12.3%的水平达到第二个增长率高峰。这种情况因为与该时期其他信息相矛盾而被否定。
情况B：假设现货价格在周期的阶段I不变。这将是最糟糕的一种情形，因为它指向历史上迅速地通货膨胀。这种情况同样被否定，因为它显然不现实。
情况C：假设现货价格增长与每段中值的增长相一致，这种情况看来是最合理的。然而，它表明现货价格指数按月反弹快于以前的经验显示。另外，这种情况还认为，现货价格指数的增长正在减缓，而且很可能出现一个增长率高峰。后来的事实表明，1984年5月现货价格指数达到峰值。
经济周期阶段分析是一种强有力的分析工具，如同本例所表明的那样，尽管它可以用于预测，但它不能视为一种独立的工具，而只能作为一种辅助性方法。
4.经济周期的概括统计。
伯恩斯和米切尔在他们的经典著作《经济周期的计量》一书中，为研究者们提供了大量的用于比较和评估经济周期与周期阶段的概括性计量方法。虽然其中有些方法已经叙述过，但其他的一些概括统计也是值得注意的。
反映经济周期活动中心趋势的一种最简单的计量方法是，用均值或平均偏差来捕捉离中趋势。另外，伯恩斯与米切尔还提出了一种简洁判断，用于计量特定周期与参考周期之间的相近程度。这种计量方法称为相似性指数法，它是这样计算的：当某序列在参考周期扩张期间增长，该序列得100分；如果该序列保持不变，则得0分；如果该序列此时下降，则赋予－100分；然后计算各周期所得分数的算术平均值，就是相似性指数。
考虑下面这个例子，它概括短期利息率在整个经济周期中的平均变动模型。利息率周期可以概括成伯恩斯与米切尔的9个周期段。本例也可以作为其他经济周期概括性计量的范例。应用前文所描述的标准方法，将有关信息合并成周期相对数，每个阶段都计算平均值以及平均绝对偏差，这样就可以得到正常上限和正常下限。
分析结果表明，扩张期的持续时间按5∶1的比率超出萎缩期的持续时间。阶段分析的另一个方面是考察相邻周期段之间的变化，显示了3月期国库券利息率周期阶段之间的变化，对这些变化所作的概括性计量列在底部。从那些结果中可以得出推论：当经济走出萧条时，利息率开始回升，直到下一次萧条出现为止。
另一种用于概括经济周期，且优于伯恩斯—米切尔周期相对数法的一种替代：使用变化百分比而成为周期相对数方法的一种变形。为此，要计算各期每月变化百分比的几何平均值，使用变化百分比的一大优点是：当概括整个周期时间序列的运动时，丢失的信息较少。尽管两种方法得到的结果相同，但使用变化百分比的方法有助于揭示有关周期模型的其他令人感兴趣的信息。例如，在经济周期复苏的初始阶段，利息率向上运动达到最大，这些典型化的事实对预测是有用的。
3月期国库券利息率周期无论在扩张期、萎缩期，还是整个时期都与参考周期具有100%的一致性。无论是用周期相对数法（第4列）还是用变化百分比法（第5列），都能达到如此高的一致性。
最后指出，在伯恩斯与米切尔的概括性统计诸方法中，比较突出的一种叫趋向持续期计量法。这种方法就像记流水账一样记录发生的次数。例如，如果想要从一串数中确定正值趋向持续期，那么该序列中最高趋向持续个数为4.这种统计方法也许对概括衰退期与扩张期时间序列的易变性很有用。
5.NBER周期日期确定规则。
在伯恩斯与米切尔的《经济周期的计量》一书中所阐述的周期日期确定规则，保留了关于确定时间序列转折点的传统NBER方法的基本内容。前文提到，NBER将特定周期和参考周期区别对待，下面将分别讨论这两种周期的日期确定规则。
特定周期是指由特定时间序列中的一系列转折点观察值所组成的周期，这些转折点与整个经济周期的转折点时间可能对应，也可能不对应。转折点的选取必须满足下列规则：
（1）周期长度至少15个月，既可以从峰到峰，也可以从波谷到波谷。
（2）如果峰带或谷带是平坦的，那么最后的那个值被选为转折点。
（3）罢工活动或其他特别因素通常被忽略，如果它们的影响较小而且是完全可逆的话。
这些规则由布莱（BRY）和波申（BOSCHEN）于1971年制定（简称B－B规则），并且编入用于确定周期转折点时间的计算机子程序中。尽管在B－B原版计算机程序中没有包括转折点选取的振幅标准，但是后来，海乌德将其补充完善。海乌德振幅规则以移动标准差为基础。
用B－B计算机子程序选取特定周期转折点时间的主要步骤如下：
（1）时间序列经初步调整以后再作平滑处理，以便剔除特异值。
（2）从平滑后的序列中选取初步转折点，然后回到原始序列中；在初步转折点周围寻找试验性转折点。
（3）一旦在原始序列中找到试验性转折点之后，作周期长度检验。如果不符合周期长度标准，则将这一对周期时间排除。
（4）尽管不是B－B方法中的一部分，但我们仍然可以用海乌德振幅规则作最终的振幅检验，该检验以时间序列的移动标准差为基准。
（5）当上述各步骤的检验都通过之后，那么就确定了一系列转折点时间。
尽管NBER转折点选取方法在很大程度上凭直接观察就能得到，或者能用计算机程序（NBER程序或某些专家系统）实现，但是NBER的转折点概念———无论它是如何选取的———在概括一个时间序列的周期运动方面，并不比谱分析或别的纯统计技术的转折点效果更差。NBER转折点选取过程用的是关于现代经济活动的宽基度量法，尽管还在争论是否应包括某些特别产业活动的度量。在经济统计学不那么流行的早期，韦斯利·米切尔认为：“确定转折点时间的唯一安全的方法是：接受那些对当时的经济状况非常熟悉的人的一致意见。”而且在某程度上，这种观点至今对慕尼黑IFO研究所确定德国经济周期时间仍然有效，他们的分析基于商情调查。
与特定周期转折点时间选取相关的一个概念是参考周期转折点时间的确定。从基本概念来说，参考周期转折点时间的确定就是从一揽子经济指标中选择转折点，而这一揽子经济指标代表的是反映总量供求状况指标群的中心趋势，这个指标群被称为共生指标。扮演这种角色的经济指标包括：①实际（经过通货膨胀调整）国民生产总值或实际国内生产总值；②实际个人可支配收入；③实际最终销售额；④实际制造业及商业销售额；⑤工业生产；⑥就业状况。那么，一个参考周期年表就在一揽子共生经济指标单个转折点的中心趋势基础上形成了。
在美国，参考周期转折点时间的实际选取是由NBER的经济周期时间委员会确定的。尽管这看起来有点神秘———其实不然。该委员会的成员们总是把这个过程概括为搜寻、协商、确定三步，同时也考虑到某些特别因素。转折点时间的实际选取必然会受到非议。但是，转折点时间的最终选取确定对将来的经济分析与预测提供了框架。
6.识别经济衰退的锡斯金经验法则。
在识别是否发生经济衰退时，有一条广为参考的经验法则，即实际GNP或实际GDP连续两季减少则标志着经济开始衰退。遗憾的是，这种确定参考经济周期的捷径不总那么精确（实际上，发生在1984年的经济衰退就只有一个季度的实际萎缩）。经常被人们忽视的是，这条经验法则只是朱力斯·锡斯金制定的一系列法则中的一部分。那些识别经济衰退的粗略法则的完整叙述包括：①实际GNP或实际GDP应连续两季下降，而且工业生产应出现长达6个月的萎缩；②实际GNP／GDP应至少下降1.5%，职工工资下降1.5%，失业率至少上升2个百分点；③当用跨度为6个月的就业扩散指数来衡量时，至少有25%的产业正在扩张达6个月或者更久。
尽管锡斯金法则提供了追踪参考经济周期的一种快捷方法，但是从最近所经历的经济周期来看，有关振幅和周期长度的标准还应加以调整。因此，这里提供了一套调整后的、用于识别经济衰退的经验法则：一是实际GDP出现至少1个季度的下降，而且工业生产出现至少4～6个月的萎缩。二是下列指标中的一种或多种出现至少4～6个月的萎缩：①工业生产；②实际个人可支配收入；③就业状况；④每星期工作时数。三是所有企业扩充劳动力的就业扩散指数下降到40%以下，在1个月变化的基础上，保持低于40%至少4～6个月。失业率标准似乎不起多大作用，因为它很容易受到人口统计的影响。例如，在1990年的经济衰退时期，由于人口统计的意外收获———劳动力增长缓慢或收缩，失业率受到抑制。
7.对衰退持续时间的计量———一种经济周期持续时间模型。
一旦经济进入衰退期，一个总是令人困惑不解而又不可避免的问题是：本次衰退将持续多长时间？衰退持续时间取决于以下几个因素：①中央银行对虚弱经济的反应快慢程度；②财政政策的状况———是相对松、相对紧，还是中性的；③各经济部门间的不平衡程度，如存货总量或未完工的建筑量，或银行部门所面临困难的程度。亚瑟·伯恩斯（ARTHURBURNS）认为：“如果经济衰退的开始以财政危机为标志，或者其发展比财政危机稍微滞后一点，那么存在一种很大的可能性，即总体经济活力的下降将更加严酷，而且很可能持续异乎寻常的时间。”
尽管有许多潜在因素影响着经济衰退的持续时间，中央银行掌握着最快的政策起动器———短期利息率。它将影响经济以至于经济周期的长短。为了检验这个理论，人们构造了一个经济周期持续时间模型，它包括：①联邦储备局对衰退起始的反应速度，其计量方法是：经济周期达到高峰与联邦准备金率达到高峰之间间隔的月数；②联邦准备金率最近一次由低到高的变化；③经济周期高峰过后3个月的准备金率。这个模型82%地解释了经济周期持续时间的变化，而且似乎是对经济衰退最终持续时间的合理解释。表达了这个模型的结果。联邦准备金率变化（衰退之前一期）的系数为负值，这似乎与我们所期望的有点出入而稍感意外。尤其是从表面看来，衰退前利息率增长越大，则衰退持续时间越长。但是，这个回归方程表明，情况恰恰相反。也许是因为衰退前较高利息率将较快地导致某些失衡状况的改善，这最终将导致一次较短时期的衰退。虽然这个结果只应看作是试验性的，但它确实反映了经济衰退持续时间因果效应的原因。
经济周期持续时间模型的确定包括：①经济周期达到高峰与联邦准备金率达到高峰之间间隔的月数；②存款准备金率最近一次由低到高的变化；③经济周期高峰过后3个月的准备金率。
其他的经济周期持续时间模型沿着机会函数线性发展。那种方法曾经用于估计摆脱失业状况概率———一种条件概率，即某人在第N－1个星期失业的条件下，第N星期不再失业的概率。那种机会模型可以自然地拓展到经济周期阶段分析领域。例如，该机会模型可以用来计算这样一种概率，即在经济处于衰退的第N个月的条件下，下个月经济将进入扩张期的概率。
二、季节模型的计量
在前面我们介绍了一个关于时间序列分解的皮尔逊方法，这一节我们将深入考察季节调整过程。从定义来看，季节模型涉及年内的波动，而且所有季节调整方法的目的都是使那些典型模型变得平滑。但是当某个节日没有固定日期时，例如我国的春节，这样做就会遇到一些特殊问题。下面我们介绍一些更加复杂的关于季节模型计量的方法。
（一）用于人口调查的X－12法
1954年，美国人口调查局首次引入计算机程序来进行时间序列的季节调整。1955年，这个程序被一个名叫人口调查方法的程序取代。1965年10月，人口调查方法的X－11版本产生。伴随着每一次版本升级，新的方法和程序被加入到季节调整程序之中。今天，X－11版本已经作为从时间序列中提炼季节模型的基本方法。时间序列的X－12分解法从一个稍微复杂一点的等式出发，这个等式既可以用连加也可以用连乘的形式，具体如下：
O＝TC×S×TD×H×I或
O＝TC＋S＋TD＋H＋I
式中，O为原始序列；TC为包含长期趋势的周期因子（在乘法模型里TC＝T×C，在加法模型里TC＝T＋C）；S为季节因子；TD为交易日因子；H为节日因子；I为不规则成分。
这个等式不同于最初皮尔逊公式的新特点是包含交易日因子和节日因子。交易日调整主要是考虑到某给定月份中工作日数量的变化，这对零售业及财务交易活动影响重大。至于节日调整，主要是考虑到由于诸如春节、劳动节、国庆节之类的节日而引起的模型变化。X－12程序的主要步骤如下：
（1）计算节日因子。上文对此已有叙述，然而X－12季节调整程序把所有的计算过程都自动化了。
（2）计算交易日因子。X－12程序的交易日调整是通过计算每月星期工作日数对不规则成分的回归来计算交易日因子的。这种方法具有两大优点：①比建立一个独立的日活动模型要快得多；②据称它能获得更好的调整效果，因为它对多种因子的净影响作了校正。为了感觉一下交易日因子是如何得到的，请看下面这个例子。假定建立起独立信息，即零售额平均模型，指一星期内每天零售额占星期总额的百分数，具体如下：
星期天 14.3%（1／7）
星期一 10.7%（0.75／7）
星期二 10.7%（0.75／7）
星期三 10.7%（0.75／7）
星期四 10.7%（0.75／7）
星期五 14.3%（1／7）
星期六 28.6%（2／7）
一旦给定每天的平均零售额模型，就可以用每月星期天的销售总额乘以它所占的星期比重，再加一星期其他天的等权比重，从而得到任何月份的交易日调整。列出了一个假设的7月份交易日调整计算过程。
（3）计算初步季节因子。一旦整个时间序列都作了交易日调整，剩下的成分就可以表达为：
O／（TD×H）＝TC×S×I
然后，X－12程序将季节成分从趋势周期和不规则成分中分离出来，其计算过程是先计算原始序列的12个月中心移动平均，然后在此基础上计算2个月移动平均，这样就产生了趋势周期。为了排除一些随机事件的影响，特异值用3个月移动平均的3－期平均值（3×3MA）替代。对于不落在这个范围内的值，则用那一点前后两点的值的平均值替代。序列最后一个值用它前面三个值的平均值替代，序列的第一个值用它后面三个值的平均值替代。
当特异值都被替换之后，对初步季节模型作如下调整：由于12个月中心移动平均（这意味着各方将丢失6个值）而导致时间序列的第一个值和最后一个值丢失，那么，用下一年的季节因子取代序列第一个值，用第一年的季节因子取代序列最后一个值。然后将这些初步因子调整到每年的季节因子总和为1200（按月观察），这意味着任何12个月的平均值将等于全年未调整数据的平均值。
下一步就是用这些初步季节因子来调整原始数据（用待季节调整的原始数据除以因子）。
（4）确定最终季节调整因子。在这最后一步中，经初步季节调整后的时间序列又经历了一次平滑，以排除任何潜在的季节性或不规则成分影响。然后，将季节调整、交易日调整以及节日调整结合起来就得到最终调整因子。
（5）计算下一年的季节因子。下一年的季节因子由下面的外推公式（最简单的方式）得到：
SFN＋1＝SFN＋（1／2）×（SFN－SFN－1）
式中，SFN表示第N年的季节因子，第N－1年指的是一年前的同一时期（月、季、星期等）。例如，今年一月份的季节因子等于去年的季节因子加上前年与去年之差的一半。
X－12季节调整程序包含来年季节模型外推这一新的功能，这是它与早期X－11Ⅱ方法的主要区别。
（二）加拿大统计学会的X－11ARIMA变形
加拿大统计学会的埃斯特拉·必·达冈扩展了X－11程序，使其能更好地计算超出时间序列尾部一年的季节因子。X－11程序的这种变形基本上是由于并入一个博克斯－詹金斯综合自回归移动平均（AUTOREGRESSIVEINTEGRATED MOVINGAVERAGE，简称ARIMA）过程或统计模型，从而使得它能够复制未调整的时间序列，然后用ARIMA模型对未调整序列进行预测。在用标准X－11程序确定季节因子时，这些预测值被当作“实际值”。研究表明，用这种方法计算出来的季节因子很少需要修正。
（三）贝尔实验室法
在季节调整领域中相对较新的成员是季节调整———贝尔实验室法（SEASONALADJUSTMENT－BELLLABS，简称SABL）。SABL法与X－12程序享有共同的概念性重复框架，然而SABL使用阻尼平滑技术以淡化外界影响。阻尼平滑技术是本章前文所述稳健平滑技术的一项特别应用。
SABL法将时间逐一分解为趋势、季节和不规则成分，这里所说的趋势与X－12程序中的趋势周期相似。展示了SABL的简略框架。
事实经验表明，当时间序列不受外界因素影响时，SABL法得出的结果与X－11程序产生的结果相似。然而当数据不稳定的时候，SABL法能够得到更为一致的季节因子（年复一年）。
（四）其他季节调整法
由于X－11程序（现在是X－12）如此广泛流行，以致很容易让人忘记其他的季节调整法。这些不大知名的程序包括英格兰银行提出的波曼法，欧洲经济共同体提出的SEABIRD和DAINTIES方法，德国经济研究所提出的柏林ASA－Ⅲ方法，以及中央计划法（荷兰）。在对这些技术进行评价时，古柏总结道：“对于历史分析来说，所有这些方法看起来都是合适的，而且是相似的。”然而，某些方法更适合于现代经济分析。尤其是，当将调整后的季节因子与真实的历史因子相比较时，古柏发现X－11ARIMA法效果最佳（以较少的修正为衡量标准）。
三、一些思考
在结束对时间序列分解的讨论之前，很有必要提一下经常被忽略而且从未被理解过的时间序列的不规则成分，它也许包含一些有关经济过程的最有趣的历史信息。然而在统计实践中，这个不规则成分通常被忽略为毫无意义的东西。一种比较普遍的做法是，在建立模型时，当考虑了趋势项、周期项和季节项的影响之后，如果将不规则成分当作误差项，那么，我们就可以简单地假定它的数学期望或均值为零，这将意味着该成分不再是一个统计问题。但是这种假定真的很正确吗？既使不规则成分不是统计问题，难道它还会是一项经济问题吗？从概念上来说，有两种方法可以解决这个没有得到解释的波动：①重新定义趋势项、周期项和季节成分，以便将不规则成分包含在内；②把它当作一次突发性事件所包含的信息，并试着去理解它。
第一种方法需要建立起与前面讨论的概念不同的模型。随着统计模型识别技术的发展，像神经网络模型或混沌模型之类的技术方法已经成为解释周期性模型的流行方法。例如，在非线性混沌系统中，针对某个问题虽然没有唯一解，但存在一个解域。这种输出结果同样来自于神经网络系统。例如，在神经网络中，简单的“1加1”最可能产生的结果大约等于2，而不是必须精确地等于2.这段题外话还是很重要的，因为这些模型基本上从概念上排除了不规则成分的存在性。
第二种方法是从理解经济过程的观点而引发的。例如，我们也许会问：为什么在某一时间，比如说1988年5月，不规则成分出现尖峰信号？对这个问题的理解，部分地可以看作是对经济史理解的挑战。奥托·爱克斯坦，数据资源公司（DATARESOURCES，INC。简称DRI）的后期创建者和领导者，在20世纪80年代早期曾经作了一场独一无二的经济预测报告，对经济史进行了挑战性的理解。在这场报告中，他讨论了用DRI模型进行预测时产生误差的原因，认为其中某些误差应归之于税收法的变化以及其他特殊事件的影响。最后指出，把不规则成分描绘出来至少是有用的，因为在模型的误差成分中可能隐含着经济时间序列的其他子成分。
不规则成分不应该被忽略而应利用起来，最明确的是，它绝对不仅仅是噪音，理解不规则成分就是理解经济史。
在20世纪20年代，瓦伦·皮尔逊曾经提出：一个时间序列能够被分解成趋势项、周期项、季节成分以及不规则成分。他的这一观点至今仍然流行。对时间序列每一成分的计量一直都在不断地细化，而且每一成分都倾向于被独立地加以分析。但是，无论分析家们如何试图将那些成分分解开来，从概念上来说，趋势项、季节项、周期项以及不规则成分是不可分割的，时间序列的各个组成部分之间是相互影响的。因此，尽管各个成分的分解过程都是很有用的范例，但是，时间序列的这种完全分解法不应该极端化。这种警告同样也适用于皮尔逊模式的分解范例，该模式将时间序列分解成持久性成分与暂时性成分。关于皮尔逊法（或其他任何类似的范例），约瑟夫·熊彼特的评论是：时间序列能够被分解成几个组成部分，这种潜意识的假设本身就相当于一种理论或其支柱。他警告说，如果不理解这种分解的内涵，那么，提出这样的假设是很危险的。因为许多时间序列分解法实际上是试图形成一套理论，所以说，熊彼特的警告对使用者来说是很重要的。