只能被1和它本身整除的自然数就叫素数，如：2，3，5，7，11等等，也称为质数。如果一个自然数不仅能被1和它本身整除，还能被别的自然数整除，就叫合数(复合数)。1既不是素数，也不是合数。全体自然数可分为三类：1、素数、合数。而每个合数都可以表示成一些素数的乘积，因此素数可说是构成整个自然数大厦的砖瓦。
到底自然数数列中的哪些是素数呢？公元前300多年，学者埃拉托色尼提出了一种方法，他在一张纸上写上自然数列的数字，把它贴在一个柜子上，然后把其中的合数一个一个地挖去。得到一个有许多小孔的像筛子一样的东西，所有的合数都好像被筛子筛去了一样。埃拉托色尼是怎样筛法呢？他若造一张1到50的素数表，首先写上1到50的所有自然数，然后先划去1，把2留下，再划去其他所有2的倍数，把3留下。再划去其他所有3的倍数，把5留下。又划去其他所有5的倍数……以此类推，可以得到50以内的所有素数。这就是着名的素数筛选法。
如果按照埃拉托色尼的筛法，会不会划到最后都是合数呢？也就是素数的个数是不是有限的呢？约公元前275年，希腊着名的数学家欧几里德用巧妙的方法证明了素数是无限的。
很多素数的形式和性质都非常迷人，例如：
逆素数：顺着读与逆着读都是素数的数，如1949与9491，3011与1103，1453与3541等。无重逆素数，是数字都不重复的逆素数，如13与31，17与71，37与73，79与97，107与701等。
由一些特殊数码组成的数：如31，331，3331，33331，333331，3333331，以及33333331都是素数，但下一个333333331=17×19607843却是一个合数。特别着名的是全由1组成的素数。把由连续n个1组成的数记为Rn，则R2=11是一个素数，后来又发现R19、R23、R317都是素数。
在数论中，最古老、也是最基本的部分就是素数研究，其中集中了看上去极为简单、却几十年甚至几百年都难以解决的大量问题。除了“哥德巴赫猜想”等几个着名问题外，还有许多问题至今未解决。