书城科普读物新课程百科知识——数学小故事
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第35章 布丰的投针试验

1777年的某一天,法国科学家布丰(1707-1788年)的家里宾客满堂,原来他们是应主人的邀请前来观看一次奇特试验的。

试验开始,只见年已古稀的布丰先生兴致勃勃地拿出一张纸来,纸上预先画好了一条条等距离的平行线。接着他又抓出一大把原先准备好的小针,这些小针的长度都是平行线间距离的一半。然后布丰先生宣布:“请诸位把这些小针一根一根往纸上扔吧!不过,请大家务必把扔下的针是否与纸上的平行线相交告诉我。”

不知道布丰先生要玩什么把戏,客人们只好客随主意,一个个加入了试验的行列。一把小针扔完了,把它捡起来又扔,而布丰先生本人则不停地在一旁数着、记着,如此这般地忙碌了将近一个钟头。最后,布丰先生高声宣布:“先生们,我这里记录了诸位刚才的投针结果,共投针2212次,其中与平行线相交的有704次。总数2212与相交数704的比值为3.142。”说到这里,布丰先生故意停了停,并对大家报以神秘的一笑,接着有意提高声调说:“先生们,这就是圆周率π的近似值!”

听布丰这么一说,大家吃惊不小,一时异议纷纷,大家全部感到莫名其妙:“圆周率π?这可是与圆半点也不沾边的呀。”

布丰先生好像猜透了大家的心思,得意洋洋地解释道:“诸位,这里用的是概率的原理,如果大家有耐心的话,再增加投针的次数,还能得到π的更精确的近似值。不过,要想弄清其间的道理,只好请大家去看敝人的新作了。”布丰先生扬了扬自己手上的一本《或然算术试验》的书。

π在这种纷纭杂乱的场合出现,实在是出乎人们的意料,然而它却是千真万确的事实。由于投针试验的问题,是布丰先生最先提出的,所以数学史上就称它为布丰问题,布丰得出的一般结果是:如果纸上两平行线间相距为d,小针长为L,投针的次数为n,投的针当中与平行线相交的次数为m,那么当n相当大时有:π≈2Ln/dm

在上面的故事中,针长L恰等于平行线间距离d的一半,所以代入上面公式简化得:π≈n/m

应该值得一提的是,后来有不少人步布丰先生的后尘,用同样的方法来计算π值。其中最为神奇的要算意大利数学家拉兹瑞尼。他在1901年宣称进行了多次的投针试验,每次投针数为3408次,平均相交数为2169次,代入布丰公式求得π≈3.1415929。这与π的精确值相比,一直到小数点后第七位才出现不同。用如此轻巧的办法,求得如此高精度的π值,这真是天工造物,倘若祖冲之再世,也会为之惊讶得瞠目结舌。

然而,对于拉兹瑞尼的结果,人们一向非议甚多,究其原因,也不能说都没有道理,因为在数学中可以证明,最接近π真值的,分母较小的几个分数是:

(1)22/7≈3.14(疏率)

(2)333/106≈3.1415

(3)355/113≈3.1415929(密率)

(4)103993/33102≈3.141592653

但拉兹瑞尼竟然投出了密率,对于万次之内的投掷,不可能有更好的结果了。难怪有不少人提出怀疑:“有这么巧吗?”但多数人鉴于拉兹瑞尼一生勤勉谨慎,认为他确实是“碰上了好运气”。事实究竟如何,现在也无从考查了。

聪明的读者朋友,你一定还想知道布丰先生投针试验的原理,其实这也没什么神秘,下面就是一个简单而巧妙的证明。

把一根铁丝弯成一个圆圈,使它的直径正好等于平行线间的距离d。可以想象得到,对于这样的圆圈来说,不管怎么扔下,都将和平行线有两个交点。因此,如果圆圈扔下的次数为n次,那么相交的交点总数必为2n。

现在设想把圆圈拉直,变成一条长为πd的铁丝。显然,这样的铁丝扔下时与平行线相交的情形要比圆圈复杂些,可能有4个交点,3个交点,2个交点,1个交点,甚至不相交。

因为圆圈和直线的长度都是πd,根据机会均等的原理,当它们投掷次数较多,且相等时,两者与平行线相交的交点的总数可能也是一样的。这就是说,当长为πd的铁丝扔下n次时,与平行线相交的交点总数应大致为2n。

现在再讨论铁丝长为L的情形。当投掷次数n增大的时候,这种铁丝跟平行线相交的交点总数m应当与长度L成正比,因而有n:m=kL,式中k是比例系数。

为了求出k来,只需注意到,对于L=πk的特殊情形,有m=2n。于是求得k=2n/πd。代入前式就有:m≈2Ln/πd从而π≈2Ln/dm

这个式子,就是着名的布丰公式。

运用布丰公式,我们还可设计出求根2,根3,根5等数的近似值的投针试验。读者朋友们,难道你不想试一试吗?这只需把L/d选得等于你那个数就行,不过这时的π要当成知道的。

瞧,多么奇妙的概率!