摆线是数学中众多的迷人曲线之一。它是这样定义的：一个圆沿一直线缓慢地滚动，则圆上一固定点所描出的轨迹称为摆线。
摆线最早可见于公元1501年出版的C.鲍威尔的一本书中。但在17世纪，大批卓越的数学家（如伽利略，帕斯卡，托里拆利，笛卡儿，费尔马，伍任，瓦里斯，惠更斯，约翰·伯努里，莱布尼兹，牛顿等等）热心于发现这一曲线的性质。17世纪是人们对数学力学和数学运动学爱好的年代，这能解释人们为什么对摆线怀有强烈的兴趣。在这一时期，伴随着许多发现，也出现了众多有关发现权的争议，剽窃的指责，以及抹煞他人工作的现象。这样，作为一种结果，摆线被贴上了引发争议的“金苹果”和“几何的海玲”的标签。
17世纪，人们发现摆线具有如下性质：
1.它的长度等于旋转圆直径的4倍。尤为令人感兴趣的是，它的长度是一个不依赖于π的有理数。
2.在弧线下的面积，是旋转圆面积的三倍。
3.圆上描出摆线的那个点，具有不同的速度——事实上，在P5的地方它甚至是静止的。
4.当弹子从一个摆线形状的容器的不同点放开时，它们会同时到达底部。
有许多与摆线有连带关系的令人迷惘的悖论。其中火车悖论格外引人关注：在任一瞬间，一辆移动的火车绝不可能整个地都朝机车拖动的方向移动。火车上总有一部分是朝火车运动的相反方向移动！
这个悖论能够用摆线加以说明。这里形成的曲线称为长幅摆线——该曲线由旋转轮外沿的固定点描出。当火车的车轮向右滚动的时候，它凸出部分外沿的点，却沿长幅摆线的轨迹向左方向（相反的方向）移动。
上述定理可以用著名的英国谜题专家H.E.杜登尼（Henry Ernest Dudeney，1847—1930年）的一个谜题加以说明。杜登尼把一个等边三角形通过切为四块，变为一个正方形。
这里有四块，把它们拼在一起，先组成一个等边三角形，然后再组成一个正方形。