（1）4＋11＋5＋10＝9＋6＋7＋8
（2）4＋11＋6＋9＝5＋10＋7＋8
（3）4＋5＋7＋8＝6＋9＋5＋10
例20.25、0.75、22.5、、。
解：这类题的各个数间都存在一定的相互关系，并不是彼此孤立毫无联的。它们都隐含着递增、递减或倍数关系。要认真地观察、分析，找出其中的规律。
本题的各数，愈向后愈大，而且相邻两数间，后一个数总是它前一个数的3倍。发现这个规律后，往后的数便可很容易的填出来了。
即：6.75（2.25×3）、20.25（6.75×3）
例30、1、1、2、3、5、8、、。
解：这道题初看似无规律：数字虽然逐渐增多，但增多的部分并不相同，又不成倍数关系。仔细分析后，便可发现：后面的数总是它前面两个数的和，这样，问题便迎刃而解了。接下去应填：13（5＋8＝13）、21（8＋13＝21）。
例4解：每个分数的分子都比分母大，而且差数都是3。因此可推断最后一个分数的分子是23＋3＝26，即“？”处应填26。
例5解：每个图中，上端的数是被除数，下端的两个数是除数和商。因此，？＝63÷9＝7。
例6解：这类题必须仔细观察，反复分析，才能发现共同的规律，否则，把部分数间的关系当作共同特点，便误入歧途了。本题对顶的两个数间存在共同规律，即较大的数都是较小数的2倍。题中不存在小数，因此，与19相对的数应是19×2＝38，即：？＝38。
例7解：这三组数，初看毫无联系。实际，每组数的第一个数都是第二、三两个数和的2倍。即：
36＝（15＋3）×2
24＝（5＋7）×2
据此，？＝（13＋8）×2＝42
例8请你把27、32、50、72各分成任意的四个数，将分成的四个数分别填入各个括号中，使等式成立。
（1）分解27：()＋2＝()－2＝()×2＝()÷2
（2）分解32：()＋3＝()－3＝()×3＝()÷3
（3）分解50：()＋4＝()－4＝()×4＝()÷4
（4）分解72：()＋5＝()－5＝()×5＝()÷5
解：这类问题假如全靠尝试是十分麻烦的。分解成的四个数，分别填入四个括号，各式得数要相等，四个数的和还必须等于原数。
怎样分解原数便成了关键！
从乘式入手，从最小的数1试验，而后再调整。以（1）为例，若乘式填1，则全式仍保持相等就成了：
（0）＋2＝（4）－2＝（1）×2＝（4）÷2
式子虽成立了，但是分解的四个数和为：0＋4＋1＋4＝9，是27的三分之一！所以，乘式原来填的1太小了，应再扩大3倍，这样再保持等式成立，便成了：
（4）＋2＝（8）－2＝（3）×2＝（12）÷2
各式的结果都等于6。
分解的四个数和是：4＋8＋3＋12＝27。
其他各题，读者自己填填看。
例9找出头、脚数字间的规律，把“？”换成数。
解：寻找数字间的内在关系，可以把每个图作为独立的个体，考察头、脚间三个数的内在联系。也可以把三个人当作一个整体，考察数字的演化过程，用数字间加、减、乘、除，找出存在的共同规律。
若从头上的数字变化，仅三个人5→4→？看不出规律。经尝试，每个人“头上”的数，都是“脚”上数字和的一半。可知“？”是（2＋8）÷2＝5。
例10将“？”填上合适的数：
解：头手共三个数。
若把三人当作整体，仍看不出头上数的变化规律。把每个人当作独立的个体。经尝试，前二人头上数的规律为：中数为两边数的差。从而可知“？”应填上“2”，即5-3的差。
例11解：第一人头手三数是19、21、23。
第二个人头手三数是71、73、75。
都是连续的三个奇数。第三人手中的两个数也是奇数，可知“？”应填“5”。
例12解：小动物的四条腿和尾上都有数字。共五个。要我们求解的是尾上的数字。应考虑尾上的数可能是由四条腿上的数字而来。
通过多方尝试，第一个动物中，前两腿中两数和与后两腿中两数和相减，差为5。即：（8＋6）－（4＋5）＝5。可知后一动物中，？＝（3＋9）－（4＋2）＝6。
例12解：小姑娘的头、手、足共有五个数字。头上的数字很可能是其余数字的计算结果。
经检验，两手数字和与两足数字和的差，恰为头上数字。
可知：？＝（4＋15）－（13＋3）＝3
例14解：三角形内角三个数的和恰为中心数。可知？＝9＋8＋1＝18
幻方
例1将1～9九个自然数，空格内，使横、坚、斜对角每三个数的和都是15。
解：在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中，图中任意一横行、一纵列及对角线的几个数之和都相等，具有这种性质的图表，称为“幻方”。我国古代称为“河图”、“洛书”，又叫“纵横图”。
由三行三列数组成的幻方，称为“三阶幻方”。制作这种幻方的方法是：把九个自然数，按照从小到大的递增次序斜排，然后把上、下两数对调，左、右两数也对调，最后再把中部四个数各向外拉出到正方形的四角，幻方就制成了。
幻方的神气奇有趣，还不仅仅表现在纵、横、斜和为15，它具备的许多奇妙特性，人们尚未充分认识。
例1将1～9九个自然数，填在3×3正方形表格内，使其中每一横行、每一竖列及任一条对角线上的三数之和都不等，并且相邻的两个数在图中位置也相邻。
解：具备题中特征的称为“反幻方”。
据美国当代科普作家加德纳研究发现，符合上述条件的反幻方，只有两个，即：反幻方也很有趣，瞧，它的数字排列酷似个螺旋，前一个由外向内转，后一个由内向外转。
这使我们想到古代的回文诗。
莺啼岸柳
月明弄
夜睛春
这是一首联珠顶真的回文诗，自外向内再自内向外，如螺旋，可读作：莺啼岸柳弄春晴，柳弄春晴夜月明。
明月夜睛春弄柳，睛春弄柳岸啼莺。
看一下，它们多么相像！
例2上海博物馆存有一块伊斯兰教徒佩带的玉挂，它是从浦东陆家嘴附近一个名叫陆深的墓中发现的。据考证，陆深是三国时东吴大将陆逊的后人。玉挂的正面刻有：“万物非主，惟其真宰，穆罕默德为其使者。”玉挂的反面却整齐地刻着16个阿拉伯数字，经过专家的破译，原来是个四阶完全幻方。请你认真地计算一下，这个幻方有哪些更奇特的特点？
解：这个幻方具有如下特点：
①纵、横、对角线四数之和（34）都相等。
②对角线“折断”平行线上四数之和也相等，如：
11＋13＋4＋6＝3＋5＋14＋12
＝34
14＋2＋3＋15＝5＋9＋12＋8
＝13＋16＋4＋1
＝11＋7＋6＋10
③幻方中，任何一个2×2正方形中四数之和也是相等的，例如：
8＋11＋13＋2＝11＋14＋2＋7
＝14＋1＋7＋12
＝34……
④幻方中，任何一个3×3正方形，它的四个角数字之和也是34如：
8＋9＋14＋3＝11＋6＋1＋16
＝34……
数阵
数阵是由幻方演化出来的另一种数字图。幻方一般均为正方形。图中纵、横、对角线数字和相等。数阵则不仅有正方形、长方形，还有三角形、圆、多边形、星形、花瓣形、十字形，甚至多种图形的组合。变幻多姿，奇趣迷人。一般按数字的组合形式，将其分为三类，即辐射型数阵、封闭型数阵、复合型数阵。
数阵的特点是：每一条直线段或由若干线段组成的封闭线上的数字和相等。
它的表达形式多为给出一定数量的数字，要求填入指定的图中，使其具备数阵的特点。
解数阵问题的一般思路是：
1.求出条件中若干已知数字的和。
2.根据“和相等”，列出关系式，找出关键数——重复使用的数。
3.确定重复用数后，对照“和相等”的条件，用尝试的方法，求出其他各数。有时，因数字存在不同的组合方法，答案往往不是唯一的。
一、辐射型数阵
例1将1～5五个数字，分别填入的五个○中，使横、竖线上的三个数字和都是10。
解：已给出的五个数字和是：
1＋2＋3＋4＋5＝15
题中要求横、竖每条线上数字和都是10，两条线合起来便是20了。20－15＝5，怎样才能增加5呢？因为中心的一个数是个重复使用数。只有5连加两次才能使五个数字的和增加5，关键找到了，中心数必须填5。确定了中心数后，按余下的1、2、3、4，分别填在横、竖线的两端，使每条线上数的和是10，便可以了。
例2将1～7七个数字，分别填入各个○内，使每条线上的三个数和相等。
解：共有3条线，若每条线数字和相等，三条线的数字总和必为3的倍数。
设中心数为a，则a被重复使用了2次。即，
1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋2a＝28＋2a
28＋2a应能被3整除。
（28＋2a）÷3＝28÷3＋2a÷3
其中28÷3＝9余1，所以2a÷3应余2。由此，便可推得a只能是1、4、7三数。
当a＝1时，28＋2a＝3030÷3＝10，其他两数的和是10－1＝9，只要把余下的2、3、4、5、6、7，按和为9分成三组填入两端即可。
同理可求得a＝4、a＝7两端应填入的数。
例3将从1开始的连续自然数填入各○中，使每条线上的数字和相等。
解：共有三条线，若每条线数字和相等，三条线的数字总和必为3的倍数。
设中心数为a，a被重复使用了两次，即：
1＋2＋3＋……＋10＋2a＝55＋2a
55＋2a应能被3整除。
（55＋2a）÷3＝55÷3＋2a÷3
其中，55÷3＝18余1，所以2a÷3应余2。由此，可推知a只能在1、4、7中挑选。
在a＝1时，55＋2a＝57，57÷3＝19，即中心数若填1，各条线上的数字和应为19。但是除掉中心数1，在其余九个数字中，只有两组可满足这一条件，即：
9＋7＋2＝18
8＋6＋4＝18
7＋5＋3＝15
所以，a不能填1。
经试验，a＝7时，余下的数组合为12（19－7＝12），也不能满足条件。因此，确定a只能填4。
例4将1～9九个数字，填入各○中，使纵、横两条线上的数字和相等。
解：1～9九个数字和是：1＋2＋3＋……＋9＝5×9＝45
把45平分成两份：45÷2＝22余1。
这就是说，若使每行数字和为23，则需把1重复加一次，即中心数填1；若使数字和为24，中心数应填3……。总而言之，因45÷2余数是1，只能使1、3、5、7、9各个奇数重复使用，才有可能使横、竖行的数字和相等。因而，此题可有多种解法。但中心数必须是9以内的奇数。
例5将1～11十一个数字，填入各○中，使每条线段上的数字和相等。
解：图中共有五条线段，全部数字的总和必须是5的倍数，每条线上的数字和才能相等。
1～11十一个数字和为66，66÷5＝13余1，必须再增加4，可使各线上数字和为14。共五条线，中心数重复使用4次，填1恰符合条件。
此题的基本解法是：中心数重复使用次数与中心数的积，加上原余数1，所得的和必须是5的倍数。据此，中心数填6、11均可得解。
二、封闭型数阵
例1把2、3、4、5、6、7六个数字，分别填入○中，使三角形各边上的数字和都是12。
解：要使三角形每边上的数字和都是12，则三条边的数字和便是12×3＝36，而2＋3＋4＋5＋6＋7＝27，36与27相差9。
三个角顶的数字都重复使用两次，只有这三个数字的和是9，才能符合条件。确定了角顶的数字，其他各数通过尝试便容易求得了！
这题还可有许多解法，上例只是其中一种。
例2把1～9九个数字，分别填入○中，使每边上四个数的和都是21。
解：要使三角形每条边上的数字和是21，则三条边的数字和便是：21×3＝63。而1～9九个数字的和只有45。45比63少18，只有使三角形三个顶角的数字和为18，重复使用两次，才能使总和增加18。所以应确定顶点的三个数。上面是填法中的一种。确定了顶角的数后，其他各数便容易了。
例3有四个互相联系的三角形。把1～9九个数字，填入○中，使每个三角形中数字的和都是15。
解：每个三角形数字和都是15，四个三角形的数字和便是：15×4＝60，而1～9九个数字和只有45。45比60少15。怎样才能使它增加15呢？靠数字重复使用才能解决。