古代记数的方法
从远古时代文明发展的最初阶段起，先民们为了计算猎物，分配食物，不断地积累着关于事物数量的知识。人们认识数是从“有”开始的，起初略知“一”、“二”，以后在社会生产和社会实践中不断积累，知道的数目才逐渐增多。
据调查，新中国成立以前，在有些文化发展比较缓慢的少数民族中，最多还只能数到“3”或“10”，再多就数不清了。这大体上反映了文明初期先民的识数状况。随着识数的增多，在对具体事物个数抽象的基础上产生了数，有了记数的符号。
我国古代记数的符号，大致有两个系统，一个是算码，一个是数字。前者多用于商业和数学书籍，后者多用于文书和典籍中记录数字。后来又从域外传入了阿拉伯数字和罗马数字。
罗马数字约在13世纪末或14世纪初传入我国。直到清中期以后才对它的记数方法有较为详细的介绍。它主要用于表示时辰，出现在钟表和天文仪器上，并未在实际计算中使用，所以基本上没有对我国记数方法产生太大的影响。
负数的使用
我国古代的数学家很早就引进了负数。在我国古代秦、汉时期的算经《九章算术》的第八章“方程”中，就已经介绍了负数，把“卖（收入钱）”作为正，“买（付出钱）”作为负，把“余钱”作为正，“不足钱”作为负等。
该书还指出：“两算得失相反，要以正负以名之”。当时是用算筹来进行计算的，所以在算筹中，相应规定以红筹为正，黑筹为负；或将算筹直列作正，斜置作负。这样，遇到具有相反意义的量，就能用正负数明确地区别了。
在《九章算术》中，除了引进正负数的概念外，还完整地记载了正负数的运算法则，实际上是正负数加减法的运算法则。书中记录说：同号两数相减，等于其绝对值相减；异号两数相减，等于其绝对值相加；零减正数得负数，零减负数得正数。异号两数相加，等于其绝对值相减；同号两数相加，等于其绝对值相加；零加正数得正数，零加负数得负数。
在国外，负数出现得很晚，直至1150年（比《九章算术》成书晚1000多年），印度人巴土卡洛才首先提到了负数。
分数的运用
我国是世界上最早运用分数的国家，在《九章算术》中就有了系统的分数运算方法，这比欧洲大约早1400年。
在《九章算术》中，讲到了约分、合分（分数加法）、减分（分数减法）、乘分（分数乘法）、除分（分数除法）的法则，与我们现在的分数运算法则完全相同。另外，还记载了课分（比较分数大小）、平分（求分数的平均值）等关于分数的知识，是世界上最早的系统叙述分数的着作。
小数最早使用在什么时代
汉朝人刘徽在《九章算术注》中介绍，开方不尽时用十进分数（徽数，即小数）去逼近，首先提出了关于十进小数的概念。
到1300年前后，元代刘瑾所着《律吕成书》中，已将106368.6312写成把小数部分降低一行写在整数部分的后边。而西方的斯台汶直到1585年才有十进小数的概念，且他的表示方法远不如中国先进。
勾股定理的发明
勾股定理，即直角三角形中夹直角两边的平方和，等于直角的对边的平方。这是几何学中最重要的一条定理，用途很广。
我国古代称直角边为“勾”与“股”，斜边为“弦”或“径”，因而将这条定理称为“勾股定理”。这条定理是谁首次在理论上阐明的呢？
据《九章算术》记载，勾股定理是由距今3000多年前周朝的商高发现的。据说周公听说商高精通数学，就问商高：古时候伏羲观测天制历法，而天无台阶可攀，也难用尺寸度量，请问数从何而来？商高回答说是通过测量计算而得出的。而测量工具“矩”是将一条木头按三、四、五比例分为三段做成的直角三角形，“折矩以为勾，广三，股修四，径隅五”，“故禹之所以治天下者，此数之所生也”。周公又“请问用矩之道”，商高详细讲解了各种用矩测量的方法。最后周公叹服地说：“善哉。”
由于这个典故，在我国，勾股定理又称“商高定理”。
圆周率溯源
圆周率是指圆的周长和同一圆的直径的比率。它的应用范围很广，现在很多涉及圆的问题，都需要用圆周率来推算。
我国古代的劳动人民在很早以前就已经在生产实践中开始应用圆周率了。最早求得的圆周率值是“3”，这当然是很不精确的。随着时代的发展，科学越来越进步，西汉末年时，刘歆又得出3.1547的圆周率值；东汉张衡算出3.1622的圆周率值，但这些仍然不够精确。
三国末年时，数学家刘徽创造了用割圆术求圆周率的方法，求得3.141024的圆周率值。这是我国古代关于圆周率研究中的一个光辉成就。
后来，南北朝时期南朝杰出的数学家祖冲之（423～500年)，求出圆周率在3.1415926和3.1415927之间，还保留了两个用分数表示圆周率的数据，其中较精确的称密率为355／113，还有约率为22／7。这与现代求得的圆周率的真值很相近，是当时最精确的圆周率。
祖冲之算出来的结果有7位小数，科学家们推测，他在运算过程中，至少保留12位小数。12位小数的乘方，尤其是开方，运算起来极其麻烦。没有技巧和毅力，是无法完成这上万次繁难复杂的运算的。在欧洲，到1573年，德国的奥托才求得了这数值的近似值，比祖冲之晚1000年。
十进制的应用
十进制是中国人民的一项杰出创造，在世界数学史上有重要意义。《卜辞》中记载说，商代的人们已经学会用一、二、三、四、五、六、七、八、九、十、百、千、万这13个单字记十万以内的任何数字，但是现在能够证实的当时最大的数字是三万。甲骨卜辞中甚至还有奇数、偶数和倍数的概念。
在春秋战国时代，我国古代人就已经能熟练地运用十进位制算筹记数法，它和现代通用的十进位笔算记数法基本一样。着名的英国科学史学家李约瑟教授曾对中国古代记数法予以很高的评价：“如果没有这种十进制，就几乎不可能出现我们现在这个统一化的世界了”。
九九表的历史
现在学生学的九九乘法表。是从一一得一开始，到九九八十一止。而古代却是倒过来的，从九九八十一开始，到二二得四止，因此称为“九九表”。
我国使用九九表的历史较早，在《荀子》、《管子》、《淮南子》、《战国策》等书中，就能找到“三九二十七”、“六八四十八”、“四八三十二”、“六六三十六”等句子。由此可见，早在春秋战国时期，“九九表”就已经开始流行了。
我国最早的数学文献
我国最早的数学文献见于战国时尸佼着的《尸子》。在《尸子》中，有这样的记载：“古者，任为规、矩、准、绳，使下仿焉。”由此可见，我国早在2500多年前，就已有“圆、方、平、直”等形的概念。
《九章算术》的成就
《九章算术》是中国古代数学专着，是算经十书中最重要的一种。该书成书于东汉初年（公元1世纪），是几代人共同劳动的结晶，它的出现标志着中国古代数学体系的形成。
《九章算术》问世以后，受到很多数学家的推崇，唐宋两代都由国家明令规定为教科书。1084年由当时的北宋朝廷进行刊刻，是世界上最早的印刷本数学书。
《九章算术》的数学成就主要体现在以下方面：首次提出了分数的概念；提出了整套的比例理论；介绍了开平方、开立方的方法；采用分离系数的方法表示线性方程组，相当于现在的矩阵；引进和使用了负数；提出了勾股数问题的通解公式；提出了各种多边形、圆、弓形等的面积公式等。
算盘的起源
算盘是中国古代劳动人民的一项发明创造，是我国的传统国宝之一。天津达仁堂药店保存着一架长36厘米、宽26厘米，共117档的大算盘。这架已有一二百年历史的算盘是我国现存最大的一只算盘。
然而，中国是什么时候开始有算盘的呢？这个问题在学术界还一直存在着争议。
东汉数学家徐岳写过一部《数术记遗》，其中着录了十四种算法，第十三种即称“珠算”，里面的文字，被认为是最早关于珠算的记载。但是有的学者认为，《数术记遗》一书上描述的珠算不同于现在使用的串档算盘，而是一种“游珠算板”，和后来出现的珠算是完全不同的。
到了宋元时，算盘已经非常流行了。宋代的《谢察微算经》载有“算盘之中……横梁隔木”。算盘中有横梁隔木，这和近代的算盘相类似。在宋代名画《清明上河图》中，画有一家药铺，其正面柜台上也放有一架算盘。宋元之间的学者刘因在他的《静修先生文集》中载有算盘诗。元末陶宗仪《南村辍耕录》“井珠”条有“算盘珠”，“拨之则动”的“走盘珠”的比喻。
宋代的算盘从形制看已较成熟，没有新生事物常有的那种笨拙或粗糙。因此，较多的算学家认为算盘的诞生还可上推到唐代。
最早的雕版印刷品
雕版印刷术是我国古代四大发明之一，它在唐朝就非常流行了。雕版印刷的出现是我国历史上印章与拓石结合的结果。所谓拓石就是用纸在刻有文字的石碑上拓印。人们把坚韧柔软的白纸先用水浸湿贴在石碑的文字上，然后用碎布、帛等扎成的小槌子，在纸面轻轻地均匀捶拍，再刷上一层墨汁，略干后揭下纸张，就成了黑底白字的读物。
1900年，有一个王道士在甘肃敦煌千佛洞发现了一册印刷的《金刚经》。这部《金刚经》长约一丈六尺、高约一尺，它是由七个印张粘连而成的卷子。卷首有一幅画，上面画着释迦牟尼对他的弟子说法的神话故事，神态生动，后面是《金刚经》的全文。卷末写道：“咸通九年四月十五日王车介为二亲敬造普施。”
这本书是世界上迄今为止发现的最早的雕版印刷书籍。咸通九年是公元868年，离现在已有1000多年了。
活字印刷术是怎样发明的
印刷术是中国古代四大发明之一。它开始于隋朝的雕版印刷术，到了北宋仁宗时，毕升又发明了“活字印刷术”，并由蒙古人传到了欧洲。所以后人称毕升为印刷术的始祖。
根据沈括《梦溪笔谈》记载，活字印刷术分为三道工序。
首先，用胶泥做成一个个四方长柱体，一面刻上单字，再用火烧硬，这就是一个个的活字。这是活字印刷的基本工具。然后在印书的时候，先预备好一块铁板，板上敷一层松脂、蜡和纸灰等合制的药品，铁板四周围放着一个铁框，在铁框内密密地排满活字，满一铁框为一版，再将铁板放在火上烘烤，使铁板上的药品稍稍熔化。另外用一块平板在排好的活字上面压一压，把字压平，一块活字版就排好了。它同雕版一样，只要在字上涂墨，就可以印刷了。这就是最早发明的活字印刷术。这种胶泥活字称为泥活字。
在这一过程中，制字、排版、印刷这三个现代活字印刷术的主要步骤都已具备了。
后来，元代着名农学家与机械学家王祯发明了木活字，并创造出比较简捷的适于汉字特点的转盘排字方法。后来又发明了金属活字，使活字印刷术得到了改进。
造纸始于何时
造纸术是我国古代四大发明之一，作为书写材料的纸，在其历史发展中有几千年的演变过程。在纸没有发明以前，我国记录事物多靠龟甲、兽骨、金石、竹简、木牍、绢帛之类。所有这些材料均不便于使用。随着社会文化的发展，对书写材料的需要与日俱增，最后导致造纸术的发明。
关于造纸术的起源，过去多是沿袭公元6世纪的历史学家范晔在《后汉书·蔡伦传》中的说法，认为纸是东汉的宦官蔡伦于公元105年发明的。然而1957年在西安市郊灞桥发掘的古墓中，发现了88片古纸，化验证明系以大麻和少量苎麻的纤维为原料制成的，年代不晚于汉武帝时（公元前140～前87年），故称灞桥纸，比“蔡侯纸”要早200多年，科技人员认定这是世界上最早的植物纤维纸。
由此可见，早在公元前2世纪，我国劳动人民就已经发明了造纸术，不过早期的西汉麻纸比较粗糙，不便书写。到了公元2世纪，在宫廷中任尚方令的蔡伦，凭借充足的人力和物力，监制并且组织生产了一批良纸，于公元105年献给朝廷，和帝大悦，在嘉奖蔡伦的同时，立即通令全国采用。由于蔡伦曾被封为“龙亭侯”，后人便把他组织监制的纸叫做“蔡侯纸”。
还魂纸是一种什么纸
我国不仅发明了造纸术，而且是世界上最早使用废纸造纸的国家。用废纸做原料生产的再生纸，古人称为“还魂纸”。明末宋应星在《天工开物》记载有：“废纸洗去朱墨污秽，浸烂入槽再造，全省从前煮浸之力，依然成纸，名曰‘还魂纸’。”
“还魂纸”的历史可以追溯到北宋时期。敦煌石窟《救苦众生苦难经》使用的纸就是还魂纸。在经卷的反面可以看到三片泛红的故纸残片，纸片上有粗横帘纹，纹宽约2毫米，由麻纤维制成，麻筋较粗。这显然是三片抄经前未及捣烂的废纸，它有力地证明了当时的造纸原料中有废纸。该经卷的经尾上写有“乾德伍年丁卯岁七月二十四日善兴写经”的字样，说明写经年代为公元967年。
西方人曾认为废纸造纸是由德国人19世纪末首创的，其实他们至少比中国晚900多年。
取火小史
根据传说，大约在6000多年前的燧人氏时代，人们是通过钻木来取火的。但是，并不是所有的木柴都能钻出火种，人们在长期的实践中发现：要钻出火种，不但要选择木柴品种，而且要根据季节不同而选择不同的木柴品种。
黄帝时期，各地都设有专门管理钻火的官员。他们长年负责选用能钻出火的木柴。如春季钻木取火必须选用干榆木、干柳木；夏季必须选用干枣木、杏木、桑木；秋季选用柞木、樽木；冬季选用干槐木、檀木。这些木柴都能钻出火种来。古人把这种取火方法“燧”。
西周时期，人们开始掌握了人工制火技术，当时的人们用铜制作成圆形镜，中间制成凹形，取火时对着太阳，物体立即燃烧。这种方法被称为“阳燧”取火。
后来，人们又发明了“击石取火”。人人都可以随身携带，这就是“火镰”。“火镰”就是把旧棉絮用草汁一染，捡一块煫石，垫上染过的旧棉絮，用月牙铁条一击，火星就燃着了棉絮，随用随击。火镰在我国沿用了1500多年，至今，一些偏僻山区的人还在使用它。
火药的发明
火药是我国古代四大发明之一，已有1000多年的历史。许多史籍表明，最早的火药，是在公元九世纪后半期唐末宋初问世的。当时发明的火药，现在叫黑色火药，是硝石、硫磺和木炭三种粉末的混合物。
到了唐代初期，古代的炼丹家在炼丹过程中，为了控制硫磺，炼丹家把硫磺和其他物质一起加热形成化合物，来改变它容易着火的性质，这种方法称为“伏火法”。在进行硫磺“伏火”的种种实验中，发现当硫磺、木炭和硝石一起加热时，极易发生激烈的燃烧。由于硫磺和硝石在我国古医书上被列为治病的药物，所以把它们和木炭的混合物称为“火药”，意思是会着火的药。