费马向数学界宣布了26的这个独一无二的性质，然后向他们挑战：证明这是对的。他公开地承认他本人已经有了一个证明，但问题是其他人有无精妙的证明与之相匹敌？尽管这个命题很简明，证明起来却是异常地复杂，而费马特别乐于嘲弄英国数学家沃利斯和迪格比，他们两人终于不得不承认失败。但最终使费马获得最高声誉的是他对整个世界的另一个挑战，然而这个挑战却只是一个被意外发现的谜，原本从未打算作公开讨论。
页边的注记
在研究《算术》的第2卷时，费马碰到了一系列的观察、问题和解答，它们涉及毕达哥拉斯定理和毕达哥拉斯三元组。例如，丢番图讨论了特殊三元组的存在性，这种三元组构成所谓的“跛脚三角形”，即这种三角形的两条短的侧边x和y，只相差1（例如，x=20，y=21，z=29，而202+212=292）。
费马被毕达哥拉斯三元组的种类和数量之多吸引住了。他知道许多世纪以前欧几里得已经叙述过一个证明，显示事实上有无限多个毕达哥拉斯三元组存在，65这个证明概要地列出在附录5中。费马一定是凝视着丢番图对毕达哥拉斯三元组的详细描述，盘算在这方面应该添些什么进去。当他看着书页时，他开始摆弄起毕达哥拉斯方程，试图发现希腊人未曾发现的某些东西。突然，在才智迸发的一瞬间——这将使这位业余数学家之王名垂千古——费马写下了一个方程，尽管它非常类似于毕达哥拉斯的方程，但是却根本没有解存在。这就是10岁的安德鲁·怀尔斯在弥尔顿路上的图书馆中读到的那个方程。
费马不是考虑方程
x2+y2=z2，他正在考虑的是毕达哥拉斯方程的一种变异方程：
x3+y3=z3。
如同上一章提到的那样，费马只不过将幂指数从2改为3，即从平方改为立方，但是他的新方程看来却没有任何整数解。通过反复试算立即显示出，要找到两个立方数使它们加起来等于另一个立方数是困难的。难道这个小小的修改真的会使具有无限多个解的毕达哥拉斯方程变成了根本没有解的方程吗？
他进一步将幂指数改成大于3的数，得到新的方程，并且发现要寻找每一个这种方程的解有着同样的困难。按照费马的说法，似乎根本不存在这样的3个数，它们完全适合方程
xn+yn=zn，这里n代表3，4，5，…。
在《算术》这本书的靠近问题8的页边处，66他记下了他的结论：
Cubemauteminduoscuhos，aulquadratoquadratuminduosquadratoquadratos，etgencraliternullamininfinitumultraquadratumpotestateminduosciusdemnominisfasestdiridere.
不可能将一个立方数写成两个立方数之和；或者将一个4次幂写成两个4次幂之和；或者，总的来说，不可能将一个高于2次的幂写成两个同样次幂的和。
似乎没有理由认为在一切可能的数中间竟然找不到一组解，但是费马说，在数的无限世界中没有“费马三元组”的位置。这是一个异乎寻常的，但是费马却相信自己能够证明的一个结论。在列出这个结论的第一个边注后面，这个好恶作剧的天才草草写下一个附加的评注，这个评注使一代又一代的数学家们为之苦恼：
Cuiusreidemonstrationemmirabilemsanedetexihancmarginisexiguitasnoncaperet.
我有一个对这个命题的十分美妙的证明，这里空白太小，写不下。
这就是最让人恼火的费马。他自己的话暗示人们，他由于发现这个“十分美妙”的证明而特别愉快，但却不想费神写出这个论证的细节，从不介意去发表它。他从未向任何人谈到过他的证明，然而不管他如何谦逊和无心于此，费马大定理（就像后来所称呼的那样）终将在未来的几个世纪闻名于全世界。
大定理终于公之于世
费马的令人瞩目的发现发生在他数学生涯的早期，67大约是1637年前后。大约30年之后，当费马在卡斯特尔镇执行他的司法任务时，不幸患上了严重的疾病。1665年1月9日费马签署了他的最后一份判决书，3天后便去世了。由于他与巴黎的数学界依然不相往来，并且他的通信者由于遭到挫折也不一定对他怀有好感，费马的各种发现处于被永远遗失的危险之中。幸运的是，费马的长子克来孟塞缪尔（ClémentSamuel）意识到他父亲的业余爱好所具有的重要意义，决心不让世界失去父亲的发现。正是由于他的努力，才使我们终究了解到一些费马在数论方面杰出的突破性进展；特别是，若不是由于克来孟塞缪尔，这个称为费马大定理的谜一定已经随同他的创造者一起消失了。
克来孟塞缪尔花了5年的时间收集他父亲的注记和信件，检查在他那本《算术》书的页边空白处草草写下的字迹。那条被称为费马大定理的边注只是涂写在这本书中的许多由灵感而生的思想之一。克来孟塞缪尔设法将这些注记在《算术》的一种特殊版本中发表。1670年他在图卢兹出版了《附有P.德·费马的评注的丢番图的算术》（Diophantus’ArithmeticaContainingObservationsbyP．deFermat）。与贝切特的原版希腊文和拉丁文译文一起的还有费马所做的48个评注。图6中所示的第2个评注就是后来称为费马大定理的那个评注。
一旦费马的评注被广为传知，人们就清楚地看到他写给同行的那些信件只不过展示了他的宝贵的发现中的一小部分。70他本人的注记包含了整整一系列的定理。不幸的是，对这些评注或者根本没有任何解释，或者仅仅给出对背后的证明的一点点提示。其中略微透露出的带有挑逗性的逻辑推理，足以使数学家们毫不怀疑费马已经有了证明的方法，而补全所有的细节就作为一种挑战留给了他们。
莱昂哈德·欧拉是18世纪最伟大的数学家之一，他曾尝试证明费马的最精妙的评注之一——一个关于质数的定理。质数是没有因数的大于1的自然数，即除了1和该数本身以外没有因数能整除它的数。例如，13是质数，但14不是质数。除了1和它本身，没有数能整除13，但2和7能整除14。
克来孟塞缪尔·费马的出版于1670年的《丢番图的算术》版本的扉页。这个版本载有他父亲所做的边注。
图6载有皮埃尔·德·费马的令人瞩目的评注的书页。
所有的质数（除2外）可以分成两类，一类等于4n+1，另一类等于4n-1，其中n等于某个整数。所以13属于前面的一类（4×3+1），而19属于后面的一类（4×5-1）。费马的质数定理断言，第一类的质数总是两个平方数之和（13=22+32），而第二类质数永远不能写成这种形式（19=？2+？2）。质数的这个特性是出奇地简单，但是试图证明这个特性对每一个质数都成立却是十分困难。对费马来说，这只不过是他许多不为人知的证明中的一个。欧拉面临的这个挑战是重新发现费马的证明。最终在1749年，经过7年的工作，几乎是在费马去世后一个世纪，欧拉成功地证明了这个质数定理。
费马拥有的全套定理中，既有重要的，也有仅仅是趣味性的，数学家们根据定理对其他的数学分支的影响大小来区分它们的重要程度。首先，如果一个定理具有普遍的正确性，也就是说，如果它适用于一大群数，那么它就被认为是重要的定理。就质数定理来说，它不是只对某些质数成立，而是对一切质数都成立。其次，71定理应该对数之间的关系揭露出更深层的真理。一个定理可以是产生一大群其他定理的跳板，甚至推动整个数学新分支的发展。最后，如果整个研究领域由于缺少它这个逻辑环节而受阻，那么这个定理就是重要的。许多数学家曾经一再公开宣称，只要他们能建立他们的逻辑链中缺少的一个环节，那么他们就能获得重大的成果。
因为数学家们使用定理成为通向别的成果的阶梯，费马的每一个定理都应该加以证明，这是至关重要的。不能仅因为费马说过他对某一定理已有一个证明就信以为真。每一个定理在能被使用之前，必须经过极其严格的证明，否则其后果可能是灾难性的。例如，设想数学家们已经承认费马的一个定理。然后它会被采用，作为一系列别的较大的证明中的一个不可或缺的要素。到时候这些较大的证明又会被用于更大的证明中……最终，可能有成百个定理要依赖于这个最初的未经核查的定理的正确性。然而，如果费马犯了一个错误，而这个未经核查的定理事实上是错的，那会怎么样呢？所有这些采用这个定理的其他定理就也可能是错的，庞大的数学领域将会崩溃。定理是数学的基础，因为一旦它们的正确性被证明，就可以放心地在它们上面建立别的定理。未经证实的想法是很难评价的，因此被称之为猜想。任何依靠猜想而进行的逻辑推理，其本身也是一个猜想。
费马说过他对他的每一个评注都有一个证明，因而在他看来它们都是定理。然而，在数学界能重新发现这一个个的证明之前，每一个评注只能被当做猜想。事实上，近350年来，72费马大定理应该更准确地被称为费马大猜想。
随着几个世纪时光的流逝，所有他的其他评注一个接一个地被证明了，但是费马大定理却固执地拒绝被如此轻易地征服。事实上，它之被称为“最后”定理费马大定理（Fermat’sLastTheorem）亦称费马最后定理。——译者是因为它是需要被证明的评注中的最后一个。三个世纪的努力未能找到一个证明，这使它作为数学中最费解的谜而名声远扬。然而，这种公认的困难性并不一定意味着费马大定理在前面所描述的意义上是一个重要的定理。费马大定理，至少到目前为止，似乎并不能满足这几个标准——对它的证明看来好像并不会引导出更深刻的东西来，它也不会给出有关数的任何特别深入的了解，而且它似乎也不会有助于证明任何其他的猜想。
费马大定理的名声仅仅是来自于为了证明它而需克服的那种极端的困难。这位业余数学家之王声称他能够证明这个此后困惑了一代又一代专业数学家的定理，这个事实又为它增添了分外的光彩。费马在他的那本《算术》的页边上手写的评注，被认为是对世界发出的一个挑战。他已经证明了这个大定理：问题是有无数学家能与他的卓越才华相媲美？
G.H.哈代具有一种古怪的幽默感，他想出一个可能会同样地使人感到沮丧的遗言。哈代的挑战是以保险单中的惯用语句写成的，以帮助他克服乘船航行时产生的恐惧。每当他不得不渡海航行时，他会首先发个电报给他的一个同事说：
黎曼（Riemann）假设是一个自19世纪以来一直使数学家们苦恼的问题。哈代的逻辑是：上帝将不会允许他被淹死，否则又将使数学家们为第二个可怕的不解之谜苦思冥想。
费马大定理是一个极为难解的问题，但是它却以一个小学生可以理解的形式来叙述。在物理学、化学或生物学中，还没有任何问题可以叙述得如此简单和清晰，并且这么久依然未被解决。E.T.贝尔在他的《大问题》一书中写道，文明世界也许在费马大定理得以解决之前就已走到尽头。证明费马大定理已经成为数论中最值得为之奋斗的事，说它已经导演出数学史上一些最激动人心的故事也是不会令人惊讶的。寻求费马大定理的证明牵动了这个星球上最有才智的人们，巨额的赏格，自杀性的绝望，黎明时的决斗。
这个谜语的地位已经超越了封闭的数学界。在1958年，它甚至进入了一个浮士德式的故事中。这是一本书名为“与魔王的交易”（DealswiththeDevil）的选集，收有阿瑟·波格斯（ArthurPoges）写的一篇短篇故事。在《魔王与西蒙·弗拉格》中，魔王请西蒙·弗拉格问他一个问题。如果魔王在24小时内成功地解答了这个问题，那么他将带走西蒙的灵魂；但是，如果他失败了，那么他必须给西蒙10万美元。西蒙提出的问题是：费马大定理是不是正确的？魔王隐身而去，风驰电掣般地绕着地球将世上已有的数学知识一股脑儿都吸纳进去。第二天，他回来了，并且承认自己失败了。
“你赢了，西蒙，”他说道，74几乎是喃喃而语，并以由衷地敬佩的眼光看着西蒙，“即使我能够在如此短的时间中学会足够的数学，对这么困难的问题我还是赢不了。我越是钻进去，情况就越糟糕。什么不唯一的因数分解啦，理想啦——呸！你听我说，”魔王吐露说，“就连其他星球上最出色的数学家——远远超出你们——也没能解开这个谜！嗨，土星上有个家伙——他看上去像是踩着高跷的蘑菇——能用心算解偏微分方程，就连他也放弃了。”