哈肯和阿佩尔一直在研究海因里希·希施（HeinrichHeesch）的工作，希施认为无穷多的无限可变的地图可以由有限多个的有限地图构造起来，通过研究这些基本地图就有可能掌握那个一般的问题。这些基本地图相当于电子、原子和中子这些可以构造出一切物质的基本粒子。不幸的是，现在的情况不像粒子的神圣的三位一体那样简单，因为哈肯和阿佩尔只能把四色问题简化到1482种基本构形。如果哈肯和阿佩尔能够证明这些地图（构形）只需4种颜色就够了，那么这就蕴含着所有的地图只需4种颜色就够了。
核对这1482种地图和每种地图中所有可能的颜色组合是一项巨大任务，肯定是任何一组数学家的能力无法承受的。即使用计算机来算也可能要一百年的时间。哈肯和阿佩尔大胆地开始寻找能用于计算机加速地图检测过程的捷径和策略。1975年，在他们着手研究这个问题5年之后，这两位数学家亲眼目睹了计算机正在做的远不是简单的计算，它正在向他们提供思想：
在这一时刻，程序开始使我们感到惊奇。当初我们用手工来核对它的论证，我们总是能够预言任何情况下它下一步的进程；而现在它突然地开始像弈棋机一样动作起来。它会根据“教”会它的技巧制订出复杂的策略，常常这些处理方法远比我们曾试过的方法高明得多。于是它开始教我们如何去进行，而这些做法是我们从未想到过的。在某种意义上，计算机不仅在这项任务的机械方面，而且在某些“智力”方面胜过了它的创造者。
经过1200小时的计算机计算，哈肯和阿佩尔在1976年6月宣布所有的1482种地图都已经被分析过，其中没有一种地图需要多于4种的颜色。格斯里的四色问题终于被解决了。引人注目的是，这是计算机在其中发挥了不单单只是加快计算的作用的第一个数学证明——它对这个结果的贡献大到没有它的参与这个证明是不可能完成的。这是一个巨大的成就，但同时数学界也感到不安，因为在传统的意义上没有办法去核对这个证明。
在这个证明的细节在《伊利诺伊数学杂志》（IllinoisJournalofMathematics）上发表之前，编辑必须得到有相当水平的同行的评审意见。通常的审查方法是不可能的，因此采用了将哈肯和阿佩尔的程序输入一台独立的计算机的办法来证明它也能得出相同的结果。
这种非正统的审查过程激怒了一些数学家，他们认为这是一种不可信的核查方法，不能保证不存在由于计算机内部的某种突然的不规则运行而产生的逻辑错误。斯温纳顿戴尔（H.P.F.SwinnertonDyer）对于计算机证明指出下面的事实：
当借助于计算机证明一个定理时，无法向人们展示出符合传统检测要求的证明过程，即有充分耐心的读者应该能够根据这个证明进行核对并证实它是正确的。即使将所有的程序和所有的数据集打印出来，仍然不能保证数据盘没有被误读。此外，每台现代计算机在它的软件和硬件中都有隐匿的缺陷——它们很少引起失误，因而长时间没有被发现——每台计算机还有可能出现瞬间即逝的失误。
在一定程度上这是一部分人的偏执狂，他们宁可回避计算机而不是去利用计算机。约瑟夫·凯勒（JosephKeller）曾注意到，在他所在的大学——斯坦福大学，数学系中的计算机数量居然比任何别的系，包括法国文学系都要少。那些否定哈肯和阿佩尔的工作的数学家也无法否认这样的事实：所有的数学家都承认一些即使他们并未亲自核对过的证明。就怀尔斯对费马大定理的证明来说，不到10％的数论家能完全懂得其中的逻辑论证，但是100％的数论家都承认它是对的。那些未能掌握这个证明的人也是满意的，因为别的确实懂得它思想的人已经仔细查对过并且证实过它们。
一个更极端的例子是所谓的有限单群分类问题的证明，这个证明由100位以上的数学家写成的500篇独立的论文组成。据说只有一位数学家丹尼尔·戈伦斯坦（DanielGorenstein）懂得这总数达15000页的证明，他于1992年去世。然而，整个数学界完全可以放心，每一部分证明都已经过一组专家仔细核查过，15000页中的每一行都已被几十次地反复核对过。四色问题的不同之处在于它从未被任何人仔细地核对过，而且永远也不会有人这样做。
在四色问题的证明宣布之后的20年中，计算机已被用来解决别的不那么出名但同样重要的问题。在以前未被这种技术侵入过的领域中，越来越多的数学家勉强地接受计算机逻辑日益增长的使用并认可沃尔夫冈·哈肯的论点：
任何人在程序行的任何地方都可以填上细目并核对它们。计算机可以在几小时内处理完比一个人一生可望完成的还要多的事情，但这个事实并未改变数学证明的基本概念，发生改变的不是理论而是数学的惯常做法。
最近某些数学家利用所谓的遗传算法（geneticalgorithm）赋予计算机以更大的威力。这是些计算机程序，它们的主体结构是由数学家设计的，但是它们的精细的细目是由计算机本身决定的。程序中的某些行就像生物体的DNA中的一个个基因那样允许变异和演化。从原来的母程序中，计算机会生成几百个子程序，这些子程序由于计算机所作的随机变异而各自略有差别。然后，子程序被用来试解给定的问题。绝大多数的子程序会因软弱无力而失败，但是最接近于成功的那个程序将被允许再生成新一代的变异的子程序，最后留下来的最优者可以被当做最接近于解决问题的程序。数学家希望通过重复这个过程可以做到：无需人为的干涉，一个程序会自行演化来解决问题。在某些情形中，这种处理方式正在取得重大的成功。
计算机科学家爱德华·弗伦金（EdwardFrenkin）走得更远，他甚至说计算机总有一天会不依靠数学家而发现一个重大的证明。10年前他设立了莱布尼茨奖（LeibnizPrize），奖金10万美元将授予第一个推导出“对数学具有深刻影响”的定理的计算机程序。这个奖到底是不是会被认领还是件有争议的事，但可以肯定的是计算机证明总不如传统证明那样发人深省，相比之下它显得空虚。数学证明不仅回答了问题，它还使人们对为什么答案应该如此有所理解。把问题送进一个黑匣子然后从另一端收到一个答案，这增加了知识但没有增进理解力。通过怀尔斯的费马大定理证明，我们知道费马大定理没有解是因为这样的解会导致与谷山志村猜想的矛盾。怀尔斯不仅战胜了费马的挑战，而且还说明了他的答案正确的理由，即为了维持椭圆方程和模形式之间的基本关系，答案只能如此。
数学家罗纳德·格雷厄姆（RonaldGraham）在谈到当今最重要的未解决问题之一——黎曼猜想——时讽刺了计算机证明的浅薄：“如果在沿街某处你可以请教计算机黎曼猜想是否是正确的，而它对你说：‘是的，它是对的，不过你不可能懂得这个证明。’那将是非常令人沮丧的。”数学家菲利普·戴维斯（PhilipDavis）在与鲁本·赫什（ReubenHersh）的一本合着中对四色问题的证明有类似的反应：
我的第一个反应是：“真妙!他们是怎么干的？”我原本期待这是某个杰出的新见解，一种其核心深处的想法之美将使我耳目一新的证明。但是，我得到的回答是：“他们把这个问题分解成数千种情形，然后将所有的情形一个接一个地在计算机上运行，这样完成了证明。”这时我感到十分失望。我的反应是：“噢，它只是去表演一下，它根本不是一个好问题。”
奖赏
怀尔斯证明费马大定理依靠的是证实20世纪50年代诞生的一个猜想。论证利用了近十年中发展的一系列数学技巧，其中某些部分是怀尔斯自己创造的。这个证明是现代数学的一件杰作，这必然引出这样的结论：怀尔斯对费马大定理的证明与费马的证明是不相同的。费马说过，他的证明在他的那本丢番图的《算术》书的页边空白处写不下，而怀尔斯的100页长的浓缩的数学内容确实符合这个标准，但是可以肯定在几世纪前费马没有发明出模形式、谷山志村猜想、伽罗瓦群和科利瓦金弗莱切方法。
如果费马不是用怀尔斯的那种方法证明，那么他用什么证明呢？数学家们分成两个阵营。308那些讲求实际的怀疑论者认为费马大定理是这位17世纪的天才在难得迷惑的瞬间的产物。他们声称，虽然费马写下“我已经找到了一个真正美妙的证明”，但事实上他只是发现了一个有缺陷的证明。这个有缺陷的证明的确切内容值得争议，但是它非常可能与柯西或拉梅的工作十分相似。
另一些数学家则是浪漫的乐观主义者，他们认为费马可能有一个巧妙的证明。不管这个证明可能是什么样的，它一定是以17世纪的技巧为基础的，可能它涉及一个非常狡猾的论证以致从欧拉到怀尔斯之间的所有人都未能发现。尽管发表了怀尔斯对这个问题的解答，但还有众多的数学家相信，只要他们能找到费马原来的证明，他们仍然可以获得声名和荣誉。
虽然怀尔斯不得不借助20世纪的方法来证明一个17世纪的难题，但还是按照沃尔夫斯凯尔委员会的规定战胜了费马的挑战。1997年6月27日，安德鲁·怀尔斯收到了价值5万美元的沃尔夫斯凯尔奖金。费马和怀尔斯再一次成了世界各地的头版新闻。费马大定理正式地被解决了。
怀尔斯意识到，为了提供一个最伟大的数学证明，他不能不剥夺它最大的谜题：“人们告诉我我拿走了他们的问题，并问我是否能给他们其他的。我有一种悲伤的感觉。我们已失去伴随我们这么久，并将我们吸引到数学中的谜题。也许总有数学问题，我们只是不得不找到新的来占据我们的注意力。”
那么什么将是引起怀尔斯注意的下一个问题呢？对于一个309曾经在完全保密的状态下工作过7年的人来说，他拒绝对他近期的研究发表评论是丝毫不令人奇怪的，但是不论他在研究什么问题，毫无疑问它将永远不可能完全取代他曾对费马大定理所具有的那种迷恋。他说：“对我来说再也没有别的问题具有与费马大定理相同的意义，这是我童年时代的恋情，没有东西能取代它。我已经解决了它。我将尝试别的问题，肯定其中有一些会是非常艰难的，而我将会再次获得一种成就感，但是数学中不可能再有别的问题能像费马大定理那样使我神往。
“我得到了这种非常难得的荣幸，就是在我的成年时期追求我儿童时代的梦想。我知道这是难得的荣幸，不过如果你能在成年时期解决某个对你来说非常重要的事，那么再也找不出什么比这更有意义的了。解决这个问题之后，肯定有一种失落感，但同时也有一种无比的轻松感。我着迷于这个问题已经8年了，无时无刻——从早晨醒来到晚上入睡——我都在思考它。对于思考一件事那是一段太长的时光。那段特殊的漫长的探索现在结束了，我的心灵归于平静。”