具有讽刺意味的是，罗素的矛盾出自于弗雷格非常心爱的集合这个概念。许多年以后，在他的着作《我的哲学观的形成》（MyPhilosophicalDevelopment）中，罗素回忆那些曾激发起他对弗雷格的工作产生疑问的想法时说：“对我来说，似乎一个类有时候是，而有时候又不是它自身的一个成员。例如，茶匙的类不是另一把茶匙，但是，不是茶匙的物组成的类是一种不是茶匙的物。”正是这种好奇的、表面上无关痛痒的看法导致灾难性的悖论。
罗素的悖论经常是用一个细心的图书管理员的故事来说明的：一天，当图书管理员在书架间走来走去时，他发现一套目录，其中对小说、参考书、诗集等都有单独的目录册。图书管理员注意到有些目录册把自己也列在其中，而另一些目录册则不将自己列在其中。
为了简化目录册体系，图书管理员制作了两本大的目录册，其中一本列出所有的将自己列在其中的目录册，另一本则列出所有不将自己列在其中的目录册。在快完成这项工作的时候，图书管理员发现一个问题：列出所有不将自己列在其中的目录册的那个大目录册是否应该在本身中列出？如果列出的话，那么按照定义，它不应该被列出。然而，如果不列出的话，那么按照定义，它应该被列出。图书管理员处于无论怎么做都不会对的情况。
目录册与弗雷格用作数的基本定义的集合或类非常相似。于是，使得图书管理员毫无办法的不相容性也会在所155设想的数学逻辑结构中引起问题。数学不允许不相容性、悖论或矛盾。例如，反证法这个有力工具要依赖于数学中没有悖论这个前提。反证法说，如果一个假定导致荒谬，那么这个假定一定是错的。但是按照罗素的结论，即使公理也可能导致荒谬。因而反证法可以证明一个公理是错的，可是公理是数学的基础，而且被承认是对的。
许多学者对罗素的工作提出质问，他们声称数学明显地是一种成功的、完美无缺的研究。对此，他以下列方式解释他的工作的意义作为回答：
“但是，”你可能会说，“无论什么都不能动摇我对2加2等于4的信念。”你是正确的，除了极端的情形之外——当你怀疑某只动物是否是一只狗或者某个长度是否比1米短时，这就是极端情形。2一定是指2个某种东西，命题“2加2等于4”除非能被应用否则是无价值的。2只狗加2只狗确实等于4只狗，但是会出现你怀疑其中2只狗是否真是狗的情形。“那么，无论如何有4只动物”，你可能会这样说。但是某些微生物的存在又使人怀疑它们究竟是动物还是植物。“好，那么就算是活的有机体总可以吧”，你说。但是它们又有某种迹象使人怀疑它们是否是活的。你将被迫说：“2个实体加2个实体等于4个实体。”但当你告诉我“实体”是什么时，我们又会重新争论起来。
罗素的工作动摇了数学的基础，使数理逻辑的研究处于混乱的状态。逻辑学家们知道潜藏在数学基础中的悖论迟早总会冒头并且引起严重的问题。与希尔伯特和其他逻辑学家一起，156罗素开始设法补救这种情形，恢复数学的合理性。
这种不相容性是使用数学公理的直接结果，这些公理到目前为止被认为是不证自明的而且足以用来定义剩下来的那部分数学。一种解决方法是，再添加一条公理，规定任何类不能是自身的一个成员。
这条公理使得是否应列入由不将自己列在其中的目录册组成的目录册的问题成为多余，从而避免了罗素的悖论。
罗素又花了10年的时间考虑数学公理，这正是数学的本质。然后在1910年。他与阿尔弗莱德·诺思·怀特海（AlfredNorthWhitehead）合作出版了3卷本的《数学原理》（PrincipiaMathematica）中的第1卷，这本书显然是一个成功的尝试，对他自己的悖论所引起的问题给出了部分的回答。在接下来的20年中，其他人把《数学原理》当成建立无缺陷的数学大厦的指南，到1930年希尔伯特退休时，希尔伯特相信数学已经正常地走上了重建的道路。他的逻辑相容的、有能力回答每一个问题的数学梦想显然正在成为现实。
然而在1931年，一位不出名的25岁的数学家发表了一篇注定会永远毁灭希尔伯特的希望的论文。库特·哥德尔迫使数学家们承认数学永远不可能是逻辑上完美无缺的，他的论文中蕴含着像费马大定理这类问题可能是无法解决的这种观念。
库特·哥德尔1906年4月28日出生于摩拉维亚（Moravia，当时是奥匈帝国的一部分，现属捷克共和国）。从很小的时候起他就患有重病，最严重的一次是6岁时的风湿热发作。157过早地与死亡接触使哥德尔患上了伴随他终身的强迫性疑病症。在8岁时读了一本医书后，他确信自己的心脏很虚弱，虽然他的医生无法找到证据证明这一点。后来，在他生命的晚期，他错误地认为有人在向他投毒，因而拒绝吃东西，几乎使自己饿死。
哥德尔在儿童时代就显示出科学和数学方面的才能，由于他好问的天性家里人给他起了个绰号：为什么先生。他进了维也纳大学，但打不定主意是主修数学还是主修物理。然而，P.福特凡勒（P.Furtwngler）教授开设的热情洋溢而且富有启发性的数论方面的课程使得哥德尔决心投身于数学。这门课是绝对异乎寻常的，因为福特凡勒从颈部以下全瘫痪了，只能坐在轮椅上不带讲稿讲课，而同时他的助手在黑板上演算。
在20岁刚过的头几年里，哥德尔在数学系任职，不过有时也和同事们一起离开正题去参加一个哲学家小组“维也纳之圈”（WienerKreis）的聚会，他们一起讨论当时逻辑学方面的重要问题。正是在这段期间，哥德尔形成了后来使数学基础产生混乱的那些想法。
1931年，哥德尔出版了他的书《〈数学原理〉及有关系统中的形式不可判定命题》（berformalunentscheidbareStzederPrincipiaMathematicaundverwandterSysteme），其中包含了他的所谓不可判定性定理。当这些定理传到美国时，大数学家约翰·冯·诺伊曼（JohnvonNeumann）取消了他正在作的关于希尔伯特计划的系列讲座，159而将讲座的其余部分替换为讨论哥德尔的革命性工作。
哥德尔证明了要想创立一个完全的、相容的数学体系是一件不可能做到的事情。他的思想可以浓缩为两个命题。
第一不可判定性定理
如果公理集合论是相容的，那么存在既不能证明又不能否定的定理。
第二不可判定性定理
不存在能证明公理系统是相容的构造性过程。
本质上，哥德尔的第一个定理说，不管使用哪一套公理，总有数学家不能回答的问题存在——完全性是不可能达到的。更糟的是，第二个定理说，数学家永远不可能确定他们选择的公理不会导致矛盾出现——相容性永远不可能证明。哥德尔已经证明希尔伯特计划是一个不可能完成的计划。
10年以后，在《记忆的写照》（PortraitsfromMemory）一书中，伯特兰·罗素描述了他对哥德尔的发现的反应：
我以人们寻求宗教信仰的那种方式寻求确定性。我以为在数学中比在任何别的地方更可能找到确定性。但是我发现许多数学证明（它们是我的老师们希望我接受的）充满了不可靠性，并且如果确定性真的在数学中不能找到，那么它可能藏身于一种新的数学领域中，这种数学有着比迄今为止被认为是可靠的基础更为坚实的基础。但是随着工作的进展，我不断地想起关于大象和乌龟的那个寓言。当构建好一只数学界可以依托的大象后，160我发现大象开始踉踉跄跄起来，于是赶快去造一只乌龟以便使大象不倒下来。但是乌龟也不见得比大象更可靠。经受了大约20年的艰苦劳累之后，我得到的结论是：在使数学成为无可怀疑的知识的道路上我已经没有任何事可做了。
虽然哥德尔的第二个定理说，不可能证明公理系统是相容的，但这并不一定意味着它们是不相容的。在许多数学家的心目中，他们仍然相信他们的数学依旧是相容的，只是用他们的思想无法证明这一点。许多年以后，杰出的数论家安德烈·韦依（AndréWeil）说：
“上帝之存在是因为数学是相容的，而魔王之存在是因为我们不能证明数学是相容的。”
哥德尔的不可判定性定理的证明是异常复杂的，事实上第一个定理更严格的叙述应该是：
对每一个ω相容的形式的递归类κ，有一个对应的递归类符号γ，使得νGenγ和Neg（νGenγ）都不属于Flg（κ）（这里ν是γ的自由变量）。
幸运的是，哥德尔的第一个定理除了用罗素的悖论和图书管理员的故事说明以外，也可以用另一个由埃庇米尼得斯（Epimenides）埃庇米尼得斯，公元前6世纪时人，克里特预言家、作家。——译者提出的逻辑上相似的东西来说明，称为克里特人悖论或说谎者悖论克里特人曾被认为好说谎。——译者。
埃庇米尼得斯是一个克里特人，他愤怒地大叫：
“我是一个说谎者！”
当我们试图确定这句话是真的还是假的时候，就发生了悖论。
首先让我们弄清楚如果我们承认这句话是真的那么会发生什么事。
这句话是真的就隐含着埃庇米尼得斯是一个说谎者，但是我们一开始就承认他讲了一句真话，因而埃庇米尼得斯不是一个说谎者——我们碰到了不相容性。161另一方面，让我们弄清楚如果我们承认这句话是假的那么会发生什么事。这句话是假的就隐含着埃庇米尼得斯不是一个说谎者，但是我们一开始就承认他说了一句假话，因而埃庇米尼得斯是一个说谎者——我们碰到了另一个不相容性。无论我们承认这句话是真的还是假的，我们最终总是碰到不相容性，于是这句话既不是真的又不是假的。
哥德尔给说谎者悖论以新的解释并引入了证明的概念。其结果就是下面一行表达的一个命题：
这个命题没有任何证明。
如果这个命题是假的，那么这个命题就会是可以证明的，但是这就与这个命题矛盾了，于是这个命题必须是真的才能避免这个矛盾。
然而，虽然这个命题是真的，它却不能被证明，因为这命题（我们知道它是真的）是这样说的。
由于哥德尔能将上面的命题转换成数学记号，他就能证明在数学中存在虽然是真的但却永不能证明它是真的的命题，即所谓的不可判定命题。这对希尔伯特计划是一个致命的打击。
在许多方面，平行于哥德尔的工作的类似发现正在量子物理中出现。就在哥德尔发表他的关于不可判定性的工作成果之前4年，德国物理学家维尔纳·海森堡（WernerHeisenberg）揭示了测不准原理。正像数学家能证明的定理有一个基本的限度一样，海森堡证明了物理学家能测量的性质也有一个基本的限度。例如，如果他们想要测量出一个物体的精确位置，那么他们只能以相对来说较差的准确性测量出该物体的速度。这是由于为了测量该物体的位置，就必须用光子去照射它，162但是要准确定出它的精确的位置，光子必须具有巨大的能量。
然而，如果物体被高能量的光子击中，那么它自己的速度将受到影响，因而它的速度不可避免地变得不确定。因此，为求得物体的位置，物理学家必须在了解它的速度方面作出某些让步。
当必须进行高精度的测量时，海森堡的测不准原理只是在原子的尺度上有所表现。因而，物理学的许多领域可以毫不在意地继续进行下去，而量子物理学家则忙于深奥的有关了解的限度问题。同样的情况也发生在数学界中。在逻辑学家们关于不可判定性问题进行的非常深奥的争论取得一致的同时，数学界的其他人则仍然继续做他们的事。
虽然哥德尔证明了存在某些不能证明的命题，但有大量的命题是能够证明的，并且他的发现并没有使过去已经证明的任何结果无效。此外，许多数学家相信哥德尔的不可判定命题只有在数学的最不引人注目和最极端之处才可能发现，因而可能永远也不会碰到。总之，哥德尔只是说这种命题存在，他并不能真正地指出是哪一个。可是到了1963年，哥德尔的理论上的噩梦竟然变成了有血有肉的事实。
斯坦福大学的一位29岁的数学家保罗·科恩（PaulCohen）发展了一种可以检验给定的问题是不是不可判定的方法。这个方法只适用于少数非常特殊的情形。但尽管如此，他是发现具体的确实是不可判定的问题的第一人。完成他的发现之后，科恩立即飞到普林斯顿，带着他的证明，希望由哥德尔本人来证实他的证明。哥德尔当时正处于患妄想狂症的阶段，163他稍稍开了一点儿门，一把抢过了科恩的论文，然后砰的一声关上了门。两天后，科恩收到了哥德尔家茶会的邀请，这是一个信号，表明主人已经对他的证明给予权威性的认可。特别具有戏剧性的是，这些不可判定的问题中有一些正是数学的重要问题。科恩证明了大卫·希尔伯特提出的数学中最重要的23个问题之一——连续统假设是不可判定的，这有点令人啼笑皆非。
哥德尔的工作，再加上科恩给出的不可判定的命题，给所有正在坚持尝试证明费马大定理的专业或业余数学家们送去了令人烦恼的信息——或许费马大定理是不可判定的!如果当皮埃尔·德·费马声称已经找到一个证明时犯了一个错误，那又会怎样呢？如果是这样的话，那就存在这个大定理是不可判定的可能性。于是，证明费马大定理就不仅是困难的，它也许是根本不可能的。如果费马大定理是不可判定的，那么数学家们花了几个世纪的时间却是在寻找一个根本不存在的证明。
奇怪的是，如果费马大定理结果是不可判定的，那么这将隐含它必定是对的，理由如下。大定理说方程xn+yn=zn，n＞2时，没有整数解。如果大定理事实上是错的，那么就有可能通过确定一个解（一个反例）来证明这一点。于是，大定理将是可判定的。也就是说，是错的将与不可判定性不相容。然而，如果大定理是对的，这并不必须有一个明确的证明它是对的方法，164也就是说，它可能是不可判定的。
总而言之，费马大定理可能是对的，但是可能没有方法证明它。
难以克制的好奇心