xn+yn=zn，其中n是任何大于2的整数。
89这个方程代表了无穷多个方程：
x3+y3=z3，x4+y4=z4，x5+y5=z5，x6+y6=z6，x7+y7=z7，欧拉想知道，是否他能先证明其中一个方程没有解，然后再对其余的方程推断这个结果，就像他对所有的网络证明网络公式时从最简单的情形（即单点网络）推广到其余情形那样。
欧拉的计划已经有一个良好的开端，因为当时他发现了隐藏在费马草草写下的注记中的一条线索。虽然费马从未写下过大定理的证明，但是他在他的那本《算术》书中别的地方隐蔽地描述了对特殊情况n=4的一个证明，并且在一个完全不同的问题的证明中采用了这个证明。虽然这已是费马写在纸上的最完整的演算，但细节仍是概略的，而且含糊不清。费马在结束证明时说，由于缺少时间和纸使他无法详细地解释。尽管费马潦草写下的内容中缺少细节，但是它们清楚地展示了一种特殊形式的反证法，称之为无穷递降法。
为了证明方程x4+y4=z4没有解，费马从假设存在一个假定解x=X1，y=Y1，z=Z1着手。通过研究（X1，Y1，Z1）的性质，费马能够证明：90如果这个假定解确实存在，那么一定会存在一个更小的解（X2，Y2，Z2）。然后通过再研究这个新解的性质，费马又能证明存在一个还要小的解（X3，Y3，Z3），这样一直进行下去。
于是费马找到了一列逐步递减的解，理论上它们将永远继续下去，产生越来越小的解，然而，x，y和z必须是整数，因此这个永无止境的梯队是不可能存在的，因为必定会有一个最小的可能解存在。这个矛盾证明了最初的关于存在一个解（X1，Y1，Z1）的假设一定是错的。使用无穷递降法，费马证明了n=4时这个方程不可能有任何解，因为否则的话其结果将是荒谬的。
欧拉试图以此作为出发点，对所有的别的方程构造一般的证明。
除了要构造到n=∞（无穷）外，他还必须向下构造n=3的情形。他首先尝试的正是这仅有的向下的一步。1753年8月4日，欧拉在给普鲁士数学家克里斯蒂安·哥德巴赫（ChritianGoldbach）的信中宣布，他采用费马的无穷递降法成功地证明了n=3的情形。100多年来，这是第一次有人针对费马的挑战成功地取得了进展。
为了将费马的证明从n=4延伸到包括n=3的情形，欧拉必须采用一个称为虚数的稀奇古怪的概念，这是欧洲数学家们在16世纪曾经发现的概念。把新的数当做被“发现”出来的，这在现在看来是有点奇怪的，主要因为我们现在是如此地熟悉我们经常使用的这些数，以致忘记了这些数中的某些数曾有一段时间是人们不知道的。91负数、分数和无理数都是被发现出来的，每一次发现这种数都是为了回答不这样就无法回答的问题。
数的历史是以简单的计数数（1，2，3，…）开始的，它们也称为自然数。这些数用于诸如羊或金币这样简单的整量相加时是完全令人满意的，这时得到的总数也是一个整量。与加法一样，另一种简单运算乘法也将整数运算成别的整数。然而除法运算却产生一个尴尬的问题。8被2除等于4，而2被8除却等于14。后面的这个除法的结果不再是一个整数，而是一个分数。
除法是在自然数中进行的一种简单运算，为了得到答案，它需要我们越出自然数的范围。如果不能至少在理论上回答每一个合理的问题，这对数学家来说是不可思议的。这种必要性叫“完全性”。
有某些涉及自然数的问题，不借助分数是无法回答的。数学家对这种情形的说法是，分数是完全性所必需的。
正是完全性的需要，导致印度人发现了负数。印度人注意到，当5减去3时明显地等于2，而从3减去5就不是那么简单的事了。自然数已无法给出答案，只能通过引入负数的办法来给出答案。有些数学家不接受这种抽象化的拓广，把负数称之为“荒谬的”和“虚构的”。会计人员可以持有一个金币，或甚至半个金币，但不可能持有一个负金币。
希腊人也追求过完全性，这导致他们发现了无理数。在第二章中已提出过这个问题：92什么数是2的平方根——2？希腊人知道这个数大约等于7/5，但当他们试图找出一个精确的分数时，他们发现它根本不存在。于是，有这么一个永远不可能表示成一个分数的数存在，而对于回答“2的平方根是什么”这个简单的问题，这个新型的数又是必不可少的。完全性的要求意味着在数的王国里还应添加另一块辖地。
到文艺复兴时期（14世纪-16世纪），数学家们认为他们已发现了天地万物中的一切数。所有的数可以被看成落在一条数直线（一条无限长的以零为中心的直线）上，如图11所示。整数沿数直线等距离地分布，正数在零的右边延伸到正无穷，负数在零的左边延伸到负无穷。
分数占有整数之间的位置，无理数则散布在分数之间。
数直线使人想到完全性明显地已经实现。所有的数似乎都已在位子上，准备好回答任何数学问题——无论如何，在数直线上已经没有多余的地方来表示新的数了。然后，在16世纪期间，不安的隆隆声重又响起。意大利数学家拉斐罗·邦贝利（RafaelloBombelli）在研究各种数的平方根时碰巧遇到一个无法回答的问题。
这个问题开始于问1的平方根1是什么？93一个显然的答案是1，因为1×1=1。不那么显然的答案是-1。负数与负数相乘得到正数。这意味着（-1）×（-1）=1。所以，+1和-1都是+1的平方根。这样丰富的答案是不错的，但接着问题就发生了，-1的平方根-1是什么？这个问题似乎很难对付。答案不可能是+1或-1，因为这两个数的平方都是+1。然而，也不存在明显的候选者。同时，完全性又要求我们必须能回答这个问题。
邦贝利的解答是创造一个新的数i，称为“虚数”，它就被定义成问题“-1的平方根是什么”的解。这可能有点像懦夫的解答，但是它与引进负数的方式没有任何差别。“0减去1是什么？”面对这个以另外方式无法回答的问题，印度人简单地定义-1作为这个问题的解。只是因为我们对类似的概念“负债”有经验，所以比较容易接受-1这个概念，但在现实世界中我们没有任何事物支持虚数这个概念。17世纪的德国数学家戈特弗里德·莱布尼茨（GottfriedLeibniz）对虚数的奇异性质作了优雅的描述：“虚数是非凡思想的美好而奇妙的源泉，近乎于存在与非存在之间的两栖物。”
一旦我们定义了i为-1的平方根，那么必定存在2i，因为这是i加i的和（也是-4的平方根）。类似地，i/2必定存在，因为这是用2除i的结果。通过简单的运算，可以得到每一个所谓“实数”
的虚对等物，即虚计数数、虚负数、虚分数和虚无理数。
现在出现的问题是虚数在实数直线上没有自然的位置。95数学家们通过设置一条独立的虚数直线再次解决了这个危机，虚数直线与实数直线垂直并相交于零这个位置，如图12所示。现在数不再限制在一维直线上，而是占有二维的平面。纯虚数和纯实数被限制在它们各自的直线上，而实数和虚数的组合（例如1+2i）——称为“复数”——则分布在所谓的数平面上。
特别值得注意的是复数可用来解任何方程。例如，为了计算3+4i，数学家无需借助于发明新型的数——答案是另一个复数2+i。换言之，虚数似乎是完全性所需要的最后的要素。
虽然负数的平方根被称作虚数，但是数学家并不认为i比负数或任何的计数数更为抽象。此外，物理学家发现虚数为描述现实世界的某些现象提供了最适用的语言。在分析诸如钟摆之类物体的自由摆动运动时，借助虚数只需要做少量不复杂的运算，因而它是理想的工具。这类运动技术上称为正弦振荡，它在自然界是到处可以发现的，因此虚数已经成为许多物理计算中不可或缺的部分。如今，电气工程师在分析振荡电路时就会想到i，而理论物理学家则借助于虚数来计算量子力学中的振荡波产生的影响。
纯粹数学家也在使用虚数，用它们解决以前难以攻克的问题。96虚数确实为数学开辟了新天地，欧拉希望利用这个额外的自由度来着手证明费马大定理。
以前，别的数学家已经尝试过采用费马的无穷递降法来研究除n=4之外的情形，但是每一次拓展这种证明的尝试总是以逻辑推理的中断告终。然而，欧拉向人们表明，通过将虚数i引入到他的证明中，他能填补证明中的漏洞，使得无穷递降法适用于n=3的情形。
这是一个巨大的成就，但是却无法在费马大定理的其他情况中重现：很不走运，欧拉使其论证适用于其余情形的努力以失败告终。
这个比历史上任何人都创造了更多的数学的数学家，在费马的挑战面前折戟。他唯一的安慰是，他对这个世界上最艰难的问题已经取得了首次突破。
欧拉没有因这次失败而气馁，他继续不断地创造辉煌的数学成就，直到逝世为止。在他生命的最后几年里，他已完全失明。这个事实使他的成就显得愈加不凡。他的失明开始于1735年，当时巴黎科学院悬赏征解一个天文学问题，这个问题极难对付，以致数学社团请求科学院给他们几个月的时间作出回答，但欧拉认为这是不必要的。他被这项任务迷住，连续工作了3天，并正式赢得了奖金。然而，艰苦的工作条件加上紧张工作使当时才二十几岁的欧拉付出了巨大的代价——一只眼睛失明。这在欧拉的许多肖像中明显可见。
根据让·勒隆·达朗贝尔（JeanleRonddAlembert）的建议，97约瑟夫路易·拉格朗日（JosephLouisLagrange）接替欧拉成为腓特烈大帝宫廷中的数学家，他后来评论说：“我感谢你们的关心和推荐，使两只眼睛的数学家代替了独眼的数学家，这会使我们科学院中的解剖学院士们特别满意。”欧拉回到了俄国，叶卡捷琳娜二世迎回了她的“数学的独眼巨人独眼巨人系希腊神话故事人物。——译者”。
失去一只眼睛只不过是小小的障碍——事实上欧拉宣称说：“现在我将更少分心了。”40年后，已经60多岁的欧拉的状况大大地恶化了。当时欧拉的另一只好眼得了白内障，这意味着他注定会彻底失明。他决心不为之屈服，并开始练习闭上那只视力正在消退的眼睛进行书写，以便在黑暗袭来之前就使他的书写技术达到完美的程度。
几个星期后他变瞎了。先前的练习起到一段时间的好效果，但是几个月后欧拉的字迹变得难以辨认，于是他的儿子阿尔贝（Albert）担当起誊写员的角色。
在后来的17年中欧拉继续发展着数学，如果说有什么不同，那就是他比以前更为多产。他具有的无比的智慧使他能巧妙地把握各种概念和想法而无须将它们写在纸上，他非凡的记忆力使他的头脑有如一个堆满知识的图书馆。他的同事们说失明的袭击似乎扩大了他的想象的范围。值得注意的是，欧拉关于月球位置的计算是在他失明期间完成的。在欧洲的君主们看来，这是最值得奖励的数学成就。这个问题一直困惑着欧洲包括牛顿在内的最伟大的数学家们。
在1776年，为了除去白内障，欧拉做了一次手术。有好几天欧拉的视力似乎已经恢复。98然后发生感染，欧拉重又被投入黑暗。他仍不屈不挠地继续工作，直到1783年9月18日他遭到致命的打击为止。用数学家兼哲学家德·孔多塞侯爵（theMarquisdeCondorcet）的话来说：“欧拉停止了生命，也停止了计算。”
小小的一步在费马去世一个世纪后，还只有对费马大定理的两个特殊情形的证明。费马给数学家们开了个好头，为他们提供了方程x4+y4=z4无解的证明。欧拉修改了这个方法，证明了方程x3+y3=z3无解。在欧拉的突破之后，仍然需要做的是证明下面的无限多个方程：
x5+y5=z5，x6+y6=z6，x7+y7=z7，x8+y8=z8，x9+y9=z9，没有整数解。虽然数学家们取得的进展慢得令人发窘，99但情况还不像初看时感到的那么糟糕。对n=4的情形的证明，也可以证明n=8，12，16，20，…的情形，其理由是任何可以写成8（或12，16，20…）次幂的数也可以改写成4次幂。例如，数256等于28，但是它也等于44。于是，对4次幂行得通的任何证明，也将对8次幂以及任何是4的倍数的幂行得通。利用同样的原理，欧拉对n=3的证明，自动地证明了n=6，9，12，15，…的情形。
突然之间，个数大大地减少了，费马大定理看起来似乎可以攻克了。对情形n=3的证明是特别有意义的，因为数字3是质数的一个例子。正如前面解释过的那样，质数有特殊的性质，即它不是1以及它本身以外任何整数的倍数。另外的质数还有5，7，11，13，…。剩下的所有数都是质数的倍数，称为非质数或合数。
数学家们认为质数是最重要的数，因为它们是数学中的原子。
质数是数的建筑材料，因为所有别的数都可以由若干个质数相乘而得。这似乎会通向一个值得注意的突破口。为了证明费马大定理对n的一切值适合，我们仅仅需要证明它对n的所有质数值适合。所有其他的情形只不过是质数情形的倍数，因而无疑也会被证明。
直觉上，这大大地简化了问题，因为你可以忽略那些涉及非质数的n的方程。现在剩下的方程的个数大大地减少了。例如，对于到20为止的n的值，只有6个值需要加以证明：
x5+y5=z5，100x7+y7=z7，x11+y11=z11，x13+y13=z13，x17+y17=z17，x19+y19=z19。
如果对n的一切质数值证明了费马大定理，那么就对于n的一切值证明了费马大定理。如果考虑所有的整数，那很明显有无穷多个数。
如果只考虑质数，它们只是全体整数中的一小部分，那么这个问题不是就简单得多了吗？
直觉会使人认为，如果你从一个无穷量开始，然后从中去掉它的一大部分，那么你会期望剩下的是有限的。不幸的是，数学真理的仲裁者不是直觉，而是逻辑。事实上，可以证明质数表是没有终端的。于是，尽管可以忽略为数众多的与n的非质数值相关的方程，剩下的与n的质数值相关的方程的个数却仍然是无穷的。
存在无穷多个质数的证明一直可追溯至欧几里得，这是最经典的数学论证之一。一开始欧几里得假定有一张有限的已知质数表，然后证明对这张表一定可以补充无限多个新的质数。假定在欧几里得的有限表中有N个质数，将它们编号为P1，P2，P3，…，PN，于是欧几里得可以生成一个新的这样的数QA：