揭开“最速降落”问题的谜
把不在同一铅垂线上的两点A、B，用怎样的一条曲线连接起来，才能使得在重力作用下，当质点沿着它由A滑至B时，所用的时间最少？
人们为了揭开它的谜底，曾经经历了相当漫长的时间。
16世纪以前，几乎所有的人都认为：沿连接AB的线段滑落用时最少。理由是：在连接A、B的所有曲线中，线段AB最短。少走路，“自然”少花时间。
到了17世纪初，意大利比萨城的那位智者，大名鼎鼎的伽利略，也对最速降落问题进行了思考。伽利略觉得此事没有那么简单。他认为最速降落曲线似乎应当是过A、B而切于过A点铅垂线的一段圆弧。理由是：质点开初是以接近自由落体的速度下滑的，虽然圆弧AB比弦AB要长一些，但在下滑路程中有很长一段路，质点是以很高的速度通过的。从总体上讲，用的时间比沿直线AB要更短些。
公元1696年，瑞士数学家约翰·贝努利呼吁数学家们重新研究这个问题。他认为伽利略虽然提出了正确的思路，但伽利略没有讲清下滑曲线是圆弧的道理。为此，约翰·贝努利和他的哥哥雅各·贝努利，以及牛顿、罗必达等数学家，对此作了深刻的研究，终于发现连接A、B两点的最速降落曲线，即非直线也非圆弧，而是一条圆摆线。
比如：当一枚钱币在直线上滚动的时候，钱币上的一个固定点P，在空间划出一条轨线，这条轨线便是圆摆线或称旋轮线。
设圆币的半径为r，取圆币滚动所沿的直线为x轴，如图建立直角坐标系XOY。假定初始状态时，圆币上的固定点P与原点O重合。则当圆币滚动ф角后，圆必滚动到B点，且圆与x轴相切于A。作PQ⊥AB，Q为垂足。
很明显，弧PA长等于OA，从而P点的坐标（x，y）满足：
x=OA—PQ=rφ—rsinφy=AB+QB=r—rcosφ。
即。
x=r（φ—sinφ）y=r（1—cosφ）
这就是圆摆线的方程，它是以参数形式出现的。摆线上点的坐标都随着旋角ф的变化而改变。
现在，让我们回到3世纪前约翰·贝努利的、富有创造和想像的解答上来。
把质点下降的平面分成许多间隔很小的等距离层。质点下降时，从A开始逐一地穿过这些层到达于B。由于质点滑落到P（x，y）处的动能，等于下落过程中势能的减少，即12mv2=mgy。
从而：
v=2gy。
上式表明：此时此刻质点运动的速度只与它所在的层次有关。换句话说，下图中的质点，在各个分层中有着各自不同的运动速度。
就这样，约翰·贝努利靠着超人的天赋，立即联想起光的折射：从A点发出的光线，经一层又一层的折射，到达于B0这条光线所走的路，肯定就是最速降落曲线。
妙极了。如此一个高深的问题，在一种巧妙的解析下，终于迎刃而解。
接下去的工作对于数学家来说是轻车熟路的了。假定光线在各层内的前进速度，恰等于质点在该层内的滑落速度，分别为V1，V2，V3…；进入各层时的入射角分别为a1，a2，a3…由光的折射定律知：
sina1v1=sina2v2=sina3v3=Λ（常量）
当层数分得无限多时，以上式子演化为sinav=常量。
注意到曲线的切线的倾斜角β与入射角α之间存在着互余关系，从而sinα=cosβ=11+tg2β。
因为v=2gy；tgβ=dydx。
所以y［1+（dydx）2］=正常量。
后一式子在数学上称为微分方程。这个微分方程的解，正是前面介绍的圆摆线。
摆线的种类极多，当P点在动圆外或动圆内时，可分别得到下图的长幅摆线（II）和短幅摆线（I）。
如果动圆不是沿直线。而是沿定圆滚动时，也能得到形形色色的摆线，所有这些摆线家族的成员，全都非常美观。
从走迷宫到解题
“走迷宫”是智力游戏中一类颇具吸引力的题目，只要你有耐心，再凭着好一点的记忆，总是可以走得通的，可是要问你这里面有没有决窍，你就不一定知道了。这里是要向大家介绍的倒推法。
人们习惯于“顺推”，即从“入口”开始依次在各个叉口上来回探试，碰壁后再调整路线，这样反复试探，最终总可以找到“出口”；可是倒过来走，即从“出口”倒推到“入口”，则效果更佳。道理何在？
试想：迷宫的通路只有一条，但支叉很多，其中大多数是死胡同，这可以用下来刻画，比如A是入口，E是出口，你从A出发，中间经过许多叉口，如Bk、Ck、Dk……这些叉口上分别又有新的支路通往下个叉口，此时你需要逐个去试探，不通再选择其他途径。可是反过来从E逆推到A，问题就容易多了。下面我们来看个例子。
一个人质的双手被反绑着，把它关在一座楼房里。上图为楼房的平面图。楼房里的门都只能向一个方向开（有的可以拉开，有的可以推开），试问人质走怎样的路可以逃出？
从A到B顺着找出路固然可以（注意他双手被反绑着，只能推门不能拉门），但返回过来，从B找去A的路（当然这时的“推门”应变为“拉门”），似乎容易些，不信你试试看。
不知你想过没有：走迷宫是这样，解数学题有时也是如此，有些题目若用“倒推”法去解，将变得十分容易。
比如：有37个球队要进行单循环淘汰赛决定冠军，问一共要赛多少场？我们可以用顺推办法算出来，但若用倒推法来解，便简单多了。因每一场可淘汰一个队，要决出冠军，当然要淘汰掉36个队显然共要赛36场。
下面来看几个题目：一农妇提着一篮子鸡蛋去卖，第一次卖掉了全部鸡蛋的一半又多半个；第二次又卖掉剩下的一半又多半个；第三次又卖掉剩下的一半又多半个，最后农妇篮子里还剩一个鸡蛋。问农妇篮子里原来有多少鸡蛋：第三次取后剩下一个鸡蛋；第二次取后剩下（1+0.5）×2＝3个鸡蛋；第一次取后剩下（3+0.5）×2＝7个鸡蛋，最初篮子里的鸡蛋数为（7+0.5）×2＝15个。
一辆卡车以每小时65公里的速度在公路上行驶，距离它后面5公里处有一辆小轿车以每小时80公里速度同向行驶。不一会小轿车追上了卡车。请问在追上之前一分钟时，两车相距多远？
也许你要先求出小轿车多少时间可以追上卡车，然后再算算追上前一分钟时两车的距离，其实不必如此。我们仍用倒推法分析：在小轿车追上卡车前一分钟两车距离恰为小轿车与卡车一分钟内所走路程之差250米——显然，这个问题与两车开始的距离无关。
最后我们看一个抓牌游戏：
有54张牌，两个人轮流抓，每次每人可抓1—4张（但不能不抓），规定抓最后一张者为输。试问，怎样可以使你立于不败之地？
顺着推算，较难掌握规律与窍门，但若逆推，你会很快发现其中的奥妙。你若想获胜，那么你最后一次抓牌后，应只剩下1张牌。在这之前一轮，你应留给对手6张牌，无论对方抓几张，你总可以在你抓完牌后留给对手1张：
对手抓1张，你抓4张，最后剩1张；对手抓2张，你抓3张，最后剩1张；对手抓3张，你抓2张，最后剩1张；对手抓4张，你抓1张，最后剩1张。
再往前一轮，你应留给对手11张牌……仿上倒推每次留给对手的牌数应是：1→6→11→16→21……41→46→51。这样你可以立于不败之地。好了，例子就举到这里。它给你留下什么印象？你不觉得“倒推”是一种十分有效的方法吗？
直觉不能解题
数学是严谨的，因而来不得半点马虎——大意了，就要出差错——即使是对大数学家而言也是如此（数学史上是不乏其例的）。
“四色定理”（球面或平面上的图形仅用四种颜色即可使得任何相邻的区域分辨开）是一个貌似简单的定理，直到1978年才有人借助于大型电子计算机的帮助将它证出（花了1200小时机上时间）。上个世纪末，德国的数学家闵可夫斯基在苏黎世大学给研究生们上课时，草率地谈起这个定理说：“它之所以没有证出来，是因为世界上第一流的数学家没有去考虑它。”说完他大笔一挥在黑板上演证起来。他本想一挥而就，轻松地拿下这个问题，但事与愿违，他写了满满几黑板，发现头绪越来越多——最后“挂”了黑板。
下面的几个小问题看上去十分容易，但请你仔细考虑后再回答，不然也会出错的。
一、还剩几个角
这个问题也许是“老生常谈”了：一个正方形的木板，锯下一个角，还剩几个角？当然答还剩三个角不对；还剩五个角对吗？其实也不对，不信请您看看下图。
大家不妨自己给出答案来，再考虑：一个长方体木块锯去一个“角”后还剩几个“角”？（答案有四种）
二、平均速度
小华骑车进城买东西，他家离城10千米。去时正赶上顶风，每小时只能骑10千米；回来时他想正好顺风快点骑。那么他每小时行多少里才能使他往返的平均速度达到每小时20千米？
乍一看，似乎返程时，他的速度达到每小时30千米就行，但是又错了。那到底要骑多快才行呢？大家还是算算看。
设返程速度为v千米/小时，依题意有：
20×（1010+10v）=10×2，
即1+10v=1或10v=0，
那么v应该等于多少？等于多少都不行，这是没法达到的平均。
三、还剩几个面
一个正四棱锥和一个正三棱锥的侧面形状全等，当把这两个几何体以侧面为基准粘合在一起后，还露出几个面？
七个，你当然会脱口说道，其实是五个。说起来这还有一段小故事呢。这道题目是1982年美国“初等学术能力测验”的一个题目，全美有83万中学生参加。题目的标准答案是七个，然而17岁的丹尼尔·路文的答案是五个。过后路文自己动手做了模型，证实了自己的结论——主考机关最后只得宣布路文的答案是对的。道理在哪儿呢？请见下图。
如图，对正三棱锥而言，凡与任意两条不相邻的棱平行的截面均为矩形；对正四棱锥而言，凡与其底面平行的截面均为正方形。现通过棱的中点分别取两个这样的截面。则当两个棱锥重合一个侧面后，这两个截面在重叠面上的两条边也恰好重合，而另两条边（如图中a、b）都在原正四棱锥的底的平行平面内，且夹角为180°，故a、b边所在同侧的两侧面是共面的。
同理可知与其相对的另两个同侧侧面也共面。这样两棱锥重叠一个侧面后共消失了2+（4—2）＝4个暴露面，只剩下9—4＝5个暴露面。
四、错了五十年的会徽
最后我们想讲一个小故事。美国数学会是一个在国际上甚有影响的数学组织，它有19500名会员。1942年美国数学会所办杂志《美国数学月刊》上刊载了美国数学会会徽（见下图），圆圈里面是一个正20面体，对于它的权威性似乎无人怀疑。
五十多年以后，美国华盛顿大学的55岁的布兰高·格林鲍华（南斯拉夫出生的美国人）从民主德国的邮票上发现其正20面体图案有误，在他进而想到美国数学会会徽图案时，他自己惊呆了——那也是一个错误的图案。
注意上图中的正三角形有箭头的那条边，应与图中虚线平行才正确，而会徽上的这两条线却不平行（如今此图案已改正）。