书城考试高中知识点清单——数学卷
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第22章 概率统计

【概率论】

概率论是数学的一个分支,它是研究随机现象中有关事件规律性的学科,概率论是在17世纪产生的,近几十年来随着科学技术的迅速发展,在工农业生产、近代物理、地球物理、自动控制与通信理论、生物学和医学等方面都起重要作用。

【随机现象】

在一定的条件下可能出现这样的结果,也可能出现那样的结果,而且不能预先断言出现哪种结果的现象叫随机现象。例如在桌面上投一枚硬币,可能正面向上,也可能反面向上,而且在投掷之前不能预先断言哪一面向上;一门炮对一目标射击,尽管经过瞄准,炮弹却可能落在目标附近的各个位置。

【随机事件】

随机现象中的事件在条件实现时可能发生也可能不发生,称这个事件为在这个条件下的随机事件。例如“正面向上”是“往桌面上投一枚硬币”这个条件下的随机事件;“命中目标”是“大炮瞄准目标射击”这个条件下的随机事件。

【必然事件】

在一定的条件下必然要发生的事件,叫做必然事件。例如“水沸腾”是在条件“纯水,一个大气压,100℃”下的必然事件。

【不可能事件】

在一定的条件下不可能发生的事件,叫做不可能事件。例如“水结冰”是在条件纯水,一个大气压、100℃”下的不可能事件。

【试验】

观察一定条件下发生的现象,通常叫做试验。条件实现一次就是一次试验,一个试验如果可以在相同的条件下重复进行,而且每次试验的结果可以不同,有偶然性,我们就称它为随机试验,为简单起见,也简称试验。

【频率】

在观察某一随机事件A时,共进行了n次试验,其中事件A发生了mA次,则mAn称为事件A发生的频率。

【概率】

在大量重复进行同一试验时,事件A发生的频率mAn总是接近于某个常数,在它附近摆动,这时就把这个常数叫做事件A的概率,记作P(A)。概率是用来表示随机事件发生的可能性大小的一个量。由于任何事件A发生的次数mA总不能大于试验的次数n,因此事件A的概率P(A)满足0≤P(A)≤1。而必然事件的概率为1;不可能事件的概率为0。

【等可能性事件的概率】

如果一次试验中共有n种等可能出现的结果,其中事件A包含的结果有mA种,那么事件A的概经P(A)=mAn。

例一个小正方体,六个面上分别写有数字1、2,3,4,5,6,投掷一次偶数数字朝上记为事件A,求事件A的概率?投掷两次时,两次都是偶数数字朝上记为事件B,求事件B的概率是多少?

解小正方体投掷一次有6种等可能性的结果,而偶数数字朝上有3种情况,故P(A)=36=12。

投掷两次小正方体,由乘法法则可知共有6×6=36种等可能的结果,而两次都是偶数数字朝上共有3×3=9种,故P(B)=936=14。

例将n个不同的球任意放到m(m≥n)个盒子中,每个盒子容纳球的个数不限。试求(1)指定的n个盒子中各放有一个球的概率P1;(2)有n个盒子各放有一个球的概率P2。

解(1)因为每一个球放入盒子中时都有m种方法,故由乘法原理可知,n个球全部放入盒子中时共有mn种放法,由于放法的任意性,这mn种放法都是等可能的。

指定的n个盒子中各放有一球,这种放法就是将n个球在n个指定的盒中的排列,有n!种,所以P1=n!mn。

(2)有n个盒子各放有一球,这种放法可按下述步骤来完成:先选出n个盒子(有Cnm种方法),然后将n个球分别放入n个盒子中,每盒一球(有n!种方)。所以,有n个盒子各放有一球的放法有Cnmn!种,从而得到P2=Cnmn!mn=m!mn(m—m)!

说明:等可能性事件概率的求法,基本上可用排列组合的有关知识解决,因此这部分内容是排列组合知识的直接应用。

【互斥事件】

在同一次试验中,不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件,也叫做互不相容事件。如果事件A1,A2,……,An中任何两个都是互斥事件,那么就说事件A1,A2,……、An彼此互斥。例如:从52张扑克牌中抽出一张牌,设事件A代表抽到一张红桃,事件B代表抽到一张黑桃,事件C代表抽到一张红方块,事件D代表抽到一张梅花,则事件A,B,C,D彼此互斥。

【互斥事件有一个发生的概率】

如果事件A,B互斥,那么事件“A+B”发生(既A、B中有一个发生)的概率,等于事件A,B分别发生的概率的和,即P(A+B)=P(A)+P(B)。如果事件A1,A2,……,An彼此互斥,那么事件“a1+a2+……+An”发生(即A1、A2、……、An中有一个发生)的概率,等于这n个事件分别发生的概率的和,即P(A1+A2+……+An)=P(A1)+P(A2)+……P(An)。

说明:上述内容中涉及到“和事件”的概念,在一般情况下,设A与B是同一试验下的两个随机事件,则“A或B有一个发生”的事件记作“A+B”事件,即只要事件A,B中有一个发生,都表示事件“A+B”发生。

例某电话总机一分钟内:呼叫次数为0至5次的事件A概率为012,呼叫次数为6至10次的事件B的概率是032,呼叫次数为11至15次的事件C的概率是035,呼叫次数为16至20次的事件D的概率为013,试计算每分钟呼叫的次数在0至20次的事件E的概率。

解显然事件A,B,C,D是彼此互斥的,所以P(E)=P(A+B+C+D)=P(A)+P(B)+P(C)+P(D)=012+032+035+013=092。

【对立事件】

在一次试验中,如果两个互斥事件必然有一个发生,那么这两个事件叫做对立事件(或叫做互补事件)。一个事件A的对立事件记作A—。显然A+A—是必然事件,它的概率为1。又因为A与A—互手,所以P(A)+P(A—)=P(A+A—)=1,即P(A—)=1—P(A)。

例在上例条件下,求每分钟呼叫次数在20次以上的概率。

解显然每分钟呼叫次数在20次以上这一事件是每分钟呼叫0至20次的事件E的对立事件,记为事件E—,

则P(E—)=1—P(E)=1—0。92=0。08,

即每分钟呼叫的次数在20次以上的概率为008。

【相互独立事件】

两个相互独立的事件首先是对两个不同的试验来说的,如果第一个试验中事件A是否发生,对第二个试验中事件B发生的概率没有影响,反之,第二个试验中事件B是否发生,对第一个试验中事件A发生的概率也没有影响,就说事件A和B是相互独立事件。

说明:学习相互独立事件概念时,要注意与两个互斥事件概念区别开来,前者是指两个试验中,两个事件发生的概率互不影响,后者是指一次试验中,两个事件不会同时发生。

【相互独立事件同时发生的概率】

两个相互独立的事件A,B同时发生记为事件A·B,则事件A·B的概率等于事件A、B概率的积,即P(A·B)=P(A)·P(B)。

一般地,如果事件A1,A2,……,An相互独立,那么这n个事件同时发生的概率,等于每个事件发生的概率的积,即P(A1·A2………An)=P(A1)·P(A2)·……P(An)。

例对同一目标进行三次射击,第一、二、三次射击的命中概率分别是04、05、07,试求(1)三次射击都命中的概率;(2)三次射击恰有两次命中的概率。

解(1)设“第一次射击,击中目标”为事件A,“第二次射击,击中目标”为事件B,“第三次射击,击中目标”为事件C,三次射击都击中目标就是事件A·B·C。

由题意可知三次射击互不相响,即事件A、B、C互相独立,所以P(A·B·C)=P(A)·P(B)·P(C)=04×05×07=014。

即三次射击都命中的概率是014。

(2)“三次射击恰有两次命中”(用A表示)包括三种情况:第一次命中(用A1表示),第二次命中(用A2表示),第三次未命中(用A3表示);第一、三次命中,第二次未命中;第二、三次命中,第一次未向中,所以A=A1A2A—3+A1A—2A3+A—1A2A2,由于三次射击是独立的,因此P(A)=P(A1A2A—3)+P(A1A—2A3)+P(A—1A2A2)=P(A1)P(A2)P(A3)+P(A1)P(A2)P(A3)+P(A1)P(A2)×P(A3)=0.4×0.5×0.3+0.4×0.5×0.7+0.6×0.5×0.7=0.41。

即三次射击恰有两次命中的概率是0.41。

【独立重复试验】

将只有两种可能性的试验(也叫贝努里试验)独立地重复n次的随机试验,叫独立重复试验,也叫做n次重贝努里试验。这种试验有两个特点:

(1)试验的内容是重复n次某一种试验,每次试验有两个可能的结果:

Ai(成功),Ai(失败)且P(Ai)=P,P(Ai)=1—P,与试验的序号i无关。

(2)n次试验是独立进行的,即每次试验结果出现的概率不受其他各次试验结果的影响。

在n重贝努里试验中,事件Bk——在n次试验中恰好有K次成功——的概率P(Bk)=CknPk(1—P)n—k,(K=0、1、……、n)。

说明:独立重复试验是同一试验的n次重复,如同一门炮独立地射击4次;不过也可以应用到n次不同的独立试验,只要每次试验中“成功”的概率相同,如4门炮独立地向目标各射击一次,如果每门炮命中的概率相同,也可以看作是4重贝努里试验。

例10名射手命中概率都是15向同一目标彼此独立地各射击一次,试求:

(1)10人中全没命中目标的概率;

(2)恰有一人命中目标的概率;

(3)至少有两人命中目标的概率。

解由于10名射手的命中率相同,所以可以看成10重贝努里试验。设“射手射击一次命中目标”记为事件A,即P(A)=15。

(1)设“10人中全没命中目标”记为事件B,

则P(B)=C010P0(1—P)10=4510=01074。

(2)设“恰有一人命中目标”记为事件C,

则P(C)=C110P0(1—P)9=10×15×459=2×459=02684。

(3)设“至少有两人命中目标”记为事件D,则D=(B+C)

P(D)=1-P(B+C)=1-P(B)-P(C)

=1-01074-02684=06242。

例设有两架高射炮,每一架击中飞机的概率都是06,试求同时射击一发炮弹而命中飞机的概率是多少?又若一架敌机侵犯,要以99%的概率击中它,问需要多少架高射炮?

解两架高射炮同时射击一发炮弹而命中飞机,包括两种情况:两发炮弹恰有一发命中或两发炮弹都命中。

P(命中飞机)=C12p(1—p)+C22P2=2×06×04+062=084,即两架高射炮同时发射一发炮弹,命中飞机的概率是084。

也可用两发炮弹至少有一发命中的对立事件(即两发炮弹均未命中)来处理,即P(命中飞机)=1—P(未命中飞机)

=1—C02P0(1—p)2=1—042=084。

设需有n架高射炮,同时发射一发炮弹命中飞机的概率为99%,则P(命中飞机)=1-P(均未命中飞机)=1—C0np0(1—p)n=1—04n。

即1—04n=099,04n=001。

n=lg0。01lg0。4=—2—0。3979=5。

所以要以99%的概率击落敌机,需要5架高射炮。

【总体和个体】

要考察的对象全体叫做总体,是一个集合的概念。

总体中每一个对象叫做个体,个体是总体的元素。

【样本】

从总体中抽取的一部分个体叫做总体的样本。

说明:样本是集合的概念。它和总体的关系是样本是总体的真子集,有样本总体的关系。

【样本的容量】

样本中个体的数目叫做样本的容量。

【平均数】

如果有n个数x1,x2,x3………xn,那么x=1n(x1+x2+x3+……+xn),叫做n个数的平均数,有时写成x=1n·ni=1xi。

说明:这里所说的平均数也叫算术平均数。

【总体平均数】

总体中所有个体的平均数叫做总体平均数。

【样本平均数】

样本中的所有个体的平均数叫做样本平均数。

【公式x=x’+a】

从一组数据x1,x2……xn,同时减去一个适当的常数a,即x’1=x1—a,x’2=x2—a,……,x’n=xn—a,

则x=1n(x1+x2+……+xn)

=1n[(x’1+a),+(x’2+a)+……+(x’n+a)]

=1n[(x’1+x’2+……+x’n)+na]

=x+a。

【加权平均数】

如果n个数中,x1出现f1次,x2出现f2次,……xk出现fk次(这里的f1+f2+……fk=n)时,

x=xf1+x2f2+xkfkn=1nki=1xifi,

其中,f1,f2,……,fk叫做权。

【样本方差】

样本中各数据与样本平均数之差的平方的平均数s2=1n[(x1—x)2+(x2—x)2+……+(xn—x)2]叫做样本方差,即s2=1n(xi—x)2。

说明:样本方差是来衡量样本的数据偏离样本平均数的大小的一种方法。

【总体方差】

当样本容量很大时,样本方差很接近反映总体波动大小的特征数,叫总体方差。

【样本标准差】

样本标准差是指样本方差的算术平方根。

【样本方差计算公式】

s2=1n[(x21+x22+……+x2n)—nx2]=1nni=1x2i—nx2,当样本的容量是n时,可写成s2=1n[(x’21+x’22+……+x’2n)—nx’2]=1n(ni=1x’2i—nx’2)

说明:样本方差的计算,为解决总体方差的估计,公式的变形,是为了计算的简化。

【频数】

对统计数据进行分组处理,对属于每个小组内的数据进行累计,在各个小组内的数据的个数叫做每一小组的频数。

【频率】

每一小组的频数与样本容量的比值叫做这一小组的频率。

【频率分布直方图】

用样本分组界值做为横坐标,以频率与组距的比值做为纵坐标,做出的统计图表,并以邻界的样本与其频率与组距的比值做成长方形。

长方形的面积=组距×频率组距=频率,

长方形的高=频率组距=1组距×样本容量×频数,

其中,1组距×样本容量是一个常数。

注意各小长方形面积的和为1。

【累积频率】

数据小于某一数值的频率叫做该数值的累积频率。

根据算出的累积频率可以绘出累积频率分布图。它的横轴表示样本,纵轴表示累积频率,它的图形是一条折线。