书城童书聪明孩子都在玩的数学游戏
19101200000260

第260章 贴广告

小张失业了,现在的工作很难找,于是小张只能选择去帮别人贴小广告。小张负责的地区有2005根电线杆,它们都是等距离排列的,每两根之间的距离称为“杆距”。

这天,小张领到了他的第一笔生意,给一家小诊所贴广告。诊所给了小张2005张广告,让他贴在他所负责的地区的每根电线杆上。

因为小张所得的报酬是按他走过的“杆距”计算的,计费杆距计算的规则是:从他任意选定某根电线杆贴上第一张广告算起,到他贴上最后一张广告为止。如果中间有折返点,必须在某根电线杆处折返,折返处的电线杆上要贴广告。那么他应该想一种什么样的走法,才能使他走过的计费“杆距”最多,从而得到的报酬也最多。你能帮他列出N根电线杆时计费杆距的最大值的公式并证明它吗?

设计费杆距为y,电线杆的数量为n,则当n=0时,y=0,不用贴。n=1时,y=0,相当于白贴,没人会付钱的。

我们可以假设小张负责的区域没有折返点,即贴完最后一根后再回到第一根,那么他的行程可表示为:

y=|x1-x2|+|x2-x3|+……+|x2004-x2005|+|x2005-x1|求y的极大值。

去掉绝对值后,y=a1-b1+a2-b2+a3-b3+……

a2005-b2005=(a1+a2+……+a2005)-(b1+b2+……+b2005)令这2005个点分别为1,2,3,4,……,2005;

则a1+a2+a3+……+a2005最大为2005+2005+2004+2004+2003+……+1004+1004+1003;b1+b2+……+b2005最小为1+1+2+2+3+3+……+1002+1002+1003于是y的最大值为2005+2005+2004+……+1004+1004+1003-1-1-2-2-……-1002-1002-1003=1003×1002×2=2010012。

最后去掉闭合线路中的一条最短的:1003-1002=1得到答案2010011。

你能明白吗?