我们画一个梁架于两个支柱上，计算机分析表明：如果将梁的长度延伸，那么梁上的压力会加大，梁越长，梁的重量在上部所产生的压力越大，那么在底部的张力也越大。而石头在张力的作用下会很脆弱，支柱不会倒，因为它们被压着，而当张力太大时梁会倒。在底部梁也会倒，除非这些支柱排得很紧密。
希腊人在使结构轻巧上是有天赋的。比如，他们会用两排支柱使结构轻巧。但这些只是权宜之计，从根本角度讲，石头的物理特性的限制是不可更改的，除非有新的发明产生。希腊人着迷于几何，但令人惊异的是他们仍没有构想出弧形来。但事实上，弧形是工程学上的发明，是比希腊与秘鲁更为实际更平民化的古罗马文明的发明。
西班牙西哥维亚的沟渠，是公元100年由罗马人修建的，当时的国王是特拉金。它将流自10英里外高高的塞拉山的里奥弗罗河的水引下来。这条沟渠用一个个由粗花岗岩块修建的100个双排圆拱构成，横跨约半英里宽的山谷。它庞大的构造让西班牙以及摩尔人如此敬畏。以后在那些更迷信的岁月里，他们给它命名为ELPUENTEDELDIABLO，意思是魔鬼之桥。
对现代人而言，它的结构也显得如此气势磅礴，与其载水的功能不成比例。因为我们只用轻轻打开水龙头即可取水。我们忘了城市文化中水这个广泛存在的问题。每个集能工巧匠于一体的现代文明，都依赖于像罗马人修西哥维亚沟渠所体现的发明与创新。
罗马人不是一开始就用石头创造出拱形的，而是用一种类似制作混凝土的模子修建。从结构上来说，拱形只是使中心部位承重不超过其余部位的一种简单的跨空间方式，它使压力很均匀地向外扩展。因此拱形可以由几个部分构成：每个石块承受一定压力。从这个意义讲，拱形是一种将天然材料分割拼凑成一种更有力的新的构造的巧法。
罗马人总是将拱形造成半圆形，他们有行之有效的数学方式。他们不愿做新的尝试，当拱形被引入阿拉伯国家的那些庞大建筑中时，半圆形仍是其基本模式。在摩尔人的那些回廊与宗教建筑中，可以明显地看到这一点。例如在阿拉伯人统治后，同在西班牙的科多巴于公元785年修建的大清真寺就是如此。它比位于柏埃斯图姆的希腊神庙空间更广，但显而易见也有类似的问题，即同样满是柱子，没有革新，这个问题是无法摆脱的。
那些会产生激进效应的理论发现，往往立刻引人注目，并让人觉得有创新意识，而实践中的发现即使非常超前，往往也显得平实，不那么让人难忘。打破罗马式拱形的局限结构的革新终于到来，它可能来自欧洲之外某个地方，最初是以剽窃式方式到来的，这种革新后的拱形是一种新式的拱形，不是圆形而是卵形。这似乎不是一个伟大的变革，但它对建筑的拼接的影响是巨大的。当然，尖的拱更高一些，因此更开阔更敞亮。但是更激进的哥持式拱的出现使空间以一种新的方式承载着，如同位于里姆斯的建筑一样重量从墙体上卸去。因此可以在墙中嵌入玻璃。整体看起来像从顶上将整个建筑如鸟笼般挂起，而内部变得更开阔，因为其骨架在外部。
约翰·拉斯金带着敬慕之情这样描述哥特式拱形的效果：
埃及及希腊建筑多数凭着自身份量与庞大而突出。而哥特式的拱顶与窗格花有着类似于翅骨及树的纤维一样的轻巧与力度。它使各个部分之间的压力与力量均匀分配，使之更有弹张力。它也使建筑的每个可见的线条都用心地展现出来。
在记录人类狂妄之举的所有建筑物当中，没有哪个能与这些窗格栏与玻璃之塔相媲美。这些东西是在1200年左右进人北欧的。这些叛逆的庞然大物是人类深谋远虑的绚丽成果，或者更不止于此。我可以这么说，它们是人类洞察力的成果。因为他们是在数学家们还不知如何计算其内在力之前就建成了。当然不可否认会有某些尺度上的错误。但是这些哥特式教堂最令数学家们注意的，是这些建筑多么有洞察力。人类从一种结构到另一个结构的过渡是多么顺利又多么合情合理。
这些教堂，是在普通市民的赞同下由普通的泥瓦匠建成的。它们与那个时代日常所见实用的建筑没有任何瓜葛。即当时的创作随时可能成为一项革新。在构成上，由罗马拱形的半圆形变成哥特式高而尖的拱形。这样，拱上的压力传到建筑之外。然后在12世纪又一次变革下成为半拱形：飞扬的拱壁。压力在拱壁上传递（正如同我举起手来也会有压力从手臂当中传递出来一样），并扶着建筑物，好像要撑住它一样。没有压力的地方就没有泥水砖瓦。这种现实主义的基本建筑原理直到钢筋承泥建筑的出现才得以改变。
人们会有这样的感觉：构思这些高大建筑的人们一定为他们新发现的在石头中蕴含的力量的掌握而过分兴奋，不然在他们还无法计算各部分的力之前，他们是如何同时建筑另外两个拱顶分别为125英尺与150英尺的拱顶呢？当然，在离兰斯不到100英里的贝尔维斯的那个150英尺高的拱顶坍塌了。这样的灾难，这些建筑者们迟早都会面对的：拱顶的尺寸肯定有其限度，即便是建大教堂。当贝尔维斯的拱顶在建成几年后的1284年坍塌时，这些试图建更高大的哥特式拱顶的冒险者们变得理智了些：他们再没有尝试比这个尺寸更高的拱顶了（当然，这些经验式的设计可能合理，也许只是贝尔维新的地面不够牢实，无以承受这个高大的教堂建筑）。但在兰斯的那座125英寸的拱顶仍矗立着。从1250年以后，兰斯逐渐成为欧洲艺术中心。
拱顶、拱壁、圆屋顶（一种旋转的拱顶）并非人们将自然之果为我所用的尽头。在其后有更大的成果：在我们现在开始探寻物的微观事实上。现代的常常不是如何根据一种材料去设计某种建筑，而是为某种建筑设计某种材料。
这些土匠头脑中所积累的，不仅是他们在各处辗转建筑中所蓄积的建筑图案与建筑思想的经验，他们还创造了一些个轻型小工具。他们用罗盘勾出卵形拱顶的形状及圆花窗的圆形形状。他们用卡尺确定各个部分位置，打上墨线，然后固定成重复的图案。如同希腊数学家那样用T形矩尺确定垂直线与水平线，以使角度正确。
垂直线用铅锤线来确定。水平线是周定的，但不是根据水平仪，而是以直角连接的铅锤线保持正确角度来确定的。
这些四处走动的建筑工人们是智慧的（如同500年后的钟表匠一样），他们在欧洲各处工作，受到人们的欢迎。早在14世纪，他们就自称为“自由工匠”，他们手上的工夫，脑中的智慧在别人看来是如同传统一样神秘。这种神秘的知识技能是大学讲台上所授的那些乏味的陈词滥调所无法比拟的。当这些自由工匠的作品在17世纪消失时，人们开始认可这些光荣的工匠，并很愿意认为他们的手艺可以追溯到埃及的金字塔。但这可不是值得夸赞的传统。因为埃及金字塔更多运用原始的几何学，是无法与这些教堂相媲美的。
事实上，到20世纪末，我们关于科学的概念已发生急剧的变化。现在我们把科学看作是对自然的潜在结构的描述性解释。诸如结构、图案、计划、安排、建筑这类的词汇不断出现在我们试图所作的每一种描述中。我碰巧一生都与之打交道，这给了我一种特别的快乐：我自童年以来所接触的数学就是几何。但是，几何不再是我个人或职业的嗜好。它已成为科学阐释的日常用语。现在我们谈论着水晶构成的方式，原子的各部分构成的方式——尤其是谈论着活的分子构成的方式。DNA的螺旋形在随后的几年已成为最生动的科学想像，所有这一切想像在这些拱形中都得以体现。