这时哈娜正巧走过来，看到牛顿拿着苹果苦笑，便挖苦他说：
“怎么啦？哥哥，又在对苹果说话了？”
“不是，我是在想苹果与月亮有什么不同？”
哈娜于是笑着说：
“这有什么好想的，它们本来就不一样的嘛！”
“是不一样。找刚刚坐在这儿，睡得正香甜的时候，这个苹果忽然从树上掉到我的头上，把我给吓醒了。”
“咦！真有那么巧的事！”
“哈娜，你知不知道，苹果从树上掉下来的时候，为什么会掉到地上，而不是往天空飞呢？”
哈娜很惊讶地说：
“这有什么好奇怪的，苹果成熟了当然会往地上掉呀！”
“这又是什么道理呢？”
牛顿看着苹果，心里不断反复地想着这个问题。
哈娜看见哥哥那么关注的样子，不忍心打断他的思绪，便独自走回屋里去，把牛顿一个人留在院子里。
牛顿坐在树下对着苹果沉思许久，才领悟出苹果会从树上直接掉到地上去，是因为地球引力的作用。
一个苹果偶然落地给人类的思想带来了一场革命，看似有些偶然，但又是必然。见过苹果从树上落下的人我想是屡见不鲜的，如果是一位节俭的农民见到这样的情形他会把这个又红又大的苹果与它的兄弟一样收到储藏室里，心想一定要加快摘收，不然果子要烂在地里了；如果是贪财的商人看见了苹果，眼前就会罗列出一串数字，判断一下像这种好品种的果子，如果收购的话会赚多少钱；如果是一个馋嘴的过路人看到了，这个苹果一定会很快成为他嘴里里美味，想指望他们成为牛顿显然是徒劳的。后来当有人问起牛顿，他是怎样发现地心引力和其跨时代的理论时，他回答“经常思考这些问题。我总是把这些问题摆在自己的面前，并耐心地等待着，直到黎明的晨光逐渐变为万道光芒”。
“苹果会因为地球引力而掉下来，为什么月球就不会受到地球引力的影响而掉下来呢？而且它为什么还会和地球保持一定的距离运转呢？这是不是因为月亮和地球的距离比苹果和地球的距离大的关系？”
牛顿百思不解。
牛顿想苹果和地球之间有引力，月球和地球之间是不是也有引力存在呢？这个问题一直在他心中盘绕不去，忽然他想到：
小时候曾玩过一种游戏，那是用一条细绳子绑住一块石头，然后把它拿在手上用力甩，石头就会绕着圆圈打转。如果把手当成地球，把石头当成月球，那绳子便成了地球引力，这样就可以了解月球为什么会保持一定的距离绕着地球转，而不会飞走或撞到地球了，同样的道理，地球绕着太阳运转，也是因为这种引力的关系。
他领悟出这个道理，心里有说不出的愉快，但他又想：
“地球和月球、太阳之间都有引力存在，这种引力会不会因为距离不同而改变呢？”
他这时候忽然想起开普勒的第二定律，根据这个定律可以计算出行星的运行半径。
假如有一个行星，它环绕地球一周需要27年，那么，它和地球的距离应是它和太阳距离的九倍。
他从这个法则反推回去，结果发现了有名的“逆二乘的定律”，用这个定律可以算出地球和月球之间的引力。
后来牛顿还在《原理》中提出了万有引力定律，这是他最著名的科学成就之一。正是这个发现奠定了天体力学的基础，并使他能够以此把地球乃至宇宙间万物的运动规律和相互作用统一起来（在此之前没有一个自然规律能够做到这一点）。这是一项亘古未有的划时代的重大突破，对人类科学史产生了无可估量的巨大影响。牛顿万有引力定律的内容是：宇宙中任意两个质点互相吸引，引力与他们质量的乘积成正比，与它们距离的平方成反比。
牛顿究竟是怎样发现万有引力定律的呢？科学界存在着好多说法，最浪漫的莫过于苹果落地的启示。在今天，剑桥大学三一学院的博物馆中还陈列着这颗启发了牛顿的苹果树的一段枝干供人瞻仰。这并非空穴来风，随意捏造，它最初的来源是牛顿晚年的朋友斯塔克霄的一段回忆：
“在1726年4月15日午餐后，气候宜人，我们（他和牛顿）进入花园，在同一棵苹果树下喝茶，当时只有他和我，在闲谈中，他告诉我他恰巧是在同样的情况下，像以前所说的那样，对引力的看法，浮现于脑海。那是在他坐着沉思的时候，因一个苹果偶然落下引起的。”
事实上，牛顿并非因为一个苹果便发明了万有引力定律，它只是给了他以偶然的启发，促使他从理论上证明并用“地月检验”来验证引力平方反比关系。牛顿有一句名言妇孺皆知：“如果说我比其他人看得远些，那是因为我站在巨人的肩上。”他说得一点没错，正是继承了开普勒的天体运动的三个基本原理和伽利略的物体运动学说之后，又经过了22年苦心孤诣的计算他才取得了这样的结果。在此，让我们看一下开普勒的定律：
行星围绕太阳作椭圆运动，太阳是这些椭圆的一个焦点。
联结太阳和行星的直线在相同的时间内扫过相等的面积。
每个行星完全旋转一周所需的时间的平方，与它到达太阳的平均距离的立方成比例。
牛顿的天才在于他将开普勒的定律和伽利略的发现结合在—起，且把对此的理解从地球扩展到了整个宇宙。他的万有引力定律推迟了20多年才正式发表，之所以这样原因有几个。起初他认为地心引力仅作用于地球，后来将重力学说拓展到地球外的天体时，他无法用数学进行推算，而不得不先求出均匀的实心球体对球外质点的全部吸引力。因为地球上每一个质点吸引球外质点的力与两个质点的质量乘积成正比，与它们之间的距离平方成反比；那么无穷多个力又是如何合成或叠加成一个吸引力的呢？这个问题对于今天的学生们来说简直算不得什么，用几分钟便可以轻松作出解答，但它确实困扰了牛顿20年。最终还是牛顿定律给出了直接的解答。几分钟和20年的差距让我们能够了解到历代科学家为了使微积分更加通俗易懂所作出的巨大贡献。没有他们的辛勤和汗水就没有人类认识的进步。
加入皇家学会
1671年是牛顿声名大起的一年。有一件事轰动了整个剑桥大学，在以往研究的基础上，牛顿对自己制造的天文反射望远镜进行了必要的改进，整体计算也精确化了。新的望远镜长25英寸，直径2英寸，可放大38倍，采用铜锡合金制作的凹面反射镜使观测效果更加清晰，令人满意。受到巴罗教授的鼓励，他将这台望远镜送给英国皇家学会，征求他们的意见。到此时为止，他个人对行星的观测已经进行了很久，取得了很多珍贵的数据。在此基础上，他大胆地提出了不同以往的行星运动的规律，更提出了地球并非正球体的设想。牛顿的望远镜以其奇特的设想、新颖的设计、超常的性能，极大地震撼了英国皇家学会。渐渐地，从那台神秘的“魔镜”开始，人们知道了牛顿，这个伍尔索浦的年轻人，牛顿自己还花费了整整10年时间来从事反射式望远镜的设计和制造。
牛顿的精湛手艺，对他制作反射式望远镜大有帮助。他亲自设计研磨抛光机，试验研磨材料、金属合金和各种方法，以使金属镜面尽可能地光滑无瑕。镜面的光滑无瑕是关键问题，而反射镜则是其决定性因素。
但是，这种磨光了的反射镜片不管采用什么样的金属合金，也会很快变得暗淡无光。因此，牛顿一再建议在磨光的玻璃背面镀上一层水银，以让镜面光滑无瑕。但是，这个建议在当时也碰到了无法克服的技术障碍。所以，又过了很长时间，反射式望远镜才在天文观察仪器中占有一个牢固的地位。
就是在这种情况下，牛顿制作的新型反射望远镜被英国皇家学院内一班趋炎附势之徒呈给了国王查理二世。在此之前，牛顿的名字已经传到了他的耳中，牛顿凭借当选卢卡斯数学教授和反射望远镜的发明得到了公众的承认，一时成为大众的话题。一看到这台望远镜，查理二世便赞不绝口：“好极了！设计很别致嘛，对了……”他抬起头来问周围人：“是我们的人发明的吗？”（其实他心里比谁都清楚）“是的，陛下明鉴，是剑桥大学三一学院的卢卡斯数学教授伊萨克·牛顿，家住林肯郡伍尔索浦。”马上有人恭谨地回答：“嗯，很好，我们就是要多多培养、提拔这样的年轻人……他叫什么来着？哦，牛顿。可以考虑让他加入皇家学院……”查理二世把玩着望远镜，嘴里漫不经心地说着，臣子们也随声附和，但半天还不到，他就把这件事情彻底忘光了。送给他的望远镜今天还作为珍贵的藏品被保存在剑桥大学的三一学院。但这对牛顿个人来说却是个重要的转折点，自此他的声名大震，天下人都知道这个年轻人发明的新型望远镜得到了国王的好评。以前对他当选卢卡斯科学教授高唱反调的人也都转而大加溢美之词。但牛顿生性不喜名利及阿谀之辞，对外界的反应倒也没有太放在心上。他只希望以后能够有一个更加利于科学研究的环境，重要的是他迫切地想与其他科学的先行者进行进一步交流。
1671年，机会终于来了，12月23日，鉴于牛顿在天文观测及光学领域的杰出贡献，索尔茨伯里的主教和牛津大学的天文学教授S.瓦尔德向英国皇家学会正式提议：选举牛顿为新会员。这次与上次已经大大地不同了，在几乎全票通过的情况下，牛顿在半个月后，即1672年的1月11日被接纳为英国皇家学会的新会员，从此正式踏入学术界，英国皇家学会的建立是一步一步发展的呢？这还要从15世纪至16世纪的地理大发现说起。随着世界市场和被掠夺区域的空前扩大，封建经济向资本主义经济的进一步转化，英国的工商业、手工业取得了很大程度的发展。由于海外贸易，贩卖黑人，对外掠夺得到了来自统治阶层的公然支持，资本在此期间得到了大量的积累。在另一方面，人们在各个领域都提出了对技术、知识、制造的更高的要求。如航海方面，造船，测量距离，天文学等等。在此期间英国涌现出了一大批极负创造力的“学者”，他们有的是建筑师，有的是手工业者、算学家或工程师，他们并没有很高的社会地位，也没有经过正统的高等教育，只是在工作的过程中，进行实践积累知识并积极创新。可以这样说，正是他们创立了早期资本主义新科学。对科学知识的渴求促使他们创造各种机会进行学术上的交流。同时资本主义和技术在英国的发展，使得一些富有的商人感到应用科学的重要性，他们以各种形式支持、赞助科学研究和技术交流，促进了英国科学的飞速发展。比如，1558年伦敦商人托马斯·史密斯便召开数学讲座，训练航海人员和船长，以应付西班牙无敌舰队的威胁。当时伦敦著名的金融家，麦塞斯公司的经理托马斯·格雷山姆将自己的房产捐献出来，建立了格雷山姆学院。开始的目的主要是像他在遗嘱中所说的那样：讲授天文知识，行星学说，及其他观测仪器的使用，以增加海员的能力。教授应当每年以一个学期左右的时间通过讲授地理和航海技术，将天文学加以应用……将学院办成一个培养海军士兵和军官的学校。
经过100多年的发展，格雷山姆学院在17世纪中叶已经成为英国科学活动的中心，其中也集中了一大批各个域最优秀的科学家。
该学会的核心人物和发起人有：建筑师克里斯托弗·雷安（1632～1723年），伦敦大火发生后他领导了重建工作，建造了著名的圣保罗教堂；机敏的实验家和物理学家罗伯特·胡克；博学多才的化学家和物理学家罗伯特·波义耳（1627～1691年）以及数学家约翰·沃利斯和威廉·布龙克尔（1620～1684年）。
当时，牛顿就和这些人过从甚密，时常有学术交往。他们成为牛顿发展自然科学的伴侣。
很幸运，沃利斯的一封信保存至今。对我们而言，这封信是关于当时自然科学所研究范围的启发性文献：
“1645年我在伦敦期间有幸结识了许多可敬人士，他们对自然哲学和人类的其他问题，特别是对我们所指称的新哲学或实验哲学有着强烈的求知欲。我们相约每周在伦敦碰头一次，研究和讨论诸如此类的问题……我们的目标是（神学和政府事务除外）讨论和考察哲学研究和应用诸学科的问题；如物理学、解剖学、几何学、天文学、航海学、统计学、磁学、化学、力学和自然实验。而且根据研究情况决定怎样在国内外加以提倡和推广。我们讨论了血液循环、血管瓣膜、淋巴管、哥白尼假说、彗星和新星的性质，木星的卫星、土星的卵形形状（当这种形状刚出现的时候）、太阳黑子及其绕自身轴心的旋转，月亮的不对称性及其描述、金星和水星的各种盈亏、望远镜的改进以及为此目的而进行的镜片磨制、空气重量、真空的可能性或不可能性以及自然与此相反的趋向、托利拆利氏汞柱试验、重物的降落和加速度等等诸如此类的问题。”
看一下皇家学会章程中所规定的任务也很有意思。里面有这样一段话：
皇家学会的任务和目的是通过实验获取关于自然事物的知识，改进一切有用的技能，改进制造业、机械加工方法、机器和发明（神学、形而上学、伦理学、政治、语法、修辞学和逻辑学除外），发掘那些失传的有用技能技巧和发明。鉴别所有古今重要著述家关于自然、数学和机械，关于发明、设计或实用东西的所有体系、理论、原则、假设、原理、历史和实验，其目的是为综合成为一个全面可靠的哲学体系，以说明所有以自然或人工形式出现的现象，并说明这些事物的合理原因。
牛顿进入皇家学会后便和正在兴旺发达的实验科学联系到一起。