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第58章 非欧几何的创始人

欧几里得的《几何原本》至今仍然是中学平面几何的基石。《几何原本》共13卷,第一卷上有35条定义,5条公理和5条公设。这些公理和公设是全书的基石,其他的命题和定理都是这些定义、公理和公设的逻辑推理。

在5条公设中,前四条都容易验证,如两点之间可以连一直线。但是,第五公设“通过直线外一点,能并且只能作一条平行于原来直线的直线”很难验证。欧几里得本人也怀疑这一点,总是尽量避免引用它。因此在《几何原本》中,前二十八个命题的证明中没有用到第五公设;直到第二十九个命题时,不得不用第五公设。

能不能把第五公设删掉?能不能由其他公理、公设来证明第五公设?自公元5世纪来,探索这一问题的人历代不绝。1815年,罗巴切夫斯基开始研究第五公设,经过10年的冥思苦索,公开声明第五公设是不能用其他公设、公理证明的;并且采用了一条与第五公设相反的公理,即“经过直线外已知点至少可以作两条直线和已知直线不相交”。由其他原来的公设、公理和修改了的第五公设(即上面讲的公理)组成了新的公理体系。形成了新的非欧几何学,其严密性不亚于欧几里得几何。人们称新的几何学为罗巴切夫斯基几何。

从罗巴切夫斯基的公理体系出发,用逻辑推理的方法,可以得出与欧几里得几何截然不同的结果。如两平行线之间的距离不相等,三角形内角之和小于180°等。

高斯很早就提出了非欧几何的轮廓。但是,他生前始终没有发表这一成果。高斯的同学伏尔刚·鲍耶终身从事第五公设的证明,毫无成就,内心非常痛苦。他的儿子约·鲍耶继续钻研这一难题,终于在彼此独立的情况下,比罗巴切夫斯基迟几年发表非欧几何的成果。因此,约·鲍耶也成为非欧几何的创始人之一。