书城自然科学必谈的数学趣闻
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第27章 为什么2n个小球能移为一堆

有2n个小球,分成许多堆,随意选定其中的甲、乙两堆,若甲堆的球数不超过乙堆的球数,便从乙堆中取出等于甲数目的小球放入甲堆,这样算做一次“移动”。那么经过有限次的移动,能否把这2n个小球并为一堆呢?

解决本题需要掌握初等数学中的一个重要解题方法——数学归纳法。因为小球的数目,虽有规律如可能是2,4,8,16……等,但毕竟不能以其中的任一个确定的数为解题出发点,因而解题的方法相应的也要抽象一些。

数学归纳法的证题思路是:要证明一个结论首先验证在所有的n可以取的值中选一个最小的值(如n=1或n=2等),结论是正确的。第二步是,假设n取任一个自然数K时结论正确,再证明n取K+1时结论也正确。两步结合起来,一个是基础,一个是传递,我们就可以从n=1时结论正确推到n=2结论正确,再推到n=3时结论正确……即对于任意自然数n,结论都正确。

回到我们的问题,结论是肯定的,当n=1时有2个小球,最多分两堆。每堆一个小球,那么一次“移动”就并为了一堆。假定有2K个小球分成若干堆,经过有限次“移动”能并为一堆。那么把2K+1个小球分成若干堆时,情形又如何呢?因为2K+1是偶数,所以小球个数是奇数的堆有偶数个,把他们两两匹配,每两堆间“移动”一次,这样各堆小球的数目就都是偶数了,设想每堆中都把两个小球贴在一起,移动也好不移动也好都当一个小球看待,那么总数不就是2n个了吗!总起来说就是,只要2K个小球可并为一堆,那么2K+1个小球就能并为一堆。这样就从21个结论成立,推到22个结论成立,再推到23个结论成立,当然对任意自然数n,结论都是成立的。