书城自然科学必谈的数学趣闻
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第14章 池塘中的芦苇有多高

陈明和张红、方华在昆明湖中划船,岸边有一棵芦苇露出水面。这棵芦苇有多长呢?这里水有多深呢?小明捉摸了一会,拿出尺来量了量芦苇露出水面的长度是11厘米,芦苇离岸边的距离是3米零1厘米,他又扯着芦苇顶端引到岸边,苇顶正好和水面相齐,陈明高兴地说,我可以算出芦苇的长度和水深。张红和方华感到奇怪:你怎么会算的呢?陈明说:“我叔叔有一本《九章算术》,那是汉朝的著作,离现在快两千年了,前天晚上,叔叔给我讲了其中一个题目,就是计算芦苇长度的。”接着,陈明给他的小伙讲了这个题目。

这个题目是《九章算术》勾股章第六题。题目是:

“有一个方池,每边长一丈,池中央长了一棵芦苇,露出水面恰好一尺,把芦苇的顶端引到岸边,苇顶和岸边水面刚好相齐,问水深、苇长各多少?

设池宽ED=2a=10尺,C是ED的中央,那么,DC=a=5,生长在池中央的芦苇是AB,露出水面的部分AC=1尺,而AB=BD,设BD=c,水深BC=b,△BDC是一个勾股形。显然AC=AB-BC=c-b=1尺,AC的长等于勾股形中弦和股的差,称为股弦差,于是,问题就变了:已知勾股形的勾长和股弦差长,求股长和弦长。

由勾股定理得

a2=c2-b2,

那么,

a2-(c-b)2=c2-b2-(c-b)2

=c2-b2-(c2-2bc+b2)

=2bc-2b2

=2b(c-b)

所以

b=a2-(c-b)22(c-b)(1)

c=b+(c-b)(2)

将b,c-b的数值代入(1)、(2)两式,很容易求出水深b=12尺,苇长c=13尺,《九章算术》用非常精练的语言概括了这个解法:

半池方自乘,以出水一尺自乘,减之,余,倍出水除之,即得水深。加出水数,得葭(苇)长。

这段话翻译成数学语言,就是(1)式和(2)式。